河南省信阳市2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案解析）

第19页/共19页2022—2023学年普通高中高二（上）期中教学质量检测数学试题（测试时间：120分钟卷面总分：150分）注意事项：1.答题前，考生各必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面yoz对称点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间点关于平面的对称求解.【详解】解：点关于平面yoz对称点的坐标为，故选：A.2.下列直线在轴上的截距为的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，求出直线与轴交点的纵坐标.【详解】分别令，A中得，B中得，C中得，只有D中，，故选：D.3.直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由线面垂直时，直线的方向向量与平面法向量平行，得解决即可.【详解】因为，则向量与平行，所以，，所以，，.所以故选:B.4.设向量，，不共面，空间一点P满足，则A，B，C，P四点共面的一组数对是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】由题设条件可知，A，B，C，P四点共面等价于，由此对选项逐一检验即可.【详解】因为向量，，不共面，，所以当且仅当时，A，B，C，P四点共面，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.5.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义，分别对充分性和必要性作出判断.【详解】当时，两直线方程分别为与，满足两直线平行.当时，两直线方程分别为与，也满足两直线平行，因此直线与直线平行时不能得出.“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.6.设，，为空间单位向量，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，为空间单位向量可得其模长均为1，由得，又并结合数量积的运算公式，从而求出.【详解】.故选：C.7.若圆与圆外切，则实数n的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，然后利用两圆外切，圆心距等于半径之和即可求解.【详解】由，配方，得，圆心，半径为3；又圆，圆心（1，0），半径为.因为两圆外切，则，解得：.故选：C.8.如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则A1到平面的距离为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，用空间向量法求点到平面的距离．【详解】如图，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，M(1,1,0).则有，，设平面的法向量为，则即令，得平面的一个法向量为，又，所以A1到平面的距离.故选：D.9.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】先将方程化椭圆的标准方程，再由焦点在轴上得到，从而得解.【详解】方程可化为，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，故，.故选：D.10.将一条线段AB分为两线段AC，CB，若，则称点C为线段AB的黄金分割点.已知圆O以AB为直径，C为线段AB的黄金分割点，直线l过点C且垂直于AB，则圆O上到直线l的距离等于的点有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】A【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到，的长度，然后与比较大小，即可得到圆O上到直线l的距离等于的点的个数.【详解】，，，，因为，所以，所以，圆O上到直线l的距离等于的点有4个.故选：A.11.过点作直线l分别交x，y轴于A，B两点，当（O为坐标原点）的面积等于12时，这样的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】【分析】设直线的截距式方程，结合三角形面积列方程组，方程组解的个数即为直线的条数.【详解】设直线，则，即①或②方程①有两解，方程②有唯一解.故这样的直线有3条.故选：C.12.已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算直线与和轴的交点，计算，考虑当在点与点之间（包括点）和当在点的左侧两种情况，根据坐标之间的关系得到不等式，解得答案.【详解】，由已知得，由得，，，直线与轴交于，当在点与点之间（包括点）时，，，则有，所以，，，故，所以，，又，，故；当在点的左侧时，解得，，由得，此时，，点到直线的距离，，得，则有，所以，，又，，故，，即.综上所述：实数b的取值范围.故选：D.【点睛】关键点点睛：这道题的关键点是考虑当在点与点之间（包括点）和当在点的左侧两种情况，然后通过计算各点的坐标计算面积第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.与向量反向的单位向量的坐标为_________.【答案】【解析】【分析】根据向量的反向的单位向量的定义求解即可.【详解】解：与向量反向的单位向量为.故答案为：.14.平面的法向量为，平面β的法向量为，若，则m=_________.【答案】【解析】【分析】等价于，由数量积坐标运算求解.【详解】因为，所以，即，所以.故答案为：15.已知椭圆（a>b>0）的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠是钝角，则满足条件的一个e的值为____________【答案】（答案不唯一，<e<1）【解析】【分析】当为短轴端点时，最大，因此满足题意时，此角必为钝角．【详解】由题意当为短轴端点时，为钝角，∴，∴，，，∴．答案可为．【点睛】本题考查椭圆的几何性质．解题中注意性质：是椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，当为短轴端点时，最大．16.某镇有、两所卫生院，分别位于镇政府的西侧和东侧，都距镇政府公里，为使居民打新冠疫苗有序且不拥挤，规定：某地到院的距离小于到院距离的倍，在院打疫苗，到院的距离大于到院距离的倍，在院打疫苗，到院的距离等于到院距离的倍，在、两院都可打疫苗.则、两院都可打疫苗的点的轨迹的形状是_________，到院打疫苗的居民的最远距离为_________公里.【答案】①.圆②.【解析】【分析】以镇政府为坐标原点建立坐标系，则、两所卫生院的坐标为，，设，已知到院的距离等于到院距离的倍，则，由两点间距离公式可得轨迹方程为圆，当过点的直径时有最远距离.【详解】解：如图，以镇政府为坐标原点，向东，向北方向分别为、轴建立坐标系，则，，设为到、两院都可打疫苗的点，依题意，，，，得，化简，得，即，所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，显然圆上或内的点在院打疫苗，院打疫苗的居民的最远距离，即为圆上的点离院最远距离为公里.故答案为：圆；.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，设E是正方体棱的中点，.（1）求证：；（2）求与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关各点坐标，求得，，计算、的数量积，即可证明结论；（2）求出，，利用向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】证明：如图，分别以，，所在直线为轴建立直角坐标系，则，，，，，，，，故所以，.【小问2详解】由，，，即与所成角的余弦值为.18.已知圆经过，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于两点，求；（3）过作圆的两条切线，求切线的长.【答案】（1）（2）（3）3【解析】【分析】（1）设圆心坐标为，则，解得答案,（2）计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可,（3）计算，再利用切线长公式计算得到答案,【小问1详解】设圆心坐标为，则，解得，圆心，半径为，所求圆的方程为.【小问2详解】圆心到直线即的距离为，则.【小问3详解】设两个切点分别为，，则，即切线长为3.19.四边形四个顶点是.（1）证明：四边形为直角梯形；（2）求边垂直平分线的方程；（3）求平分线所在直线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）在四边形中，由两直线的斜率相等，则两直线平行，反之则两直线不平行，可得，与不平行，所以为梯形，又，则，所以为直角梯形；（2）求的中点及边垂直平分线的斜率，利用点斜式可得边垂直平分线的方程；（3）解法1：利用角平分线上的点到角两边的距离相等，易知平分线的倾斜角为锐角，从而求出平分线所在直线的方程；解法2：设平分线的倾斜角为，并求出即平分线的斜率，利用点斜式可得平分线所在直线的方程.【小问1详解】由，，，，，，所以，，与不平行，所以为梯形，又，，所以为直角梯形.【小问2详解】由的中点，边垂直平分线的斜率，利用点斜式可得边垂直平分线的方程为：，即.【小问3详解】解法1：直线，即，直线，即，设是平分线所在直线上的一点，则，即，或.易知，平分线的倾斜角为锐角，故平分线所在直线的方程为.解法2：设直线AD的倾斜角为，则，设平分线的倾斜角为，则，所以平分线的方程为，即.20.已知点，，圆以为直径，点为圆上任一点，过作轴的垂线段，垂足为，在上，且，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设点为曲线上异于的任一点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题知，故设，，进而根据向量关系得，再根据即可得答案；（2）设，则，进而计算即可得答案【小问1详解】解：由题知，圆的方程为：，因为点为圆上任一点，过作轴的垂线段，垂足为，在上，设，，则，，因为，所以，因为，所以，即.所以曲线的方程为.【小问2详解】解：由（1）知曲线的方程为，设，则，，所以.21.如图，在三棱锥中，，O为的中点，，平面平面，点E在棱上，为等边三角形.（1）若E是的中点，求与平面所成角的正弦值；（2）若，求二面角的大小.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）证明两两垂直，建立空间直角坐标系，求得相关点以及向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案;（2）求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】，O为中点，，平面平面，平面,平面平面，平面.取中点F，为正三角形，，过O作与交于M点，则，两两垂直，以O为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则,,,,，则，，设平面的法向量为，则，，设，则，，设与平面所成角为，则.【小问2详解】若，，则，，设平面的法向量为，则，，设，则，因为平面，可取平面的法向量为，，由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.另解：（1），O为中点，，平面平面，平面,平面平面，平面.因为为等边三角形，O为中点，故，所以，为直角三角形，且，又，分别以为轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，若E是的中点，则，,设平面的法向量为，则,不妨设，则,，设与平面所成角为，则.（2）若，则，，设平面的法向量为，则，，不妨设，则，平面的法向量为，，由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.22.已知椭圆C的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在椭圆C上，，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知M是直线上一点，是否存在这样的直线l，使得过点M的直线与椭圆C相切于点N，且以MN为直径的圆过点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由，【答案】（1）