圆锥曲线中的热点问题

圆锥曲线中的热点问题第一页，共六十一页，2022年，8月28日第3讲圆锥曲线中的热点问题主干知识梳理热点分类突破真题与押题第二页，共六十一页，2022年，8月28日1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．考情解读第三页，共六十一页，2022年，8月28日主干知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离.第四页，共六十一页，2022年，8月28日(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离.②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.第五页，共六十一页，2022年，8月28日(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，用Δ判定，方法同上.②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.第六页，共六十一页，2022年，8月28日(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式).第七页，共六十一页，2022年，8月28日3.弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.4.轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法).②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系.第八页，共六十一页，2022年，8月28日③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化.④化简整理方程——简化.⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性.(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；第九页，共六十一页，2022年，8月28日③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式.步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.第十页，共六十一页，2022年，8月28日热点一圆锥曲线中的范围、最值问题热点二圆锥曲线中的定值、定点问题热点三圆锥曲线中的探索性问题热点分类突破第十一页，共六十一页，2022年，8月28日热点一圆锥曲线中的范围、最值问题第十二页，共六十一页，2022年，8月28日(1)求椭圆C1的方程；思维启迪P点是椭圆上顶点，圆C2的直径等于椭圆长轴长；第十三页，共六十一页，2022年，8月28日(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.思维启迪

设直线l1的斜率为k，将△ABD的面积表示为关于k的函数.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，第十四页，共六十一页，2022年，8月28日又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，第十五页，共六十一页，2022年，8月28日设△ABD的面积为S，第十六页，共六十一页，2022年，8月28日第十七页，共六十一页，2022年，8月28日求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域.思维升华第十八页，共六十一页，2022年，8月28日变式训练1(1)求椭圆C的标准方程；又a2＝b2＋c2，∵a2＝4，b2＝3，第十九页，共六十一页，2022年，8月28日解显然直线PQ不与x轴重合，当直线PQ与x轴垂直时，|PQ|＝3，|F1F2|＝2，

＝3；当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ：y＝k(x－1)，k≠0代入椭圆C的标准方程，整理，得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，第二十页，共六十一页，2022年，8月28日第二十一页，共六十一页，2022年，8月28日∴当直线PQ与x轴垂直时

最大，且最大面积为3.设△PF1Q内切圆半径为r，则

＝

(|PF1|＋|QF1|＋|PQ|)·r＝4r≤3.即rmax＝

，此时直线PQ与x轴垂直，△PF1Q内切圆面积最大，第二十二页，共六十一页，2022年，8月28日例2

(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；热点二圆锥曲线中的定值、定点问题思维启迪

设动圆圆心坐标，利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解；第二十三页，共六十一页，2022年，8月28日解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，第二十四页，共六十一页，2022年，8月28日化简得y2＝8x(x≠0).又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.第二十五页，共六十一页，2022年，8月28日(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.思维启迪

设直线方程y＝kx＋b，将其和轨迹C的方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP和BQ的斜率互为相反数，推出k和b的关系，最后证明直线过定点.第二十六页，共六十一页，2022年，8月28日(2)证明如图由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64>0.第二十七页，共六十一页，2022年，8月28日∵x轴是∠PBQ的角平分线，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③将①②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0).第二十八页，共六十一页，2022年，8月28日(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).思维升华第二十九页，共六十一页，2022年，8月28日变式训练2

(1)求椭圆C的方程；第三十页，共六十一页，2022年，8月28日(2)已知点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.解当∠APQ＝∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，PA的直线方程为y－3＝k(x－2)，(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，第三十一页，共六十一页，2022年，8月28日同理PB的直线方程为y－3＝－k(x－2)，第三十二页，共六十一页，2022年，8月28日例3已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：热点三圆锥曲线中的探索性问题第三十三页，共六十一页，2022年，8月28日(1)求C1，C2的标准方程；思维启迪

比较椭圆及抛物线方程可知，C2的方程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求C1方程.易求得C2的标准方程为y2＝4x.第三十四页，共六十一页，2022年，8月28日第三十五页，共六十一页，2022年，8月28日思维启迪

联立方程，转化已知条件进行求解.解容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).第三十六页，共六十一页，2022年，8月28日消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，第三十七页，共六十一页，2022年，8月28日所以y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]解得k＝±2，所以存在直线l满足条件，且直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.第三十八页，共六十一页，2022年，8月28日解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型.解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于“存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明.解答时，不思维升华第三十九页，共六十一页，2022年，8月28日但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力.思维升华第四十页，共六十一页，2022年，8月28日变式训练3已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.第四十一页，共六十一页，2022年，8月28日且可知其左焦点为F′(－2,0).又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，第四十二页，共六十一页，2022年，8月28日因为直线l与椭圆C有公共点，第四十三页，共六十一页，2022年，8月28日所以符合题意的直线l不存在.第四十四页，共六十一页，2022年，8月28日(2)同方法一.第四十五页，共六十一页，2022年，8月28日1.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：本讲规律总结第四十六页，共六十一页，2022年，8月28日①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.第四十七页，共六十一页，2022年，8月28日2.定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.第四十八页，共六十一页，2022年，8月28日3.探索性问题的解法探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可.第四十九页，共六十一页，2022年，8月28日真题感悟押题精练真题与押题第五十页，共六十一页，2022年，8月28日真题感悟(2014·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.第五十一页，共六十一页，2022年，8月28日真题感悟(2)设O为