131空间几何体的表面积与体积解析课件

1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积1柱体锥体台体球几何体的分类多面体旋转体柱体锥体台体球几何体的分类多面体旋转体2一、柱体、锥体、台体的表面积

一、柱体、锥体、台体的表面积

3什么是面积？面积:平面图形所占平面的大小S=ababAahBCabhabAr圆心角为n0rc复习回顾什么是面积？面积:平面图形所占平面的大小S=ababAa4表面积、全面积和侧面积表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。（每个面的面积相加）全面积全面积是立体几何里的概念，相对于截面积（“截面积”即切面的面积）来说的，就是表面积总和侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去底面）表面积、全面积和侧面积表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和52、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是什么形状的图形.ABCDABCABCD矩形等腰三角形等腰梯形2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴分别经过旋转轴6

怎么样得到正方体和长方体的表面积?几何体表面积展开图平面图形面积空间问题平面问题怎么样得到正方体和长方体的表面积?几何体表面积展7把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？8正棱锥的侧面展开图是什么？侧面展开正棱锥的侧面积如何计算？表面积如何计算？正棱锥的侧面展开图是什么？侧面展开正棱锥的侧面积如何计算？表9

正棱台的侧面展开图是什么？侧面展开h'h'正棱台的侧面积如何计算？

表面积如何计算？正棱台的侧面展开图是什么？侧面展开h'h'正棱台的侧面积如10棱柱、棱锥、棱台的表面积h'一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和表面积=侧面积+底面积棱柱、棱锥、棱台的表面积h'一般地,多面体的表面积就是各个面11小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；

2、对应的面积公式C’=0C’=C小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；C’=012例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCAS所以：因此，四面体S-ABC

的表面积．交BC于点D．解：先求的面积，过点S作典型例题因为例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的13

练习:已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积.解：四棱锥的底面积为a2，

每个侧面都是边长为a的正三角形，所以棱锥的侧面积为

所以这个四棱锥的表面积为练习:已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角形的14例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为______;答：60例2：正四棱锥底面边长为6,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则15例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是16求多面体的表面积可以通过求各个平面多边形的面积和得到,那么旋转体的表面积该如何求呢?思考求多面体的表面积可以通过求各个平面多边形的面积和得到,那么旋17圆柱的侧面展开图是一个矩形圆柱的侧面展开图是一个矩形18O侧面展开图是一个扇形O侧面展开图是一个扇形19OO’侧面展开图是一个扇状环形OO’侧面展开图是一个扇状环形20OO’OOr’＝r上底扩大r’＝0上底缩小三者之间关系圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？OO’OOr’＝r上底扩大r’＝0上底缩小三者之间关系圆柱、21例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1）？解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：答：花盆的表面积约是999．典型例题例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底22各面面积之和小结：展开图圆台圆柱圆锥空间问题转化成平面问题棱柱、棱锥、棱台圆柱、圆锥、圆台所用的数学思想：柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和小结：展开图圆台圆柱圆锥空间问题转化成平面问23二、柱体、锥体、台体的体积

体积:几何体所占空间的大小

二、柱体、锥体、台体的体积

体积:几何体所占空间的大小24长方体体积：正方体体积：圆柱的体积：abhaaah底面积高柱体体积长方体体积：正方体体积：圆柱的体积：abhaaah底面积高柱25以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：柱体体积柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：（其中S为底面面积，h为柱体的高）以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公26作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高COBAPD斜高的概念作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出COBAPD斜高的27三:锥体体积例2：

如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.ABD

C

D1C1CDABCD1ADCC1D1A答:可分成棱锥A-D1DC,

棱锥A-D1C1C,

棱锥A-BCD.

问：（1）从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？三:锥体体积例2：如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为283.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积（底面积S，高h）

注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积注意：三棱锥的顶点和底面可以29定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：推论：如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的体积是：

hSSＶ锥体＝ＳｈＶ圆锥＝πｒ２ｈSh定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面推论：如果圆锥的底面半30ss/ss/hx四.台体的体积V台体=上下底面积分别是s/,s,高是h，则ss/ss/hx四.台体的体积V台体=上下底面积分别是s/,31131空间几何体的表面积与体积解析课件32台体（棱台、圆台）的体积公式台体体积台体（棱台、圆台）的体积公式台体体积33柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，h为柱体高

分别为上、下底面面积，h为台体高S为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，h为34131空间几何体的表面积与体积解析课件35例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米？例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为136例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为（个）答：这堆螺帽大约有252个．典型例题例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是37球的体积和表面积

设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式R球的体积和表面积设球的半径为R，则有体积公式和表面积公38设球的半径为R，则球的体积公式为V球＝

.4∕3πR3例1．(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面积之比＝4，则它们的半径之比＝______.设球的半径为R，则球的体积公式为V球＝.439(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。例2：(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。例240球的体积和表面积

例2.已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的棱长为a，求球O的表面积和体积.AC′o解答：正方体的一条对角线是球的一条直径，所以球的半径为球的体积和表面积例2.已知正方体的八个顶点都在球O41例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的42OABC例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，OABC例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等43题型一

旋转体的表面积及其体积如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.

先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再求表面积.题型一旋转体的表面积及其体积44解如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=

,BC=R,∴S球=4πR2,解如图所示,45

解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算.131空间几何体的表面积与体积解析课件46知能迁移2已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解如图为轴截面.

设圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则知能迁移2已知球的半径为R，在球内作一个内47知能迁移2已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解如图为轴截面.

设圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则知能迁移2已知球的半径为R，在球内作一个内48题型二多面体的表面积及其体积一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积.

本题为求棱锥的体积问题.已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积和高，再根据体积公式求出其体积.

解如图所示，正三棱锥S—ABC.

设H为正△ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高.题型二多面体的表面积及其体积49连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，连接AH并延长交BC于E，50

求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算即可.常用方法：割补法和等积变换法.（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积.（2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”.求锥体的体积，要选择适当的底面和51题型三组合体的表面积及其体积(12分)如图所示,在等腰梯形ABCD中,

AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的体积.

易知折叠成的几何体是棱长为1的正四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的半径即可.解由已知条件知，平面图形中

AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.∴折叠后得到一个正四面体.2分题型三组合体的表面积及其体积52方法一作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心.取EC的中点G，连接DG、AG，过球心O作OH⊥平面AEC.则垂足H为△AEC的中心.4分∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.在△AFG和△AHO中，根据三角形相似可知，6分10分12分方法一作AF⊥平面DEC，垂足为F，6分10分12分53方法二如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球.3分∵正四面体的棱长为1，∴正方体的棱长为，6分9分12分方法二如图所示，把正四面体放在正9分12分541.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积55柱体锥体台体球几何体的分类多面体旋转体柱体锥体台体球几何体的分类多面体旋转体56一、柱体、锥体、台体的表面积

一、柱体、锥体、台体的表面积

57什么是面积？面积:平面图形所占平面的大小S=ababAahBCabhabAr圆心角为n0rc复习回顾什么是面积？面积:平面图形所占平面的大小S=ababAa58表面积、全面积和侧面积表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。（每个面的面积相加）全面积全面积是立体几何里的概念，相对于截面积（“截面积”即切面的面积）来说的，就是表面积总和侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去底面）表面积、全面积和侧面积表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和592、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是什么形状的图形.ABCDABCABCD矩形等腰三角形等腰梯形2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴分别经过旋转轴60

怎么样得到正方体和长方体的表面积?几何体表面积展开图平面图形面积空间问题平面问题怎么样得到正方体和长方体的表面积?几何体表面积展61把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？62正棱锥的侧面展开图是什么？侧面展开正棱锥的侧面积如何计算？表面积如何计算？正棱锥的侧面展开图是什么？侧面展开正棱锥的侧面积如何计算？表63

正棱台的侧面展开图是什么？侧面展开h'h'正棱台的侧面积如何计算？

表面积如何计算？正棱台的侧面展开图是什么？侧面展开h'h'正棱台的侧面积如64棱柱、棱锥、棱台的表面积h'一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和表面积=侧面积+底面积棱柱、棱锥、棱台的表面积h'一般地,多面体的表面积就是各个面65小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；

2、对应的面积公式C’=0C’=C小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；C’=066例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCAS所以：因此，四面体S-ABC

的表面积．交BC于点D．解：先求的面积，过点S作典型例题因为例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的67

练习:已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积.解：四棱锥的底面积为a2，

每个侧面都是边长为a的正三角形，所以棱锥的侧面积为

所以这个四棱锥的表面积为练习:已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角形的68例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为______;答：60例2：正四棱锥底面边长为6,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则69例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是70求多面体的表面积可以通过求各个平面多边形的面积和得到,那么旋转体的表面积该如何求呢?思考求多面体的表面积可以通过求各个平面多边形的面积和得到,那么旋71圆柱的侧面展开图是一个矩形圆柱的侧面展开图是一个矩形72O侧面展开图是一个扇形O侧面展开图是一个扇形73OO’侧面展开图是一个扇状环形OO’侧面展开图是一个扇状环形74OO’OOr’＝r上底扩大r’＝0上底缩小三者之间关系圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？OO’OOr’＝r上底扩大r’＝0上底缩小三者之间关系圆柱、75例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1）？解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：答：花盆的表面积约是999．典型例题例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底76各面面积之和小结：展开图圆台圆柱圆锥空间问题转化成平面问题棱柱、棱锥、棱台圆柱、圆锥、圆台所用的数学思想：柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和小结：展开图圆台圆柱圆锥空间问题转化成平面问77二、柱体、锥体、台体的体积

体积:几何体所占空间的大小

二、柱体、锥体、台体的体积

体积:几何体所占空间的大小78长方体体积：正方体体积：圆柱的体积：abhaaah底面积高柱体体积长方体体积：正方体体积：圆柱的体积：abhaaah底面积高柱79以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：柱体体积柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：（其中S为底面面积，h为柱体的高）以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公80作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高COBAPD斜高的概念作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出COBAPD斜高的81三:锥体体积例2：

如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.ABD

C

D1C1CDABCD1ADCC1D1A答:可分成棱锥A-D1DC,

棱锥A-D1C1C,

棱锥A-BCD.

问：（1）从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？三:锥体体积例2：如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为823.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积（底面积S，高h）

注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积注意：三棱锥的顶点和底面可以83定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：推论：如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的体积是：

hSSＶ锥体＝ＳｈＶ圆锥＝πｒ２ｈSh定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面推论：如果圆锥的底面半84ss/ss/hx四.台体的体积V台体=上下底面积分别是s/,s,高是h，则ss/ss/hx四.台体的体积V台体=上下底面积分别是s/,85131空间几何体的表面积与体积解析课件86台体（棱台、圆台）的体积公式台体体积台体（棱台、圆台）的体积公式台体体积87柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，h为柱体高

分别为上、下底面面积，h为台体高S为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，h为88131空间几何体的表面积与体积解析课件89例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米？例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为190例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为（个）答：这堆螺帽大约有252个．典型例题例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是91球的体积和表面积

设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式R球的体积和表面积设球的半径为R，则有体积公式和表面积公92设球的半径为R，则球的体积公式为V球＝

.4∕3πR3例1．(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面积之比＝4，则它们的半径之比＝______.设球的半径为R，则球的体积公式为V球＝.493(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。例2：(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。例294球的体积和表面积

例2.已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的棱长为a，求球O的表面积和体积.AC′o解答：正方体的一条对角线是球的一条直径，所以球的半径为球的体积和表面积例2.已知正方体的八个顶点都在球O95例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的96OABC例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，OABC例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等97题型一

旋转体的表面积及其体积如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.

先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再求表面积.题型一旋转体的表面积及其体积98解如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=

,BC=R,∴S球=4πR2,解如图所示,99

解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算.131空间几何体的表面积与体积解析课件100知能迁移2已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解如图为轴截面.

设圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则知能迁移2已知球的半径为R，在球内作一个内101知能迁移2已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？