辽宁省大连市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)(含答案)

2020年大连市高三第一次模拟考试数学(理科)本试卷共6页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效。.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选才I题)两部分，其中第II卷第22题〜第23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)设集合A={x[—2<x<3},B={—1,0,1,2,3},则集合AAB为(A){-2,-1,0,1,2} (B){—1,0,1,2}(C){—1,0,1,2,3} (D){—2,—1,0,1,2,3}(2)若复数z满足z(1+i)=2,则z的虚部为(A)-1 (B)1 (C)-i (D)i(3)下列函数中是偶函数，且在(0,+8)是增函数的是(A)y=ln|x|(B)y=cosx(C)y=—x2(D)y=x3⑷设Sn为等差数列{an}的前n项和，若34+a5=12,则与的值为(A)14 (B)28 (C)36 (D)48(5)PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35闯/m3以下空气质量为一级，在35〜75科g/m'空气质量为二级，超过7s的/m3为超标。如图是某地1月1日至10日的PM2.5(单位：闻/m3)的日均值，则下列说法正确的是(A)10天中PM2.5日均值最低的是1月3日(B)从1日至IJ6日PM2.5日均值逐渐升高(C)这10天中恰有5天空气质量不超标 (D)这10天中PM2.5日均值的中位数是43(6)已知抛物线y2=4x.上点B(在第一象限)到焦点F距离为5,则点B坐标为(A)(1,1) (B)(2,3) (C)(4,4) (D)(4,0)⑺设非零向量m,n,则"m^n"是"|m+2n|=|m—2n|”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)如图是函数f(x)=2sin(cox+Me。，|印,)的部分图象，则以。的值分别为(A)1,3 (B)1,—6 (C)2,—6 (D)2,-(9)设数列｛an｝的前n项和为Sno若a1=1,an+1=2Sn+1,nCN*,则S5值为TOC\o"1-5"\h\z(A)363 (B)121 (C)80 (D)40(10)已知a>0,b>0,-11,则a+b的最小值为ab(A)1 (B)1 (C)2 (D)44 2(11)已知a,b是两条直线，%&丫是三个平面，则下列命题正确的是(A)若a〃&b〃&a//b,贝U川& (B)若3,a，%贝Ua〃3(C)若a±3,oc±飞3n产a,则a±a(D)若川也a〃&则a〃3(12)《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图 (含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(^^表示一根阳线，1-1表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件A="两卦的六根线中恰有两根阳线” ，B="有一卦恰有一根阳线”，则P(A|B)后荚人卦图1A.-51B.-后荚人卦图1A.-51B.-61C.-73D.—14第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题〜第23题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上 )xy0(13)已知x,y满足约束条件 x0，则z=x+y的最大值为。y22 2 xy(14)已知双曲线-y看1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y=x,则该双曲线的离心率ab为。(15)定义在(1,+oo)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x€(1,+oo)恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)当xC(1,2］时，f(x)=2—x。则f(6)的值是。(16)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，二面角A1-BD-P的平面角为“，用图中字母表示角a为；sina的最小值三解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )(17)(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcosx—2cos2(xt )。(I)求f(x)的单调递增区间；(II)在锐角△ABC中，/B为锐角，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(-|)0,a=J3,c=1,求b。(18)(本小题满分12分)某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况， 从高一、高二年级学生中分别随机抽取 100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：(I)写出频率分布直方图(高一)中a的值；记高一、高二学生 100人锻炼时间的样本的方差分别为S12,S22,试比较S12,S22的大小(只要求写出结论)；(II)估计在高一、高二学生中各随机抽取 1人，恰有一人的锻炼时间大于 20分钟的概率；(III)由频率分布直方图可以认为， 高二学生锻炼时间Z服从正态分布N(科，(2)o其中科近似为样本平均数7,3近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设 X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于(14.55,38.45)的人数，求X的数学期望。注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得 S2J142.7511.95；②若Z~N(白J),贝UP(科―0<Z<叶6=0.6826,P(k2<Z<#2羊0.9544。(19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC—AiBiCi中，侧面BBiCiC为菱形，A在侧面BBiCiC上的投影恰为BiC的中点O,E为AB的中点。(I)证明：OE〃平面ACCiAi;\2(II)若/CBBi=60,cos/ACCi=——，在线段CiAi上是否存点F(F不与Ci,Ai重合)使得4直线EF与平面ACCiAi成角的正弦值为—o若存在，求出CF的值；若不存在，说明理7 C1Al由。(20)(本小题满分i2分)已知过点P(,慨)的曲线C的方程为Jxi2y2Xjx^y22a。(I)求曲线C的标准方程；(II)已知点F(i,0),A为直线x=4上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B,D。(i)证明：OA平分线段BD(其中。为坐标原点)；(ii)求,2^,最大值。AF(2i)(本小题满分i2分)已知函数f(x)=2sinx—x2+2tx—a。(I)当a=0时，求f(x)零点处的切线方程；… i2(II)若f(x)有两个零点xi,x2(xi<x2),求证： (x2xi 2)>ao请考生在22,23题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。(22)(本小题满分i0分)选彳4—4;坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，已知点4(-i.0),B(i,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为—4。记M的轨迹为曲线C。以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2pcos0+邪psin0+11=0。(I)求C和l的直角坐标方程；(II)求C上的点到l距离的最小值。(23)(本小题满分10分)选彳4—5:不等式选讲已知函数f(x)=m—|x—2|,mCR,g(x)=|x+3|。(I)当xCR时，有f(x)&g(x),求实数m的取值范围。(II)若不等式f(x)>0的解集为[1,3],正数a,b满足ab-2a—b=3m—1,求a+b的最小值。(18X(18X/小题满分12分)2020年大连市高三一模测试数学(理科)参考答案与评分标准说明：一、本辞答给出了一种或几科解法供参考，如果考生的航法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对辞答题，当考生的维冬在某一步出现钳识时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视覆响的程度决定后继部分的绐分，但不得通过该部分正确解客应得分象的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、辞答右端所注分款.表示考生正硝做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和康空题不给中间分.选择题(1)(B)；(2)(A)；<3)<A)；<4)(D)；(5)(D)；(6)(C)；(7)(C)；(8)(D)；(9)(B)； (10)(D)；(11)(C)；(12)(B).二.填空题TOC\o"1-5"\h\z(13)4； (14)>[1■, (15)2 ]6.咚.三.解答题 ,(17)(本小题满分12分)解？(I)由题意可知/(x)=2sinxcosx_2cos2(1+工)=231】2X一1,.3分li］2kz~—<2x<Ikrr+—(kez), 4分所以/(x)的单调递增区间是［上万一(.内r+；］(左wZ) 6分(II)由fg)-2sin8-l.0，可得sinE== 8分由题意知，为锐角，8=三， 10分3由余弦定理〃=/+C?-4C=l,，。=1 12分因为O,E分别为中点，所以。E//4G，y所以。七//平面NCG4.因为O,E分别为中点，所以。E//4G，y所以。七//平面NCG4.（注：证明娱面平行，三推一，少一条线在面内扣2分少一条线在面外也扣2分,少歧线平行徉0分）（II）因为40,平面%C]U84C]C为菱形,如图建立空间直角坐标系。二,解；（I）a=0Q15,s：>$2； 2分（H）设事件X,在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件6：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，事件C：在高、高二学生中随机抽取1人，恰有个学生假炼时间大于20分钟,且另一个不大于20分钟， 4分则P（N）=0.20+0.10=0.30, 5分P（B）=0.10+0.20=0.30, 6分/.P(C)=PU)P(B)+PG4)P(B)=0.42 8 分(ni)2=26.5,由条件得Z~N(26.5.142.75), 9分从而P(2(5.5-11.95<Z<26.5+11.95)=0.6826 10分・・・从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于(14.55,38.45)的概率是0.6826,根据题意得x~6(10,0.6826)，Z.EX=10x0.6826=6.826 根分（19）（本小题满分12分）解.（I）证明：连接因为oeh平面NCC】4'/Gu平面zcG4・Vi£C=2.因为/CBB^=60；cosZ.4CC\=cos>ACO-cosZOCC}.所以cos2co=①，所以40=1.所以B(60,0).C(0,-l,0),C1(4.0.0),d（0,0,1）,4（一后.1,1）,所叫岑,0,1）, 7分设cF=Aq4<0<Z<1）.所以尸（一有.Z,A）,所以"1=（一芈/"-；）,设平却用CG的法向量〃=（、/二）,因为己彳=（01」）£d；=（-6,1,0）,{y+N-0「一•，所以用一组解为〃=Q,"-6),y=0由飘可喈=73门”-/2,解得幺由飘可喈=73门”-/2,解得幺m0（余）.

212分CF12分G42（20）（本小题满分12分）解：（I）将》（11）代入曲线。的方程得a-2;由椭圆定义可知曲线。的轨迹为TOC\o"1-5"\h\z以QL0）,（1,0）为焦点的椭圆 2分X2V2所以附标准方程为工+匕=1 4分<II）班（玉.必）,£>（孙,2），助的中点“（不，.为）设期的方程为V=〃T+L贝IxEj方程为V=-7〃（x-1），所以4（4,-3冽）.将直线皿与椭圆C的方程联立《2 2 ^[3x2+4y2-12=0得（3加2+4）j2+6"夕-9=0.mii -626分mii -626分3〃厂+43〃厂+4J04平分线的。 12(w2+1)\AF\3?n2+4.加L4f_\AF\3,12(w2+1)\AF\3?n2+4.加L4f_\AF\3,十1二一41（当且仅当“f=l”时取得等号）3f」10分11分•.目的最大值为1■I12分3法二'ZAFx=a,「,|AF|=——\BD\=—a2cosa12122cos2(J)43a3+cos2a910分"|=3，方+1,\BD\=川+1也72)2-4%》=|BD]_|BD]_4cosa\AF\3+co32acosa+ cosaA一「M1（当且仅当cosa=l时取得等号）……12分°（21）（本小题满分12分）解：（D由题意得：a=O/（A）=2siiiA-a2+2ttx,定义域为无eR,/r(x)=2cosx-2x+2-t 1 分•//'(x)=-2smA-2<0'(x)在X£R上为减函数.9•••/(0)=2+2万>0'7'(%)=-2]<0 2 分由零点存在定理可知，/'（工）在xe（Q;r）上必存在一点天使/'（%）=0.•.当XG（—>./）时，/'（X）>O,即f（X）在上为增函数，当》金卜0，十=0）时，/'（x）W0,即f（x）在ke[.”,e）上为减函数，・••/（1）极大值=/（%）9故〃工）至多有两个零点，又•••/（0）=0./（2幻=0 4分故万是/(x)的两个零点，.,・由/'(0)=2+2%./'(21)=2-2万.易得出两切线方程为：丁=(2+2笈卜或y=(2—2幻X-4/T+4/ 6分(口)由(I)易知再设厂(K)=(2+2;r)x-2siiix+12-27n,F9(x)=2-2cosx+2x,*/F"(^)=2sillx+2>0.••・尸'(x)=2—2cos.X+2x•在KWR上为增函数，*/F“(0)=0.•.当XG(-oo,0)时,Fr(x)<0,即/(x)在(-00,0)上为减函数,当xc[o,3>)时,F(x)>0,产IX)在xe[o,BO)上为增函数，F(a)>F(0)=0,即(2+2;r)xAZsinx-x2+) 7 分设,=(2+24)工与》=q的交点横坐标为口，(2十2i)再N2sinM-工：+27再=6r=(2+2/r)x3♦.•y=(2+2乃)工为增函数，，与一-一■«再， 8分、 (2+2^)同理设G(x)-(2-2万)(不一2,7)—2$111工+犬-2zx,G'(x)=2-4^,-2cosx+2a',•/G”(x).2sinx+20,.♦.G'(x)=2-4i-2cosx+2x在kwR上为增函数，・・・G'(2/r)=0,.,.当x«2匹”0)时,(r(x)>0,即G(x)在xw[2万,m)_L为增函数，当X€(yo.2h)时，G'(工)<0,BPG(xj在xw(y).2；r)上为减函数，/.G(X)>G(2^)=0>即(2—2%)(X-2^)02sinx-<+2万%, 10分设y=(2-2%)(x-2i)与y=q的交点横坐标为工4(2-2^)(X2-2^)>2sillA2一工;+2/FM=〃=(2—2万)(工厂2乃)，»=(2—2%)(犬一2万)为减函数，.・・a=---+2^>x2,2—2/T故：再一14-/= 孚 +2万='",，+2万,(2-2幻(2+2万)1一户1t2TOC\o"1-5"\h\z—■—(x2-x1-2!r)>a得证 12分(22)(本小题满分10分