全国初中数学联赛习题及详解

1985年全国初中数学联赛试题及详解一、选择题（每题5分，共30分）设ABCD为圆内接四边形，现在给出四个关系式：(1)sinAsinC(2)sinAsinC0(3)cosBcosD0(4)cosBcosD其中总能成立的关系式的个数是(A)一个(B)两个(C)三个(D)四个答()解：选（B）因ABCD为圆内接四边形，故C1800A，且A,C都不能够为0°及180°，故（1）式恒成立；（2）式恒不成立.同样由D1800B，（3）式恒成立；（4）式只有BD900时成立.故只有（1）、（3）总能成立,应选B.211n2.若n是大于1的整数，则pnn12的值(A)必然是偶数(B)必然是奇数(C)是偶数但不是2(D)能够是偶数也能够是奇数答()解：选（B）当n为偶数时，1(1)n0，pn1是奇数；当n为奇数时，21(1)nn21为偶数，故pn21)为奇数，所以pnn212121，且n(n1的值必然是奇数.应选(B).3.在平行四边形ABCD中，P为BC的中点，过PAD作BD的平行线交CD于Q，连PA，PD，QA，QB，则图中与ABP面积相等的三角形，除ABP外还有：Q(A)三个(B)四个(C)五个(D)六个BPC答()解:选（C）由题设条件，Q是CD的中点，这样图中与ABP面积相等的三角形有三类：(1)与ABP等底等高的三角形有二个：BPD,PCD.(2)一边为BP边的二倍，而高为BP上的高之半的三角形有二个：BCQ、ADQ.(3)与BCQ等底同高的三角形有一个：QDB.故共有五个,选（C）.第1页1函数y1xx2的图像大体形状是(A)图1中的实线部分(B)图2中的实线部分(C)图3中的实线部分(D)图4种的实线部分答()解:（C）因x2x0的根为0及1，故y1xx21x2x0x11x2xx0,x1.由二次函数的图像可知，函数y1xx2的图像的大体形状是图3中的实线部分.应选(C).5.x表示取数x的整数部分，比方15等，若yxuxu，34444且当x1，8，11，14时，y1；x2，5，1215，时，y2；x3，6，9，16时，y3；x4，7，10，13时，y0；则表达式中u等于x2(B)x1(C)x(D)x1(A)4444答()解:（D）若ux2，则当x2时，u1，u1，所以y4333，444与题设x2时，y2矛盾，故（A）错.同理，令x3，可判断（B）错；令x4，可判断（C）错.从而（D）正确.应选(D).6.如图，在等腰ABC中，CD是底边AB上的高，E是腰BC的中点，AE交CD于F，第2页2现在给出三条路线：CaAFCEBDAEbACEBDFAcADBEFCA

FABD设它们的长度分别为La，Lb，Lc，那么以下三种关系式：LaLb，LaLc，LbLc中，必然能够成立的个数是：(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个答()解:（B）由题条件可知，F是ABC的重心，所以CF2DF,AF2FE，由于CACB,由FADFBD知AFBF,L(c)ABBEEFFCCA,L（a)AFFCCBBA，故L(c)L(a)BEEFAFBEEFBF0即L（c)L（a)，又L（b)AC+CEEBBDDFFAL（c)L（b)（ABBD）+（EFFA）+（FCDF）CEADDFEFCE当ABC为等边三角形时，ADCE,DFEF，所以L（c)L(b)，这说明L（b)L(c)不恒成立.再因L（a)L(b)FCDAACDFDFDAAC当0311ACB120且ACBC1时,AD,CD,DF,226故L（a)L(b)3113350即L（a)L(b),故不等式L（a)L(b)不恒成266立，即三个不等式中，只有一个恒成立.应选(B).二、填空题（每题5分，共30分）1.设ab23，bc23，则a2b2c2abbcca

的值为________.:填15.原式=1（ab)2(bc)2(ca)21(23)2(23)24230.22方法2:令Sa2b2c2abbcca，则2S2a22b22c22ab2bc2ca(ab)2(bc)2(ca)2=30第3页3∴S13015,即a2b2c2abbcca15.22.设方程x2402xk0的一根加380倍，那么k=__________.，即为另一根的解:填1985.设方程两根为x1,x2，由题意，有x1380x2,即x180x23,又∵x1x2402，∴80x23x2402，从而x25,x280x23397,于是kx1x239751985.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元，购甲4件，乙10件，共需4.20元.现在购甲、乙、丙各1件共需__________元.解:填1.05元.设购甲货1件需x元，乙货1件需y元，丙货1件需z元，依照题意，有3x7yz3.15（xyz)2(x3y)3.15（）即14x10yz4.20(xyz)3(x3y)4.20（）2（1）3(2)2得xyz1.05,所以购甲、乙、丙各一件共需1.05元.4.不等式42x2axa2的解为__________.解:原不等式可化为（6xa)(7xa)0（1）当a0时，原不等式解集为aa；x76（2）当a0时，原不等式解集为aa；x67当a0时，原不等式无解；5.已知xx0,1和1两个数，若是只许用加法、减法，1作被除数的除法三种运算(能够使用括号)，经过六步算出x2，那么计算的表达式是__________.解：表达式是11x1(x1)x或11（x1)1xx.也可写成1x或1x1111xx1x1x6.在正实数集上定义一个运算*，其规则为：当ab时，abba；当ab时，abb2.依照这个规则，方程3x27的解是__________.:填33,或3若0x3,则3xx3，又∵3x27,∴x327，∴x3;第4页4若x3则2又∵3x27,∴x227,∴x2733,3xx,所以方程，3*x=27的解是3,或33.三、如图，O为凸五边形ABCDE内一点，且12，34，56，78.求证：9与10相等或互补.证法1:由正弦定理及已知条件得OAOBOBOCOCsin10sin1sin2sin3sin4ODODOE7OEOA,sin5sin6sinsin8sin9从而sin∠10=sin∠9，∴9=10或9+10=1800,即∠9与∠10相等或互补.证法2:由于对定线段的张角为定角的点的轨迹是以定线段为弦的张角为定角的两个相等的弓形弧.【和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹，是以已知线段为弦所含的圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）】，所以由∠1=∠2，得OAB的外接圆与OCB的外接圆相等；同理，OCB的外接圆与OCD的外接圆相等；OCD的外接圆与ODE的外接圆相等;ODE的外接圆与OAE的外接圆相等；于是OAB的外接圆与OAE的外接圆相等，从而∠9与∠10相等或互补.四、如图，O1，O2外切于A，半径分别为r1和r2；PB，PC分别为两圆的切线，B，C为切点；PB:PCr1:r2；又PA交O2于E点.BP求证：PAB∽PEC.E证法1：O1AC如图1，连接O1A，O1B,PO1，PO2，O2A,O2C，O2则O，A,OPB:PCr:r，Q三点共线，∵1212RtPBO1∽RtPCO2,∴3=4PO1:PO2r1:r2O1A:O2A，于是PA为O1PO2的均分线，即∠1=∠2，连接O2E，由O1APO2EP，得OAP1∽O2EP∴PA:PEr1:r2，即PA:PEPB:PC又由∠3=∠，∠1=∠，知BPACPE42PAB∽PEC证法2：如图2，延长BA交⊙O2于B,过B作直线平行于PB交PA的延长线于P，第5页5交PC的延长线于Q.连接O1B,O1A,O2A,O2B，则由O1,A,O2三点共线，知O1ABO2AB,∴O1BAO2BA，从而O1B∥O2B又∵BP∥BP，O1BPB，∴O2BPQ，即PQ为O2的切线，B为切点.∵BP∥BP，∴ABP∽ABP，∴PB:PBAB:AB由AO1B∽AO2B知AB:ABr1:r2又PB:PCr1:r2,∴PB:PBPB:PC∴PBPCQCQB,∴QPQP设QO交PA于F,FQ为PQP的均分线∴O2FAE,AFFE从而PFPF2∴PAPE又BPACPE,PBPC,∴PAB≌PEC,∴PAB∽PEC.五、有一长、宽、高分别为正整数m，n，rmnr的长方体，表面涂上红色后切成棱长为1的正方体，已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红色的正方体个数得1985.求m，n，r的值.解:（1）若m1，这时n1，没解，∴n2依题意，不带红色的正方体的个数为k00，一面带红色的正方体的个数为k10，两面带红色的正方体的个数为k2(n2)(r2)，于是有k0k1k2k21985（n2)(r2)19855397即n25或n21∴n7或n3∴2r2r3991987r3971985r∴m1,n7,r399，或m1,n3,r1987（2）若m2，依题意,不带红色的正方体的个数为k00，一面带红色的正方体的个数为k12(n2)(r2),两面带红色的正方体的个数为k24(n2)4(r2)，则k1与k2都是偶数，显然k0k1k2k21985.(3)若m2，依题意，不带红色的正方体个数为k0(m2)(n2)(r2)；一面带红色的正方体个数为k12(m2)(n2)2(m2)(r2)2(n2)(r2)；两面带红色的正方体个数为k24(m2)4(n2)4(r2)；于是有k0k2k11985,即第6页6(m2)(n2)（r2)4(m2)(n2)+(r2）2(m2)(n2)(m2)(r2)(n2)(r2)1985亦即（m2)2[(n2)2][(r2)2]198581977（m4)(n4)(r4)19771977=13659=111977=（1）(1)1977m41m41m41∴n43或n41或n41r4659r41977r41977m5m5m3∴n7或n5或n3r663r1981r1981综上所述，切合题意的m,n,r有五组：m1,n7,r399；m1,n3,r1987；m5,n7,r663；m5,n5,r1981；m3,n3,r1981.六、桌面上有五枚硬币正面全部向上，若每次任意翻动四枚能否经过若干次后，将反面全部