北京2021届高三5月模拟考试数学试题及答案

北师大万宁附中2021年高考5月底模拟考试

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.己知集合A={Rx2一4<o,x€N},则集合A的子集的个数是A2B.3C.4D.5.若z（l+2i）=2-i,则2=A1B.-1C.iD.-i.若+ 的展开式中X的系数为15,则。=A2 B.3 C.4D.5.已知直线/1:x+（2a—1）y+2n—3—0.I2：ax+3y+a~+4=0,3则“4〃，2”是“。=_”的- 2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.已知角a的顶点与坐标原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（2,-3）,则sinf2a+电］=I2J6 八6 八5八5A.— B. C.—D. 13 13 13 13.已知y=logff3,z=cos3,贝UA.z<y<x B.y<z<xc.z<x<y D.x<z<y.我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载埴在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个。键到下一个G键的8个白键与5个黑键（如图，从左至右依次为：c,#c,d,#d,e,/,#/,g,#g,q,#a,b1,q）的音频恰成一个公比为啦的等比数列的原理，也即高音q的频率正好是中音c的2倍.已知标准音力的频率为440位，那么频率为220a也的音名是

C.eD.C.eD.nd.已知y=/(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的xeR,〃x+2)=/(—x)恒成立，当-lWx<0时，/(x)=2\则/(2021)=A.-1A.-11B.一一2D.1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。.为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分(十分组)如图所示,则下列描述正确的有频数6甲组10得分B.甲、乙两组成绩的中位数相等A.环保知识测试，得分(十分组)如图所示,则下列描述正确的有频数6甲组10得分B.甲、乙两组成绩的中位数相等A.甲、乙两组成绩的平均分相等C.甲、乙两组成绩的极差相等D.甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差.已知6月为两个不重合的平面，"4〃为两条不重合的直线，则下列命题正确的是A.若mlla，all(3,则A.若mlla，all(3,则tnlipB.nI。，a【B,则m〃C.D.若6_L〃，加〃夕，则11.函数〃11.函数〃x)=2cos2x-^j+l(xeR),则下列说法正确的是A.若/(玉)=/(&)=3,则玉_%2=桁(%£2)7TITB.函数f(x)在上为增函数・函数〃x)的图象关于点仁,1对称D.函数f(x)D.函数f(x)的图象可以由g(x)=2sin2尤-四+l(xeR)的图象向左平移■^个单位长度得到12.已知函数/(司=£一依—mx(aeR),则下列说法正确的是A.若a=—1,则/(x)在区间(0,；)上单调递减B.若a=l,®iJ/(x)＞0C.若0＜。＜1,则/(x)有两个零点D.若。＞1,则曲线y=/(x)上存在在相异两点A7,N处的切线平行三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.已知向量a=(x-2,3),B=(4,x-3),若历且方向相反，则％=..抛掷3个骰子，事件A为“三个骰子向上的点数互不相同”，事件B为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2"，则P(A|B)=..已知抛物线C:/=Uy的焦点为尸，抛物线C上一点A满足|A月=3,则以点A为圆心，A尸为半径的圆被x轴所截得的弦长为..在上、下底面均为正方形的四棱台中，已知A4,=区4=CG=。口=J5,AB=2,Ag=1,则该四棱台的表面积为；该四棱台外接球的体积为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。.(10分)

在①布•/="；②百sinC+cosC="；③面积S=2叵这三个条件中任选一个，补2 b 3充在下面的问题中，并回答问题.问题：在AABC中，内角AB,C所对的边分别为a,b,c,A为锐角，。=6,b=46sinB＜且 ,求AABC的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分..(12分)已知数列｛。“｝满足q+2a,+36■+ fnan 1)2/!+|+2.(1)求数列｛《,｝的通项公式；切戈粕万J 1 Trif.iT(2)求数列\ ，的刖〃项和1.[log2a„.log2«„+2.（12分）2021年，我国新型冠状病毒肺炎疫情已经得到初步控制，抗疫工作取得阶段性胜利.某市号召市民接种疫苗，提出全民“应种尽种”的口号，疫苗成了重要的防疫物资.某疫苗生产厂不断加大投入，高速生产，现对其某月内连续9天的日生产量％(单位：十万支，_ 19i=_ 19i=l,2,♦・・,9，z=,，z：.9i=lyZ9i=l±tiZii-\2.7219139.091095所示的散点图及一些统计量的数值：注：图中日期代码1~9分别对应这连续9天的时间；表中z,=e”,(1)从这9天中随机选取3天，求这3天中恰有2天的日生产量不高于三十万支的概率;(2)由散点图分析，样本点都集中在曲线y=ln(R+a)的附近，求y关于f的方程y=In（初+a），并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万支.参考公式：回归方程丁=%+。中，斜率和截距的最小二乘估计公式为：八 ft/.-〃xy_—b-- = ,a=y—bx.参考数据：e4«54.6E（x<-x）' 之片-〃fi=l i=l.（12分）如图，长方体A8CO-A4GA被经过的动平面a所截，a分别与棱CG，A4交于点”，N,得到截面BMRN,已知AB=BC=1,DD、=6（1）求证：MNLBD-,, J2（2）若直线A8与截面BMRN所成角的正弦值为以，求AN的长.4B21.21.(12分)已知双曲线E:Ja~=\(a>O,b>0)的两条渐近线所成的锐角为60。,且点P(2,3)为E上一点.(1)求E的标准方程；(2)设M为E在第一象限的任一点，过M的直线/与E恰有一个公共点，且直线/分别与E的两条渐近线交于点AB,设。为坐标原点，证明：AAO8面积为定值.22.(12分)(1)已知函数46=(%-2)d一|(工一1)2,讨论/(x)的单调性；(2)已知函数g(x)的图象与函数/。)=此-*的图象关于直线x=l对称,证明：当x>l时，f(x)>g(x).数学参考答案选择题123456789101112cCBCCADBBCDBCACAB填空题13.-1 14.- 15. 2石 16.5+377；TOC\o"1-5"\h\z5 3.在等腰梯形OCG。中，过a作G"，OC，垂足为“，易求c〃=L, .则四棱台的表面积为2 2S=S卜*+Sk陡+5抑=l+4+4x叱lx"=5+3币.上辰f底网 2 2设ACc8£>=O,AGcBQ=Q「由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥（如图），因为AB=2,A4=1,可知ASA与与/XSAB相似比为1：2；则£4=24^=272,AO=y[2,贝USO=#，则。。=手，即该四棱台的高为手.由于上、下底面都是正方形，则外接球的球心在。。|上，在平面与80a上.由于。。=乎，4。1=孝，则。4=夜=。8,即点。到点8与到点区的距离相等，同理。到A,4,C,C,,D,。的距离均为J5,于是。为外接球的球心，且外接o5球的半径/"=0,故该四棱台外接球的体积为二;乃.解答题.解：=气=&=46,代入。=6,得sinA=更，又A为锐角，故4=聋.……（4分）sinAsmB 2 3若选①，AB-AC=becosA=^,由cosA=4，得bc=15.又。2="2+c2-2bccosA,即。？+/一bc=36,S+c）2-3bc=36,得Z;+c=9.JAA8C周长为a+b+c=15. （10 分）若选②，6sinC+cosC=^^=sinA+乎C,bsinB即y/3sinCsinB+cosCsinB=sin（B+C）+sinC.化简得百sin8=cos8+l,即2sin（8-,）=1,解得6-专=/或手（舍）.故8=1，此时A4AC为等边三角形，周长为3a=18.……（10分）若选③，S=/bcsinA=¥，得be=空.又/=/+c2-2Z;ccosA,即〃+。2-a=36,（b+c）2-3bc=36,得匕+c=8.；・AABC周长为a+b+c=14. （10分）.解：Q）由题意:％+1+乜+…+M,=（aT）2T+2,①当2时%+%+1+”.+S-1Mm«（n-2）2"+2②①一②得F=（力-1）2*（时2）2,即q=2"当〃=1时,4=2满足上式，所以。“=21[ S]S—f——1）⑵因为WaaLlogzZ'n/atofeKgaNM»+2）2n”+2J 3 2n+3-2U2-«+T-n+2）-4"X«+lX"+2）.解：✓~«2z"»l（1）记所求事件为A,9天中日产量不高于三十万支的有5天.P（A）=—f=兴.…（4分）Cg219（2）0.,y=ln（Z?r+fl）,z=ey=ht+a/=5，，j=285.z=i卒一）（z，T沙--|…X5X、4TOC\o"1-5"\h\z" 力（…Y 天-#285- .1=1 /=14 [.•.a=z-^=19-4x5=-b，y=ln（4r-1）.令ln（4f-1）>4,解得.>£jLal3.9.4.•"214,即该厂从统计当天开始的第14天日生产量超过四十万支.……（12分）

2。解：（1）以。为原点，分别以。A,DC,DDlt所在直线为x轴，y轴，z轴,建立空间直角坐标系.则0（0,。,。），A（l,0,0）, C（0,l,0）,D,（0,0,V3）.设N（l,0,f）（f工0,百]）,知（0,1,/?）（〃€[0,6]）则丽=（1,一11一〃），而丽=（l/,0）,所以丽・丽=0,所以M/V_LBO.（由向量相等丽=砌可得f+//=G）(2)因为通=(0,1,0),B/V=(0,-l,r),西设平面8M"N的法向量为％=（x,y,z）,则ii=-y4-zZ=0 一（「f—»令z=l，则〃=（J3—设直线45与截面所成角为夕，所以•n=—x-y+设直线45与截面所成角为夕，所以解得，=走，所以an=X3.3 321解：（1）由题意，双曲线在一三象限的渐近线的倾斜角为30°或60°,即2=噂或J5.a3当2=1尊时，E的标准方程为《一骂-=1,代入（2,3）,无解.a3 a"a2 2当口=G时，E的标准方程为三■一3T=1,代入（2,3）,解得/=].a a23a之2故E的标准方程为f一千=1.……（5分）2（2）直线斜率显然存在，设直线方程为尸丘+r,与f-看=1联立得：（k2-3）x2+2ktx+t2+3=O.由题意，上*±6且4=4左2/一4伏2-3）（产+3）=0,化简得:t2-k2+3=0.解得工2=-t6+k解得工2=-t6+k将丁=履+/与丁=百工联立，解得王二方/一«与y=-Gx联立,y/3-kSuos=JIOAI•I。61sinNA08=412xJ.12%I©n120°=向石马1=•由/一/+3=0,，Smqb=6,故AAO8面积为定值G.……(12分)22.解：(1)解：/,(x)=(x-l)eA-6F(x-l)=(x-l)(eA-a^.设a40,则当xe(-oo,l)时，/'(x)<0；当xg(1,+oo)时,/*(x)>0.所以在(-0,1)单调递减，在(1,内)单调递增.设a>0,由/'(x)=0得x=l或x=lw.①若a=e,则/(x)=(x-l乂e*-e),所以在(-oo,+o。)单调递增.②若0<a<e,贝ijlna<l,故当xe(-oo,lna)U(L+°°)时，/'(x)>0；当xw(lna,l)时,/'(x)<0,所以/(x)在(一。o,lna),(l,+o。)单调递增，在(lna,l)单调递减.③若a>e,贝故当xe(-oo,l)U(/w,+°°)时，/'(x)>0;当xc(l』na)时，/'(x)<0,所以/(x)在(-oo