HL判定三角形全等【核心知识精细梳理+巩固提升训练】人教版八年级数学 上册 核心考点精讲精练

HL判定三角形全等判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（HL）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.注意：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.题型1：用HL判定三角形全等1.如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA．【变式1-1】已知：如图，∠A=∠D=90°，BE=EC.求证：△ABC≌△DCB.【变式1-2】已知：如图，点C、D，在线段AB上，且AC=BD，AE=BF，ED⊥AB，FC⊥AB．求证：AE∥BF．题型2：全等的判定条件选择2.如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，BC＝EF，如果添加一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是（）A．AC=DE B．∠D=∠A C．AB=DE D．∠B=∠E【变式2-1】如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．BD=AC，∠BAD=∠ABCC．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC D．AD=BC，BD=AC【变式2-2】如图，在△ABC和△DEC中，已知CB=CE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．AC=DC，AB=DE B．AC=DC，∠A=∠DC．AB=DE，∠B=∠E D．∠ACD=∠BCE，∠B=∠E题型3：直角三角形全等的判定与求度数3.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若∠CAE=25°，求∠BFC度数．【变式3-1】如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，点D到AB、AC的距离相等，且∠B=70∘，求【变式3-2】如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F．（1）求证：△ABC≌△BED；（2）求∠BFC的度数．题型4：直角三角形全等的判定与求长度4.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．【变式4-1】如图，∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延长线于F，且BC=DC.（1）BE与DF是否相等？请说明理由；（2）若DF=1cm，AD=3cm，则AB的长为cm.【变式4-2】如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）若AD=12，DE=7，请直接写出BE的长．题型5：直角三角形全等的判定与证明5.如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过点C，过A、B两点分别作直线l的垂线AE、BF，垂足分别为E、F，AE=CF，求证：∠ACB=90°【变式5-1】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AE⊥BC于点E,AF⊥CD交CD的延长线于点F,BE=DF．求证：点A在∠BCD的平分线上．题型6：直角三角形全等的判定与求探究6.（1）问题原型：如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，连接BE，使BE=AC．求证：DE=CD；（2）问题拓展：如图2，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM=EF，连接CM．判断线段AC与CM的大小关系，井说明理由；（3）问题延伸：在上述问题原型和问题拓展条件及结论下，在图②中，若连接AM，则△ACM为三角形．【变式6-1】如图①，C、F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB==DE，AF=CD，点G是AD与BE的交点.（1）求证∶BG=EG;（2）当C、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.【变式6-2】已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AC=CE，BC=DE．（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD沿CB方向平移至图2情形，其余条件不变，结论AC（3）若将CD沿CB方向平移至图3情形，其余条件不变，结论AC一、单选题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是（）A．BD＝AD B．∠B＝∠CC．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD2．如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．如图，在等腰RtΔABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC，若BC=10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm4．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E，若∠BEC=40°，则∠CAE的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．50°5．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（）A．4 B．8 C．16 D．无法计算6．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则直接判定△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90∘；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③二、填空题9．如图所示，△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝13cm，则△DBE的周长为.10．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝．11．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝．三、解答题12．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，DB＝BC，求证：AC=AE+DE．13．如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=90°，C为BD上一点，AC=CE，B