数学高考真题卷-北京文数（含答案解析）

2018年普通高等学校招生全国统一考试•北京卷(文)本试卷满分150分.考试时长120分钟.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.⑴已知集合4=3|x|<2},6={-2,o,1,2},则ACB=(A){0,1} (B){-1,0,1)(C){-2,0,1,2} (D){-1,0,1,2)⑵在复平面内，复端的共轨复数对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限(开始)(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为 二£二,I21,尸(B)1 I申I©: 甘/咿/(D嗜(4)设a,"c,是非零实数,则“ad=6c”是"a,6,c,d成等比数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于'狐.若第一个单音的频率为£则第八个单音的频率为(A)y/2f (B)722/

(C)弋/步f (D)(6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为俯视图俯视图(A)l(B)2 (C)3 (D)4(7)在平面直角坐标系中，⑪,CD,EF,检是圆/+/=1上的四段弧(如图)，点尸在其中一段上,角。以公为始边，如为终边.若tan <cosaGina,则尸所在的圆弧是(A)⑪(B)CD(C)EF (D)GM(8)设集合A={(x,y)ax+yA,x-a_W2},则(A)对任意实数a,(2,1)6月⑻对任意实数a,⑵1)年月⑹当且仅当a。时，(2,当电4(D)当且仅当a<|时，(2,1)办第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分.(9)设向量a=(l,0),6=(T,而.若a_L(ma-b),贝！Im=.(10)已知直线1过点(1,0)且垂直于/轴.若/被抛物线炉为ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.(1D能说明“若贝壮为假命题的一组a,占的值依次为(⑵若双曲线马母=1(a刈的离心率为£则a= .a£4 2(13)若羽y满足x+\^y^2x,则2尸才的最小值是.(14)若比的面积为fG+c--炉)，且NC为钝角，则N炉 ；£的取值范围是三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(15)(本小题13分)设｛4｝是等差数列，且功=ln2,初依石In2.(I)求｛4｝的通项公式；(II)求eai+e02+…+e°n.(16)(本小题13分)已知函数/1(x)rin“x、/5sinxcosx.(I)求F(x)的最小正周期；(n)若f(x)在区间［个,加上的最大值为李求m的最小值.(17)(本小题13分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类第一类第二类第三类第四类第五类第六类型电影部140 50 300 200 800 510数好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(H)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率;(HI)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)(18)(本小题14分)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面为〃，平面ABCD,PAVPD,PA=PD,E,尸分别为⑼阳的中点.(I)求证:股L6C;(II)求证:平面PABL平面PCD\(HI)求证:即〃平面故？.R(19)(本小题13分)设函数f(x)=[ax2-(3a+l)x+3a+2]e：(I)若曲线片/Xx)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(II)若f(x)在x=l处取得极小值,求a的取值范围.(20)(本小题14分)已知椭圆秋(a>Z/))的离心率为4,焦距为2位.斜率为k的直线1与椭圆"有两个不同的交点A,B.a, 3(I)求椭圆材的方程；(II)若4=1,求I期的最大值;(HI)设P(-2,0),直线处与椭圆."的另一个交点为C,直线用与椭圆"的另一个交点为D.若C,〃和点0(-12345678910111213141,T(答案不唯60°ADBBDCCD-1(1,0)一)43(2,+8)(DA【考查目标】 本题主要考查集合的交运算、绝对值不等式的解法，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】 集合4={--2«<2},8={~2,0,1,2},."0夕={0,1},故选人.(2)D【考查目标】本题主要考查复数的除法运算、共施复数及复数的几何意义，考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解析】白湍而=与耳+?，所以土的共匏复数为u在复平面内对应的点为g晟)，位于第四象限，故选D.(3)B【考查目标】本题考查程序框图，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】 执行程序框图，S=,k2；sW2W，kA此时退出循环.故输出的S的值为故选B.2 236 6【易错警示】当型循环结构与直到型循环结构的区别:前者先判断后执行,后者先执行后判断.(4)B【考查目标】本题主要考查充分必要条件的判断，考查考生的逻辑思维能力，考查的数学核心素养是逻辑推理.【解析】a,6,c,d是非零实数,若ad=bc,则2士此时a,6,c,d不一定成等比数列;反之,若a,6,c,d成等ac比数列，贝畤W，所以ad=bc,所以“ad=bc”是“a,仇c,d成等比数列”的必要而不充分条件,故选B.【规律总结】充要条件的判断,通常需要分别判断充分性与必要性.(5)D【考查目标】本题以数学文化为载体，主要考查等比数列的通项公式,考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】 先判断十三个单音的频率构成以第一个单音的频率F为首项，।2为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式即可求解.【解析】 由题意得,十三个单音的频率构成以第一个单音的频率F为首项，।遮为公比的等比数列,所以第八个单音的频率为/「遮)7J/。故选D.(6)C【考查目标】本题主要考查几何体的三视图,考查考生的空间想象能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解析】 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥尸7况〃如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3,故选C.【解题关键】解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图.(7)C【考查目标】本题主要考查三角函数的定义，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】设点户的坐标为(％y),利用三角函数的定义可得(所以加o,所以尸所在的圆弧是曲，故选c.(8)D【考查目标】本题主要考查集合的含义及表示、不等式组的求解，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】若⑵D。则信二社4,解得@与所以当且仅当时，(2,1)3,故选D.【方法技巧】特例法和排除法相结合是解答选择题的比较简捷的方法.-1【考查目标】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直的充要条件,考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】利用向量的坐标运算求出必a-6=(»l,力)，根据向量垂直的充要条件可得关于卬的方程,解方程即可得出结果.【解析】由题意得,侬-6=("1,力)，根据向量垂直的充要条件可得1X(m+\)埼XLni)由,所以g-L【信息转换】向量垂直的充要条件是其数量积为0.(1,0)【考查目标】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】由题意知，aN,对于jMax,当x=l时，尸于2亚由于/被抛物线yWax截得的线段长为4,所以4份乂,所以a=l,所以抛物线的焦点坐标为(1,0).【注意事项】解答圆锥曲线的综合问题时，注意数形结合，尽可能利用图形的几何性质进行分析、作答.1,-1(答案不唯一)【考查目标】本题主要考查假命题及不等式的相关知识，考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理.【解析】由题意知，当a=l,b=-l时,满足a>b,但是三冷故答案可以为1,-L(答案不唯一,满足aW,ab即可)(12)4【考查目标】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】由题意可得，华三,得丁=16,又aW,所以aF,故答案为4.Q，4【方法总结】在求解有关离心率的问题时，一般不直接求出C和a的值，而是根据题目给出的条件，建立关于参数Ga,b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.

(13)3【考查目标】 本题主要考查线性规划，考查考生的运算求解能力及数形结合能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解析】通解表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z=2y-x,易知在点4(1,2)处取得最小值，最小值为3. 1_2s//优解由题意知则2y-x=-3(x-y)+(2xf23,所以2y-x的最小值为3.(14)60° (2,+8)【考查目标】 本题主要考查正、余弦定理，三角形的面积公式，两角差的正弦公式等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】 利用三角形的面积公式及余弦定理,可求N6;利用正弦定理,结合两角差的正弦公式,即可求解.【解析】△45C的面积S^acsinB巫(讨+"m^^X2accos8,所以tan因为0°<N6<180°,所2 4 4以/炉60°.因为NC为钝角，所以0°<ZJ<30°,所以OGan樗,所以c_sinCsin(120c_sinCsin(120°-X)sinl20°cos/l-cosl200sinAV3asinXsinA sinA 2tan4中2,故£的取值范围为⑵*8).2a【解后反思】正弦定理、余弦定理的作用在于边角转化，通常与三角函数知识相结合进行解题.(15)【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的定义、求和公式,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I)利用等差数列的通项公式,结合条件求出公差,即可求出数列的通项公式；(〃)由(/)求出｛e〃｝为等比数歹利用等比数列的求和公式,即可得出结果.【解析】(1)设｛&｝的公差为4因为及+为-51n2,所以2a+3d=51n2.又ai=ln2,所以(7-ln2.所以a产ai+(〃T)d=〃ln2.(ID因为e%=eln -^-=ean-a"-i^e1"2=2,eun-i所以｛e")是首项为2,公比为2的等比数列.所以^a2y-/ean=2X^-=2(2"-l).1-2(16)【考查目标】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I)利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求出函数/tv)的最小正周期；(H)利用正弦函数的性质，求出加的范围，即可求出勿的最小值.【解析】(I)F(x)W'cos2x，sin2xFin(2x』)社6 2所以F(x)的最小正周期为吟』.(II)由(I)知f［x)=sin(2x/*)2.62由题意知《〈X〈勿.TOC\o"1-5"\h\z所以上1・2彳上＜2加上.6 6 6要使得/Xx)在［《,加上的最大值为即sin(2xW)在［t，加上的最大值为L3 2 6 3所以20上》工即0》工6 2 3所以勿的最小值为:(17)【考查目标】本题主要考查概率与统计的相关知识,考查考生的数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查的数学核心素养是逻辑推理、数据分析、数学运算.【解题思路】(I)由题中表格可知电影公司收集的电影总部数,第四类电影中获得好评的部数,利用古典概型的概率计算公式，即可得出结果；(II)利用对立事件的概率计算公式，即可得出结果；(III)根据题意分析,即可得出结论.【解析】(1)由题意知，样本中电影的总部数是140%0+300+200对00巧104000,第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25=50.故所求概率为就4).025.(II)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140X0.4巧0X0.2+300X0.15+200X0.25^00X0.2^510X0.1-56+10尚5与0+160知-372.

故所求概率估计为1就4-814.(III)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.【触类旁通】 对信息的提取，图表的分析、加工和处理是关键,要注意统计知识与古典概型知识相结合.(18)【考查目标】 本题主要考查线线垂直、线面平行、面面垂直,考查考生的空间想象能力、推理论证能力,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理.【解题思路】(I)利用PA=PD,E为/〃的中点,可得PELAD,根据AD//BC,即可证明阳(II)利用线面垂直的判定定理证明勿，平面PAB,进而可证明平面必方，平面PCD\(HI)取用的中点G,连接GF,GD,证明四边形牙地是平行四边形,可得EF//GD,利用线面平行的判定定理,即可证明结论.【解析】(I)因为用划£为4〃的中点，所以PELAD.因为底面ABCD为矩形,所以BC〃AD.所以PE1BC.R(II)因为底面4以力为矩形，R所以ABLAD.又因为平面阳〃1.平面ABCD,所以46_L平面PAD.所以ABVPD.又因为为，必所以即_L平面切8所以平面以6_L平面PCD.(Ill)取用中点G,连接FG,DG.因为区G分别为阳小的中点，所以FG〃BC,FG^BC.因为ABCD为矩形,且E为｛〃的中点，所以DE//BC,DE^-BC.所以DE//FG,DE=FG.所以四边形丽为平行四边形.又因为时平面PCD,DGa平面PCD,所以跖〃平面PCD.【触类旁通】(D证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形的性质;三是利用三角形的中位线定理;四是利用线面平行、面面平行的性质定理.(2)证明线线垂直常用的方法:⑦利用等腰三角形底边中线即高线的性质；朝U用勾股定理;朗用线面垂直的性质定理.(19)【考查目标】本题主要考查函数的极值、导数的几何意义及其应用，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I)求导数,利用导数的几何意义,即可求a;(H)对a分a>l,aWl进行讨论,利用f(x)在A-1处取得极小值，即可得出a的取值范围.【解析】(I)因为/(*)=[ax2-(3a+l)x+3a+2]e：所以f'(x)=[axZ-(a+l)x+l]e".f'⑵=(2aT)e?.由题设知f72)=0,即(2a-l)eR解得畛(II)由(I)得F'(X)=[af-(a+l)x+l]e'=(a*T)(xT)e".若 则当xG&D时,F'(x)<0；a当xG(1,+°°)时,F'(x)人.所以/Xx)在x=\处取得极小值.若1,则当(0,1)时,axTWxT<0,所以F'(x)K).所以1不是/tr)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+8).【解后反思】 导函数在极值点处为0,要注意验证导数在零点附近的符号.f'(x)力是函数/Xx)取得极值的必要不充分条件.(20)【考查目标】 本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I)利用£斗+士离心率与焦距建立方程组,求出a,b,可得椭