天津市2018-2019年高三第一次模拟考试数学(理)

高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设复数z知足(1i)zi1，则z（）A．1B．2C．3D．42.已知全集U{2,1,0,1,2}，232x,xU}N{x|x3x2x0}，则MN，（）A．{0,1,2}B．{0,2}C．{1,1}D．{0,1}3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上边4节的容积共3升，下边3节的容积共4升，则该竹子最上边一节的容积为（）A．2升B．6升C．13升D．21升5112240x14.若x,yR，且x2y30，则zx2y的最小值为（）yx．0B．1C．2D．3A5.已知(2x1)5a0x5a1x4a4xa5，则a0a1a5（）．B．243C．32D．211A16.某多面体的三视图以以下图，则该多面体的体积为（）A．8B．32C．16D．283333·1·7.x2y21的离心率为e，则ecos若双曲线C：2b2，一条渐近线的倾斜角为的值（）aA．大于1B．等于1C．小于1D．不可以确立，与e，的详细值相关8.履行以以下图的程序框图，假如输入的t1（），则输出的n50A．5B．6C．7D．8现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。此刻规定：当牌的一面为字母R时，它的另一面必然写数字2.你的任务是：为查验下边的4张牌是否有违犯规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（）A．翻且只翻（1）（4）B．翻且只翻（2）（4）C．翻且只翻（1）（3）D．翻且只翻（2）（3）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，G是EF的中点，沿DE，EF，FD将正方形折起，使A，B，C重合于点P，组成四周体，则在四周体PDEF中，给出以下结论：①PD平面PEF；②PDEF；③DG平面PEF；④DFPE；⑤平面PDE平面PDF.此中正确结论的序号是（）·2·A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．②④⑤11.已知函数f(x)2x34x2(exex)，若f(5a2)f(3a2)0，则实数a的取值范围是（）A．[1,2]B．[1,2]C．[2,1]D．[2,1]333312.已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC10，AB8，则HBHC的最小值为（）A．4B．25C．9D．16二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲最罕有1首被播放的概率是．14.设函数f(x)2sin(x)，(0,5为yf(x)图象的对称轴，x11)，x为288f(x)的零点，且f(x)的最小正周期大于2，则．15.设数列{an}的前n项和为Sn，若S26，an12Sn3，nN*，则S4．16.在平面直角坐标系xoy中，双曲线x2y21(a0,b0)的左支与焦点为F的抛物线a2b2x22py(p0)交于M，N两点.若MFNF4OF，则该双曲线的离心率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必然作答.第22，23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分17.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA2cosC2ca.cosBbsinA（1）求的值；·3·（2）若cosB1，b2，求ABC的面积S.418.如图，四棱锥HABCD中，HA底面ABCD，AD//BC，ABADAC6，HABC8，E为线段AD上一点，AE2ED，F为HC的中点.（1）证明：EF//平面HAB；（2）求二面角EHFA的正弦值.某地域对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取500株小麦，丈量这些小麦的生长指标值，由丈量结果得以下频数散布表：生长指标[165,175)[175,185)[185,195)[195,205)[205,215)[215,225)[225,235)值分组频数10451101651204010（1）在相应地点上作出这些数据的频次散布直方图；（2）求这500株小麦生长指标值的样本均匀数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；·4·（3）由直方图可以以为，这类小麦的生长指标值Z遵照正态散布N(,62)，此中近似为样本平均数x，62近似为样本方差s2.①利用该正态散布，求P(187.8Z212.2)；②若从试验田中抽取100株小麦，记X表示这100株小麦中生长指标值位于区间(187.8,212.2)的小麦株数，利用①的结果，求EX.附：15012.2.若ZN(,62)，则P(6Z6)0.6826，P(26Z26)0.9544.20.已知F1，F2x2y21(ab0)的左右两个焦点，FF124，长轴长为6，又A，是椭圆C：b2a2B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且知足AF12BF2.1）求椭圆C的方程；2）求四边形ABF2F1的面积.21.已知函数f(x)ax2xlnx，(aR,lnxx1).3（1）若a时，求函数f(x)的最小值；8（2）若1a0，证明：函数f(x)有且只有一个零点；（3）若函数f(x)有两个零点，务实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，假如多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]xa2tx轴正半轴在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为1（t为参数）.以坐标原点为极点，yt为极轴成立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2.·5·（1）若a2时，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为25，求a.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)x1x2，g(x)x2xa.1时，求不等式f(x)g(x)的解集；（）当a5（2）若不等式f(x)g(x)的解集包括[2,3]，求a的取值范围.·6·数学（理科）参照答案一、选择题1-5:ADCDB6-10:CBBAC11、12：DD二、填空题514.15.66613.1216.62三、解答题17.解：（1）由正弦定理，设abcsinAsinBk，sinC则2ca2ksinCksinA2sinCsinA.bksinBsinB由题设条件，得cosA2cosC2sinCsinA，cosBsinB整理得sin(AB)2sin(BC).又ABC，因此sinC2sinA，即sinA1.sinC2（2）由余弦定理，可知cosBa2c2b212ac，①4由（1）可知sinAa1，②sinCc2由b2，再联立①②求得c2，a1，sinB1cos2B15，(B(0,))，4因此S1acsinB15.2418.解：（1）由已知得AE2AD4，3取BH的中点G，连结AG，GF，·7·由F为HC的中点知GF//BC，GF1BC4，2又AD//BC，故GF//AE，因此四边形AEFG为平行四边形，于是EF//AG，AG平面HAB，EF平面HAB，因此EF//平面HAB.（2）取BC的中点T，连结AT.由ABAC得ATBC，进而ATAD，且ATAB2BT2624225.以A为坐标原点，AT的方向为x轴正方向，成立以以下图的空间直角坐标系Axyz.由题意知，H(0,0,8)，E(0,4,0)，C(25,4,0)，F(5,2,4)，HE(0,4,8)，HF(5,2,4)，AF(5,2,4).设n(x,y,z)为平面HEF的法向量，则nHE0，nHF04y8z0，可取n(0,2,1).即2y4z5x0设m(x0,y0,z0)为平面HAF的法向量，mHF05x2y4z0则，即，可取m(2,5,0).mAF05x2y4z0于是cosn,mmn252mn35，3sinn,m5.3因此二面角EHFA的正弦值为5.3·8·解：（1）绘图.（2）抽取小麦的生长指标值的样本均匀数x和样本方差s2分别为x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.（3）①由（1）知ZN(200,150)，进而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.6826.②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知XB(100,0.6826)，因此EX1000.682668.26.20.解：（1）由题意知2a6，2c4，因此a3，c2.因此b2a2c25，椭圆C的方程为x2y21.95·9·2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，又F1(2,0)，F2(2,0)，因此AF1(2x1,y1)，BF2(2x2,y2)，由AF12BF2，得x122(x22)，y12y2.延伸AB交椭圆于H，由于AF12BF2，因此AF1//BF2，且AF12BF2.因此线段BF2为AF1H的中位线，即F2为线段F1H的中点，因此H(6,0).设直线AB的方程为xmy6，代入椭圆方程得，5(my6)29y245，即(5m29)y260my1350.因此y1y260m3y2，y1y213592y22，5m295m2消去y22923，依题意取m93.，得m255S四边形ABF2FSAFHSBFH1F1Hy11F2Hy2112224y12y28y22y26y2120m153.5m29421.解：（1）当a3时，f(x)3x2xlnx，88因此f'(x)3x11(3x2)(x2)(x0).4x4x令f'(x)0，得x2，当x(0,2)时，f'(x)0；当x(2,)时，f'(x)0，因此函数f(x)在(0,2)上单一递减，在(2,)上单一递加，因此当x2时，f(x)有最小值f(2)1ln2.2（2）由f(x)ax2xlnx，得f'(x)2ax112ax2x1(x0)，xx·10·因此当a2ax2x10，0时，f'(x)x函数f(x)在(0,)上单一递减，因此当a0时，f(x)在(0,)上最多有一个零点.由于当1a0时，f(1)a10，f(1e2ea0，)e2e因此当1a0时，函数f(x)在(0,)上有零点.综上，当1a0时，函数f(x)有且只有一个零点.32f(x)在(0,)上最多有一个零点.（）由（）知，当a0时，由于f(x)有两个零点，因此a0.由f(x)ax2xlnx，得f'(x)2ax2x1(x0).x令g(x)2ax2x1，由于g(0)10，2a0，因此g(x)在(0,)上只有一个零点，设这个零点为x0，当x(0,x0)时，g(x)0，f'(x)0；当x(x0,)时，g(x)0，f'(x)0；因此函数f(x)在(0,x0)上单一递减；在(x0,)上单一递加.要使函数f(x)在(0,)上有两个零点，只要要函数f(x)的极小值f(x0)0，即ax02x0lnx00.由于g(x0)2ax02x010，因此ax2xlnx01(2lnx02ax022x0)0021[2lnx0(2ax02x01)x01]2·11·1(1x02lnx0)0，2可得2lnx0x010，又由于h(x)2lnxx1在(0,)上是增函数，且h(1)0，因此x01，011，x0由2ax02x010，得2ax01(1)21(11)21，x02x0x0x024因此02a2，即0a1.以下考证当0a1时，函数f(x)有两个零点.当0a1时，g(1)2a111a0，g(1)2(a1)0，1aa2aa因此1x0.a1a11e2ea，且f(x0)0，由于f()ee20ee2因此函数f(x)在(1,x0)上有一个零点.e又由于f(2)4a2ln22(21)10（因lnxx1）.aa2aaaa且f(x0)0，因此f(x)在(x0,2)上有一个零点.a因此当0a1时，函数f(x)在(1,2)内有两个零点.ea综上，实数a的取值范围是(0,1).22.解：（1）曲线的一般方程为x2y24，当a2时，直线l的一般方程为2yx0，x2y0x45x455，或5由，解得，x2y24y25y2555·12·进而C与l的交点坐标为(45,25)，(45,25).5555（2）直线l的一般方程为x2y2a0，设C的参数方程为x2cos（为参数），y2sin则C上的点(2cos,2sin)到l的距离为2cos4sin2a25sin()(2a)d55.当a2时，d的最大值为252a252a55，由题设得252a25，因此a825，5当a2时，d的最大值为252a，5由题设