数学乘法公式学习课件

15.3乘法公式课标要求会推导乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2；(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算．15.3乘法公式1公式结构特点：①左边：两个二项式a+b与a–b相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边：相同项的平方减去相反项的平方.平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b2.即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.会推导：(a+b)(a–b)=a2‒ab+ba‒b2=a2–b2.②a，b既可以代表数、字母，也可以代表单项式、多项式.公式结构特点：平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b22例计算(3a2–2b)(3a2+2b)；(–3a2+2b)(3a2+2b)；(6a–2b)(9a+3b)；(4)(a2b–ab2)(a2b+ab2).=(3a2)2-(2b)2=(2b–3a2)(2b+3a2)=(3a2)2-(2b)2=2(3a–b)·3(3a+b)=6(3a–b)·(3a+b)=6[(3a)2-b2]=6(9a2-b2)=54a2-6b2=(a2b)2-(ab2)2=a4b2-a2b4例计算=(3a2)2-(2b)2=(2b–3a2)(2b+3完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a–b)2=a2–2ab+b2.即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.会推导：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.(a‒b)2=(a‒b)(a–b)=a2–ab–ba+b2=a2–2ab+b2.几何解释公式结构特点①左边都是一个二项式的完全平方；右边都是二次三项式．②公式中a，b既可以代表数、字母，也可以代表单项式、多项式.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a–b)4③熟悉完全平方公式的几种常见变形：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a‒b)2=a2–2ab+b2.(a+b)2+(a–b)2=2a2+2b2,(a+b)2–(a–b)2=4ab.a2+b2=(a+b)2–2ab,a2+b2=(a–b)2+2ab.(a+b)2=(a–b)2+4ab，(a–b)2=(a+b)2–4ab.③熟悉完全平方公式的几种常见变形：(a+b)2+(a–b)25④把握乘法公式中的平方差公式((a+b)(a–b)=a2–b2，完全平方公式(ab)2=a22ab+b2与单项式乘以多项式a(b+c)=ab+ac，多项式乘以多项式((a+b)(m+n)=am+an+bm+bn之间的关系，是一般与特殊之间的关系.作多项式乘法时，先思考能否用乘法公式，假如能够运用乘法公式，那么要率先运用乘法公式；假如不具备运用乘法公式的条件，要能够正确、快速地运用多项式乘法法则a(b+c)=ab+ac，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．④把握乘法公式中的平方差公式((a+b)(a–b)=a2–6计算计算7计算或化简(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)；(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)(4)(a+b‒c)2解：(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)=‒(2m‒5n)(2m‒5n)=‒(2m‒5n)2=‒(4m2‒20mn+25n2)=‒4m2+20mn‒25n2.计算或化简解：(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)=‒8计算或化简(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)；(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)(4)(a+b‒c)2(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c)=a+(3b‒2c)

a‒(3b‒2c)

=a2‒(3b‒2c)2=a2‒(9b2‒12bc+4c2)=a2‒9b2‒4c2+12bc.计算或化简(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c)=9(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)计算或化简(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)；(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)(4)(a+b‒c)2=‒(m+n)(m‒n)(m2+n2)(m4+n4)=‒(m2‒n2)(m2+n2)(m4+n4)=‒(m4‒n4)(m4+n4)=‒(m8‒n8)=n8‒m8.(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)计10计算或化简(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)；(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)(4)(a+b‒c)2(4)(a+b‒c)2=(a+b)‒c

2=(a+b)2‒2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2‒2ac‒2bc+c2=a2+b2+c2+2ab‒2ac‒2bc.评述：使用乘法公式一定注意公式的结构，公式(a+b)(a–b),(ab)2中的a、b既可以是数，也可以是式；既可以是单项式，也可以是多项式．当a或b是多项式时，需要分组变形，是指将因式中的项分组结合起来，作为一个整体来考虑的变形．计算或化简(4)(a+b‒c)2=(a+b)‒c211应用乘法公式进行计算：(1)20062008‒20072；(2)(1)解法1：20062008‒20072=(2007‒1)(2007+1)‒20072=(20072‒1)‒20072=–1.解法2：20062008‒20072=2006(2006+2)‒(2006+1)2=(20062+22006)‒(20062+220061+12)=–1.应用乘法公式进行计算：(1)解法1：20062008‒2012数学乘法公式学习课件13数学乘法公式学习课件14若36a2–mab+9b2是完全平方式，求常数m.解：由于36a2–mab+9b2是完全平方式，则36a2–mab+9b2=(6a)2–mab+(3b)2所以m=36.评述：两个多项式相等，项数相同，对应项的次数及系数相同．乘法公式是恒等式，既要从左到右，又要从右到左．=(6a–3b)2=36a2–36ab+9b2,若36a2–mab+9b2是完全平方式，求常数m.解：由于315已知：m为不等于0的数，且

，求代数式

的值．评述：分析已知与所求的关系，选择公式，是学习数学的基本功，这里把某些代数式看成整体是很重要的．分析：观察

与

的关系．解：已知：m为不等于0的数，且16已知：x2+xy=12,xy+y2=15,求(x+y)2－(x+y)(x–y)的值．分析：观察已知x2+xy=12,xy+y2=15．

若两式相加得(x+y)2,两式相减得x2–y2．解：由已知得x2+2xy+y2=27,x2–y2=‒3.于是(x+y)2－(x+y)(x–y)=(x2+2xy+y2)–(x2–y2)=27–(–3)=30.评述：等式的性质在解决这道题起了关键的作用．已知：x2+xy=12,xy+y2=15,求(x+y)2－(17证明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2证明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2.评述：证明恒等式，可以由左证明出右，也可以由右证明出左，还可以从两步同时变形．=(a+b)2+(b2+2bc+c2)+(a2+2ac+c2)=(a+b)+c2+a2+b2+c2证明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b18有两个正方形，它们的边长之和为20cm，面积之差为40cm2.求这两个正方形的面积.解：设这两个正方形的边长分别为a

cm和b

cm(ab)，依题意有：所以这两个正方形的面积分别为121cm2,81cm2.评述：本题依据题设条件，建立二元一次方程组．解题过程运用乘法公式，缩短解答过程．有两个正方形，它们的边长之和为20cm，面积之差为40c19(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y=

；(2)已知ax+by=3,ay‒bx=5，则(a2+b2)(x2+y2)的值为

.分析(1)已知与(ax+by)2的展开式结构不同，猜想它一定是(x+a)2+(y+b)2的结构；解：由已知x2+y2‒6x+10y+34=0得(x2‒6x+9)+(y2+10y+25)=(x‒3)2+(y+5)2=0，则x=3，y=‒5,故x+y=‒2.(2)分析所求，(a2+b2)(x2+y2)=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2与已知式的平方有关．解：由已知得(ax+by)2+(ay‒bx)2=(a2x2+2abxy+b2y2)+(a2y2‒2abxy+b2x2)=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=9+25=34,则(a2+b2)(x2+y2)=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=34.(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y=20评述：乘法公式是等式，等式两边只有左右之分．无论从左到右，还是从右到左，都应熟练掌握，这才算掌握公式．不过从右到左，就是常说的逆用公式，比较困难，更需要认真对待．(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y=

；(2)已知ax+by=3,ay‒bx=5，则(a2+b2)(x2+y2)的值为

.评述：乘法公式是等式，等式两边只有左右之分．无论从左到右，还21已知a=‒109,b=108,c=‒107，求a2+b2+c2+ab+bc‒ac的值.解：评述：创造条件使用公式可以帮助提高分析问题与解决问题的能力．已知a=‒109,b=108,c=‒107，解：22(1)计算(a+b)3和(a–b)3(2)已知a3+b3=9,a+b=3,求ab的值.解：(1)(a+b)3=(a+b)(a+b)2=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.同理(a–b)3=a3–3a2b+3ab2–b3.=a(a2+2ab+b2)+b(a2+2ab+b2)(1)计算(a+b)3和(a–b)3解：(1)(a+b)23(2)解：

∵a+b=3,∴(a+b)3=27,(1)计算(a+b)3和(a–b)3(2)已知a3+b3=9,a+b=3,求ab的值.即a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)=27,∴9+3ab3=27,∴ab=2.评述：掌握了平方差和完全平方公式后,注意对公式进行推广,这样既深化了所学知识,又能为解题带来很大方便.(2)解：∵a+b=3,∴(a+b)3=27,(1)计24似是而非，乱套公式计算：错解：原式=错因分析：受题目“形”的迷惑，没有认真观察题目，而是生搬硬套公式,把

当作

．实际上此题不具平方差公式的特征,不能运用公式,只能按多项式乘法法则进行计算．似是而非，乱套公式计算：错解：原式=错因分析：受题目“形”25计算：(x+y)(y‒x)错解：原式=x2‒y2．错因分析：出错原因在于未将原式“变形”,顾头不顾尾的生搬硬套公式．计算：(x+y)(y‒x)错解：原式=x2‒y2．错因分26计算：忽略括号,导致运算错误错解：原式=错因分析：运用乘法公式时,每个因式中项的系数也应代入进行计算,错解忽略了系数而致计算出错．计算：忽略括号,导致运算错误错解：原式=错因分析：运用乘27式子结构认识不清导致的错误例

计算：(x‒y+z)(x+y‒z)错解：原式=[(x‒y)+z][(x+y)‒z]=(x‒y)(x+y)‒z2=x2‒y2‒z2错因分析：分组错误，平方差公式要求两个乘积的二项式中，一项完全相同，一项只是符号相反．x‒y与x+y不同，不能使用平方差公式．式子结构认识不清导致的错误错解：原式=[(x‒y)+z][2815.3乘法公式课标要求会推导乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2；(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算．15.3乘法公式29公式结构特点：①左边：两个二项式a+b与a–b相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边：相同项的平方减去相反项的平方.平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b2.即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.会推导：(a+b)(a–b)=a2‒ab+ba‒b2=a2–b2.②a，b既可以代表数、字母，也可以代表单项式、多项式.公式结构特点：平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b230例计算(3a2–2b)(3a2+2b)；(–3a2+2b)(3a2+2b)；(6a–2b)(9a+3b)；(4)(a2b–ab2)(a2b+ab2).=(3a2)2-(2b)2=(2b–3a2)(2b+3a2)=(3a2)2-(2b)2=2(3a–b)·3(3a+b)=6(3a–b)·(3a+b)=6[(3a)2-b2]=6(9a2-b2)=54a2-6b2=(a2b)2-(ab2)2=a4b2-a2b4例计算=(3a2)2-(2b)2=(2b–3a2)(2b+31完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a–b)2=a2–2ab+b2.即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.会推导：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.(a‒b)2=(a‒b)(a–b)=a2–ab–ba+b2=a2–2ab+b2.几何解释公式结构特点①左边都是一个二项式的完全平方；右边都是二次三项式．②公式中a，b既可以代表数、字母，也可以代表单项式、多项式.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a–b)32③熟悉完全平方公式的几种常见变形：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a‒b)2=a2–2ab+b2.(a+b)2+(a–b)2=2a2+2b2,(a+b)2–(a–b)2=4ab.a2+b2=(a+b)2–2ab,a2+b2=(a–b)2+2ab.(a+b)2=(a–b)2+4ab，(a–b)2=(a+b)2–4ab.③熟悉完全平方公式的几种常见变形：(a+b)2+(a–b)233④把握乘法公式中的平方差公式((a+b)(a–b)=a2–b2，完全平方公式(ab)2=a22ab+b2与单项式乘以多项式a(b+c)=ab+ac，多项式乘以多项式((a+b)(m+n)=am+an+bm+bn之间的关系，是一般与特殊之间的关系.作多项式乘法时，先思考能否用乘法公式，假如能够运用乘法公式，那么要率先运用乘法公式；假如不具备运用乘法公式的条件，要能够正确、快速地运用多项式乘法法则a(b+c)=ab+ac，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．④把握乘法公式中的平方差公式((a+b)(a–b)=a2–34计算计算35计算或化简(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)；(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)(4)(a+b‒c)2解：(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)=‒(2m‒5n)(2m‒5n)=‒(2m‒5n)2=‒(4m2‒20mn+25n2)=‒4m2+20mn‒25n2.计算或化简解：(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)=‒36计算或化简(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)；(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)(4)(a+b‒c)2(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c)=a+(3b‒2c)

a‒(3b‒2c)

=a2‒(3b‒2c)2=a2‒(9b2‒12bc+4c2)=a2‒9b2‒4c2+12bc.计算或化简(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c)=37(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)计算或化简(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)；(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)(4)(a+b‒c)2=‒(m+n)(m‒n)(m2+n2)(m4+n4)=‒(m2‒n2)(m2+n2)(m4+n4)=‒(m4‒n4)(m4+n4)=‒(m8‒n8)=n8‒m8.(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)计38计算或化简(1)(‒2m+5n)(2m‒5n)；(2)(a+3b‒2c)(a‒3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m)(4)(a+b‒c)2(4)(a+b‒c)2=(a+b)‒c

2=(a+b)2‒2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2‒2ac‒2bc+c2=a2+b2+c2+2ab‒2ac‒2bc.评述：使用乘法公式一定注意公式的结构，公式(a+b)(a–b),(ab)2中的a、b既可以是数，也可以是式；既可以是单项式，也可以是多项式．当a或b是多项式时，需要分组变形，是指将因式中的项分组结合起来，作为一个整体来考虑的变形．计算或化简(4)(a+b‒c)2=(a+b)‒c239应用乘法公式进行计算：(1)20062008‒20072；(2)(1)解法1：20062008‒20072=(2007‒1)(2007+1)‒20072=(20072‒1)‒20072=–1.解法2：20062008‒20072=2006(2006+2)‒(2006+1)2=(20062+22006)‒(20062+220061+12)=–1.应用乘法公式进行计算：(1)解法1：20062008‒2040数学乘法公式学习课件41数学乘法公式学习课件42若36a2–mab+9b2是完全平方式，求常数m.解：由于36a2–mab+9b2是完全平方式，则36a2–mab+9b2=(6a)2–mab+(3b)2所以m=36.评述：两个多项式相等，项数相同，对应项的次数及系数相同．乘法公式是恒等式，既要从左到右，又要从右到左．=(6a–3b)2=36a2–36ab+9b2,若36a2–mab+9b2是完全平方式，求常数m.解：由于343已知：m为不等于0的数，且

，求代数式

的值．评述：分析已知与所求的关系，选择公式，是学习数学的基本功，这里把某些代数式看成整体是很重要的．分析：观察

与

的关系．解：已知：m为不等于0的数，且44已知：x2+xy=12,xy+y2=15,求(x+y)2－(x+y)(x–y)的值．分析：观察已知x2+xy=12,xy+y2=15．

若两式相加得(x+y)2,两式相减得x2–y2．解：由已知得x2+2xy+y2=27,x2–y2=‒3.于是(x+y)2－(x+y)(x–y)=(x2+2xy+y2)–(x2–y2)=27–(–3)=30.评述：等式的性质在解决这道题起了关键的作用．已知：x2+xy=12,xy+y2=15,求(x+y)2－(45证明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2证明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2.评述：证明恒等式，可以由左证明出右，也可以由右证明出左，还可以从两步同时变形．=(a+b)2+(b2+2bc+c2)+(a2+2ac+c2)=(a+b)+c2+a2+b2+c2证明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b46有两个正方形，它们的边长之和为20cm，面积之差为40cm2.求这两个正方形的面积.解：设这两个正方形的边长分别为a

cm和b

cm(ab)，依题意有：所以这两个正方形的面积分别为121cm2,81cm2.评述：本题依据题设条件，建立二元一次方程组．解题过程运用乘法公式，缩短解答过程．有两个正方形，它们的边长之和为20cm，面积之差为40c47(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y=

；(2)已知ax+by=3,ay‒bx=5，则(a2+b2)(x2+y2)的值为

.分析(1)已知与(ax+by)2的展开式结构不同，猜想它一定是(x+a)2+(y+b)2的结构；解：由已知x2+y2‒6x+10y+34=0得(x2‒6x+9)+(y2+10y+25)=(x‒3)2+(y+5)2=0，则x=3，y=‒5,故x+y=‒2.(2)分析所求，(a2+b2)(x2+y2)=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2与已知式的平方有关．解：由已知得(ax+by)2+(ay‒bx)2=(a2x2+2abxy+b2y2)+(a2y2‒2abxy+b2x2)=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=9+25=34,则(a2+b2)(x2+y2)=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=34.(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y=48评述：乘法公式是等式，等式两边只有左右之分．无论从左到右，还是从右到左，都应熟练掌握，这才算掌握公式．不过从右到左，就是常说的逆用公式，比较困难，更需要认真对待．(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y=

；(2)已知ax+by=3,ay‒bx=5，则(a2+b2)(x