华中科技大学计算方法第六章常微分方程初值问题数值解法测试题

第六单元测试题院（系）专业班级学号姓名题号—三四五六七八总分得分得分评卷人一'（10分）分别取步长〃=020.1,0.05,用Euler方法求解初值问题<y。）=-»«）+/+1/e[0,1],J（O）=L解、记。=0,1,...,N（N〃=1）,则应用Euler到上述初值问题得到yn+\=y„+K-y„+tn+^n=o,i,y0=i. ..（4分）不难验证其真解为歹（f）=e-'+f.下表列出了在不同步长下于不同时刻处的数值解和误差.4力=0.2h=0A/?=0.050.001.000000000000001.000000000000001.000000000000000.051.000000000000000.101.000000000000001.002500000000000.151.000737500000000.201.000000000000001.010000000000001.014506250000000.251.023780937000000.301.029000000000001.035091890625000.351.048337296093750.401.040000000000001.056100000000001.063420431289060.451.08024940972461

0.501.090490000000001.098736939238380.551.118800092276460.601.112000000000001.131441000000001.140360087662640.651.163342083279500.701.178296900000001.187674979115530.751.213291230159750.801.209600000000001.230467210000001.240126668651770.851.268120335219180.901.287420489000001.297214318458220.951.327353602535311.001.327680000000001.348678440100001.35848592240854终点误差0.040199441171440.019201001071440.00939351876290..(10分)得分评卷入的Adams方法）.（15得分评卷入的Adams方法）.解、首先将微分方程y⑺=两端在区间匕乩+J积分得到y„+]-yn= （4分）利用数据节点9一2，工-2），«1，/；一|）和（*力）,可构造2次插值多项式2 (S\..(8分)£2(/)=£2(Z„+5/z)=^(-1)7...(8分)其中V是向后差分算子，即,是二项式记号的推广，即=1,j+1)=1,对人⑺积分得广工2⑺力= ,其中%=（T）'」1—jds.故可得数值方法2K+l-K=%X%V'N （12分）7=0求解得故上述格式可进一步改写为以+「X,='〃（23工-16X-,+5兀2） （15分）得分三、（15分）导出三步的Adams-Moulton方法（又称隐式评卷人的Adams方法）.解、首先将微分方程y'（t）= ,y（f））两端在区间匕,％J积分得到K+1-K=f*' （4分）利用数据节点（*/-2），（*/-3（%工）和（褊/+J,可构造3次插值多项式3卬f）=A3（*+s〃）=Z（T）’ ”（8分）7=0 \JJ其中▽是向后差分算子，即（二1是二项式记号的推广，即⑷一1⑺_a（"l）…（"/+D[0）~{J"方对乙⑺积分得『卬。山=杉＞产以，其中P,=（-1），£「[去.故可得数值y=o \JJ方法3yn+i~yn=玲邛丫叮2 （12分）7=0求解得尸八故上述格式可进一步改写为以+1-歹”=]〃（9以+19,-5X-i+1X-2） -（15分）付a四、（10分）构造如下形式的方法使其达到2阶:评卷人 笫+2+«1K+1+ =hPlfn+2.解、要使方法达到2阶，需满足c0=G=C2=0,即。0+%+1=0,</+2-。2=01 ..（6分）17不（%+2~）—2夕2=。.TOC\o"1-5"\h\z1 4 2求解得% %=-§,夕2=§.从而所求方法为4 1 2州+2-§州+1+-K=~hfn+2 （10 分）付刀~ 五、（10分）分析Milne-Simpson方法评卷入1州+2-％=g（＜+2+"+1+fn）的收敛性.1 4 1・不难解、显然该方法是2步方法，且为=-1,%=0,。2=1，20=3,夕1=§，夕2=]・不难Co=q=c2n=0 （5分）即该方法是4阶相容的.其第一特征多项式为pC)=三一1.求解得它的两根为 (10分)即满足根条件，所以方法是零稳定的.综述，由相容和零稳定，我们知道该方法是4阶收敛的.付R六、(10分)求a使线性多步法评卷人一匕+2-0+a)乂+1+ayn=^h[(2-a)X+I-0+«)X]是相容的和零稳定的.解、对应的特征方程为TOC\o"1-5"\h\z。(9=42_(1+。堵+a=C_i)(g_a),bC)=g[(2—a)4—(l+a)] (3分)不难验证0(9的根为。=1K2=a.根据零稳定的充要条件，我们需要IaU1且aE,即-ina<l (5分)如果该方法是相容的，则有mi)=o,p⑴=61),即p'(l)=2-(l+a)=l|(2-a)-(l+a)]=(T(l), (8分)化简得1-01=5-a, (10分)显然不存在这样的a.因此，该方法是不相容的.

七、（10分）分析梯形方法的稳定区域。评卷人解、对梯形方法，我们有。©。©=0=”+1）.（4分）进而有兀（z/）=。，）一Zb《）=（1一;z）百一（1+；z） （6分）其唯一根为•（8分）|目|目<loRe（z）<0,（10分）故其稳定区域为整个左半复平面.八、（20分）证明2步BDF方法是A-稳定的.评卷人解、对2步BDF方法有%（z«）=小外一Zb（9=（l--z）^2--^+- （4分）要证明该方法是A-稳定的，只需证明对72€。7,万（2,4）是$曲川多项式.（8分）借助于Schur准则可知其等价于下面2个条件同时成立：,、1,,2,⑴、”1-;1f2 2 4 1 11,4 21(2)、+ -y^+(l_yz)]j仍为Schur多项式. (12分)由z€CT可知(1)成立.(2)中的多项式的根为4“2L4(1_广5)。=—1 (15分)3 9令Z=Q+仍,。<0,贝IJ次-4+/=4&2-24+4/G~(