南京市2023届高三年级学情调研（7月预演）答案解析

南京市2023届高三年级学情调研(7月预演)数学注意事项：.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷..本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分..答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.若|l+iz|=|3+4i|,则|z—i|=A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】|z-i|=|l+iz|=|3+4i|=5..若集合U=N*,M={x£N>=tan-x},N={y\y=x+~,则2 x2A.{5,7} B.{4,5,6,7}C.[4,8] D.[4,—]【答案】A【解析】因为(uA/={x|x=2%+l,左GN},N=[4,y],所以(CuM)DN={5,7}..在△ABC中，记H="，，行=〃，则布•(己5+芯)=A.m—n B.m+n C.n2—m2 D.m2+n2【答案】C【解析】因为4B=CB-CA=a—"i,所以48\CA+CB)=(n—m)(n+m)=n2—m2..在△48C中，AB=y[5,4C=@,BC=3.则以8c为轴，将△48C旋转一周所得的几何体的体积为A.- B.— C.7t D.—3 3 3【答案】C【解析】由图形易知8c边上的高为1,所以/=：S/i=$-3=7t..从1至8的8个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数和为偶数的概率为【答案】D【解析】p=g=3.Ci7.已知函数/(x)=sin(x+*+sin(管一x),g(x)=/(/(x)).则g(x)的最大值为A./ B.3 C.- D.22【答案】B【解析】记f=x+则次x)=/i(f)=sinf+sina+匹)="inf+重cos6所以g)=3sin(/+匹)引一3，病,6且所以H/(x))最大为3..双曲线C：三一炉=l(a>0)的左、右焦点分别为尸”Fi，/为C左支上一动点，直线与C的右支交于点8,且|{8|=3a,△/8为与48R尸2的周长相等，则巧尸2尸A.毡 B.逑 C.2 D.❷3 3 3 3【答案】B【解析】记C的焦距为2c,则/周=2c=2a/耳，又△ZBFi与的周长相等，即|/18|+|/1尸1|=|尸典+|8尸2|，又朋=%,且叫+g-叼=为即2广衍'次三，所以⑻尸2|=232+1=?..若函数y(x),g(x)的定义域为R,且&1=迎±2,溟丝1=2,则£一侬一=g(x)Ax-2)g(2024) *刍趴2斤+2)A.28 B.30 C.46 D.48【答案】B【解析】因为©■=匹山，所以一红虺二21=1,g(x)j{x-2) g(x+2)g(x)记〃(x)=曲，所以MxM(x-2)=l,h(x+2)h(x)=\,则/>(x)=/»a+4),g(x+2)

所以〃(2A)=/i(2伏+2)),曲22)=©=2,以2024)以4)且人2求0)=趴2)以4)，则瑞=；，所以£)^&-=4+2)X12=30.k=og(2k+2)2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。.在平面直角坐标系xQy中，已知直线/：工+千=1与x轴交于点4与y轴交于点8,圆

abC：/+炉—a%—勿—c=0,则A.若c=0,则点。在圆C上氏直线/与坐标轴围成的三角形的面积为日2C.若点O在圆C内部，则C的取值范围为(0,+8)D.若4=b=c=—:，则圆C与△048的中位线相切【答案】ACD【解析】对于A,圆C:。一,2+&-32=^^+。=/《，令x=y=0,恰符合;对于B,面积为野;对于C,对于C,空+c>审即c>0；对于D,圆C：(x+：)2+(y+；)2=；,中位线3x+3y+4=0恰与圆C相切..已知数列｛a〃｝满足。1=1,色山■=a”+工，则ananA.斯+I22斯 B.｛—｝是递增数列anC.｛a〃+i—4a〃｝是递增数列 D.an^n2^2n+2【答案】ABD【解析】对于A,因为血2=&+!》2,所以。“+i》2a“；QnQ”对于B,因为血担=为+工，所以烂也｝是递增数列；

a〃 a〃对于C,由a“+i—4q”=(q〃-2)2—3,可知｛a〃+［一4〃”｝不是递增数歹ij；对于D,因为所以斯+i—晶=1V%+i—〃”，所以a〃+a〃2n,所以《〃+1=*+12/+11即 -1)2+1=n2—2〃+2.

11.在直四棱柱488—481Gz>i中，AAi=AD=2AB=2,AB±AD,且P为CG中点，Q为441上一动点，则A.\PQ\^\y[5, B.三棱锥8一。尸Bi的体积为|C.存在点。使得与平面。尸81垂直D.存在点。使得4G与平面。尸8|垂直【答案】AB【解析】以。为坐标原点，04为x轴，OC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系。—xyz,对于A,尸(0,1,1),0(2,0,q),所以|P0|=N(g-1A+5,且gG[0,2],所以巫];1 1 7对于B, °/>&=々-8?&=一义1X—X2X2=一；3 2 3对于C,BP=(-2,0,1),50=(0,-1,q),BDt=(~2,-1,2),设平面。尸8i的法向量”=(x,y,z),An-BP_0>I_2x+z=0,且一BP',_n则"可以是(1,2g,2),♦・80=0,l—y+gz-o. ”'所以访।不可能平行于”;对于D,因为就|=(一2,1,2),所以元।也不可能平行于".B.£卬=(1+到-1/=1D.£产B.£卬=(1+到-1/=1D.£产0=2〃(”-1)尸(1+切T/=2A.20=2"/=oC.tiai=nk[\+k)n~'i=\【答案】BC【解析】对于A,代入x=l得£5=(1+外"；/=0对于B,代入x=0得40=1,所以£卬=(1+4)〃一1；X=1对于C,对等式两边x同时求导得nk(\+Ax)〃T=ai+2aix+…+〃册e7(*),代入x=l得£如=欣(1+%)〃7；;=1对于D,对(")式两边X同时求导得成2(〃—[)(1+履)"-2=2〃2+6〃犷+…代入X=l,则fZ(Z-= 1)(1+k)n~2,i=2所以£k-1)佐+ 尸”尸(〃-1)(1+曾“-2+砍i+刈1一0=”网成+])(]i=2 i=2 i=2+k)n~2—nk.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。设m620,且23+6=1,则的最小值为 .b【答案】0【解析】旦=也二小=^+上一]》。，当且仅当a=0,6=1时取等.b4b44力2已知函数/(x)=Hnx+"+x,g(x)=/'(x).若g(l)=以3)=0,则大2)=.x【答案】-41n2+12【解析】因为g(x)=r(x)=4_g+]=_+?一)XX2 X2且g(l)=虱3)=0,即一。=4,—b=3,所以“0=一412一士+x,42)=-41n2+与x 2已知一个正四面体的棱长为2,则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为.【答案】施3【解析】设外接球半径为小外接球球心到底面的距离为儿则〃r2=h2+~,所以/"=也，3 3 2由几何图形可知交线半径为坐，6所以交线长度为2兀•痘=画.6 3在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为尸(g，0),则C的方程为;若P，F两点关于歹轴对称，且以尸尸为直径的圆与C的一个交点、为A,贝iJcosNO4F=.【答案】产=8x；存【解析】因为炉=2px的焦点为小，0),所以2=4，解得p=4,则。的方程为产=8》：因为尸，尸两点关于y轴对称，且。尸=2,

所以以尸尸为直径的圆为/+产=4,设4(X0,次),则。4=(xo，则)，FA=(xo—2,yo)f联立*翼联立*翼X则/+8^—4=0,解得出=23-4,12-4a/5 12-4a/5 y[s-\234-8近 2且cosNCMC=__\OA\-\FA\四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(10分)记S,为数列｛6｝的前〃项和，已知劣>1,｛S“-^是公差为；的等差数列.(1)证明：｛〃”｝是等差数列；(2)若a”“2,。6可构成三角形的三边，求鱼的取值范围.。14解：(1)因为｛S〃一1%｝是公差为1的等差数列，所以S”一；片一(S"-]—：后一1)=；,即(〃“一1)2=屈_[,又0t>1,所以an—an~\=\,所以｛斯｝是等差数列；(2)因为0,42,46可构成三角形的三边，所以2m+1>〃]+5,即m>4,又奥=3=型曲=13—上一,且。>4,。14 014fl|+13 41+13所以鱼加，13).«14 17(12分)已知椭圆C：?+q=l(a>b>0)的上顶点为/(0,1),右焦点为9(1,0).(1)求C的方程；(2)若尸为C上一点，且tanN/尸尸=2+S，求直线尸产的方程.解：(1)记C的焦距为2c,则b=c=l,所以a=S，C的方程为2+产=1；(2)记坐标原点为O,且tan/AQutam/ZkO+NPR?),或tanZAFP=tan(ZPFO-NAFO),因为tanN/FP=2+3>0,b=c=1,所以N4">=45°,所以tanN4FP=tanN所以tanN4FP=tanN4EO+tanNPFO1-tanZAFOtanZPFOl+tanNPR9I-tanZPFO=2+3,r.LntanZPFO—tanZ.AFOtan/尸尸。一1_.r或tanZJFP= = =2+弋3,1+tanZPFOtanZAFO1+tanZPFO所以tanN尸FO=兴或一3，r-记直线尸尸的斜率为A,则％=tanN尸尸0=胃或一心，所以PF的方程为y=芈(x-1)或y=-y/3(x-l),即yjiy—x+1=0或Sx+y—S=0.a2~ba2~b2a2+62-c2记△Z8C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知:(1)若C=匹，求4B；4(2)若△48C为锐角三角形，求一^的取值范围.bcoszBAT,/、a2_b1/+乂_c2解：(1)因为——= =2cosC,c2ab所以sin2J—sin2B=2sin2CcosC=sin2CsinC=sin(J+8)sin(4—B)=sinCsin(J—B),代入C=匹，则sin(Z—6)=1,所以4—8=匹，且4+5=红，4 2 4所以/=2，5=—；8 8(2)由(1)知sin2C=sin(/—8),①当2C=Z-B时，且4+5+C=7c,若△ABC是锐角三角形，则4<四，2所以24=7t+C<7t,不成立；②当2C+4-8=7T时，且/+8+C=n,所以C=28,所以38>工，2则匹VB<A且C=2〈G(匹,-),JG(-,-),6 4 32 42口asin/isin38A且 -=- -=- 7-=3-tan-8，bcos-Bsin5cos/sin5cosJ又tanBG(也，1),所以二~，G(2,1).3 bcos2B3(12分)根据北京冬奥组委与特许生产商的特许经营协议，从7月1日开始，包括冰墩墩公仔等在内的2022北京冬奥会各种特许商品将停止生产.现给出某零售店在某日(7月1日前)上午的两种颜色冰墩墩的销售数据统计表(假定每人限购一个冰墩墩)：蓝色粉色男顾客5a6a6女顾客2a34a3(1)若有99%的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，求。的最小值；(2)在。取得最小值的条件下，现从购买蓝色冰墩墩的顾客中任选p人，从购买粉色冰墩墩的顾客中任选g人，且p+g=9仍，g20),记选到的人中女顾客人数为X.求X的分布列及数学期望.附不= n(ad—be)： 尸体0.05 0.010 0.001(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) k3.841 6.635 10.828解：(1)因为有99%的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，不妨给出零假设品：顾客购买的冰墩墩颜色与其性别无关，且该假设成立概率小于等于0.010,且由表知尸(群N6.635)=0.010,则烂=%26.635,即a29.9525,又aGZ,-£Z,3 6所以。的最小值为12；(2)因为p+g=9,所以X的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,所以X的分布列为「('二"二01/，i=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,C36且X〜〃(9,24,36),所以以町=野=^=6.(12分)如图，四棱锥尸一的体积为3,平面尸平面Z8C。，是面积为3的等4边三角形，四边形是等腰梯形，BC=l,E为棱P4上一动点.(1)若直线EC与平面718co的夹角为60。，求二面角8—CE—。的正弦值；(2)求改的取值范围.

解：（1）因为△尸是面积为a/5的等边三角形,所以PA=PD=AD=2,因为平面/MOJ_平面488,四边形48。是等腰梯形,过尸作力。的垂线，垂足为O,记8c中点为7,连接07,所以O兀L4D,以O为坐标原点，0/为x轴，。7为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系。一切,且8c=1,。尸=3，又四棱锥P-Z8c。的体积为3,4所以四边形N8C。的面积为速，07=亚，4 2设E（f,0,3—3。，又C（一~~i0）»所以EC=、4r又直线EC与平面的夹角为60。，即人4/2—5/+4=2—2/,解得，=0,E,P两点重合，又E（0,0,3）,5C=（-1,0,0）,C£=（p一当回CD=（-1,当0）,设平面8CE的法向量“1=（X1，yi，zi）,平面CZJE的法向量“2=（x2,/，z2）.mBC=0,"2苍=0, 缶=o, 42-鼻2+岳2=0，且‘ — ’ —Bp' _ '2 2LiCE=O,Li2CD=O,Lw+2zi=0,[_也+儡2=0.所以"I可以是（0,2,1）,”2可以是（3，1,0）,记二面角B-CE-D的平面角为仇K!||cos0|=|cos<ni,ni>\=K!||cos0|=|cos<ni,ni>\=sm0=^-,

5即二面角B-CE-D的正弦值为手；(2)因为E£>=N4F—4f+4,EC=N为一5f+4,所噜当且仅当，=1所噜当且仅当，=1时取等号，且，=0时，—=1,EC所以罂€口，(12分)已知函数兀0=更和以关)=叵有相同的最大值.er ax(1)求a：(2)证明：存在直线y=6,其与两条曲线>>=兀0和'=以幻共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.解：(1)因为/(力=盛二/。)=匕萼，eY ax2①当aVO时,令一(x),g'(x)>0, g'(x)<0,则/(X)在(一8,1)上单调递减，在(1,+8)单调递增，不存在最大值，g(x)在(一8,e)上单调递减，在(e,+8)单调递增，也不存在最大值；②当a>0时，加)在(一8,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减，g(x)在(一8,e)上单调递增，在(e,+8)单调递减，所以大刈有极大值<1)=@,即/(x)的最大值，eg(x)有极大值g(e)=,，即g(x)的最大值，ae所以即