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文档简介

§7.4

广义积分然而在实际应用中,经常面临以下问题:定积分的特点:(1)若存在

f(x)在[a,b]上有界(2)积分区间[a,b]是有界区间(1)无穷区间上的积分(2)[a,b]上的无界函数的积分这就是本节要讨论的广义积分问题一、无穷区间上的广义积分为函数在无穷区间上的广义积分.

为函数在无穷区间上的广义积分.

为函数在无穷区间上的广义积分

.说明:(1)的几何意义:0abyx

当收敛时,就称这块广义曲边梯形有面积存在,否则就称此广义曲边梯形的面积不存在说明：(2)若F(x)是f(x)在对应区间上的原函数,则若记则有例

计算广义积分解例

计算广义积分解思考:分析:原积分发散!注意:

对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.证证例求解注意:不能写成广义积分的分部积分法若存在,收敛,则即例计算解练习:计算解定理设f(x)在a,+上连续,若x=(t)满足:(1)x=(t)在(,)上严格单调;(2)(t)在(,)上连续;(3)()=a,()=+()则式中有一广义积分收敛,则另一个广义积分也一定收敛且等式成立无穷区间广义积分的变量代换定理例计算解利用积分变量代换公式有常义积分则为去根号,令例求解奇点:若在x=c

的邻近函数f(x)无界,则称x=c

为函数f(x)的奇点（瑕点）定义(1)若对任意的>0(<b-a),f(x)在[a,b-]上可积,而b为f(x)的奇点,则[a,b]上的广义积分定义为极限存在时,称广义积分是收敛的,否则称广义积分是发散的二、无界函数的广义积分(2)若

a

是f(x)的奇点,则广义积分极限存在时,称广义积分是收敛的,否则称广义积分是发散的(3)若

c(a,b)是f(x)的奇点,则广义积分两个广义积分都收敛时,就称广义积分收敛的,当有一广义积分发散时,就称广义积分发散的说明:(1)b

为奇点,广义积分的几何意义:广义曲边梯形的面积(2)b

为奇点,F(x)为f(x)在[a,b)上的原函数,则其中b

代入是左极限即若a为奇点,F(x)为f(x)在(a,b]上的原函数,即其中a

代入是右极限则有例判别积分的敛散性解因为是奇点,所以积分是广义积分由于注意:以下的解法是错误的发散发散例讨论广义积分的敛散性(q>0,b>a)解显然x=a

是奇点.当q1时,收敛发散当q=1时,发散所以有收敛发散说明:无界函数广义积分的分部积分法一般地,如果x=b

是奇点,则有若存在,收敛,则有注意:将奇点b

代入函数时,认为是取极限解例计算定理(无界函数广义积分的变量代换定理)则(1)x=(t)在(,)上严格单调;(2)(t)在(,)上连续;(3)()=a,()=b(),设x=b是f(x)在a,b]上的唯一奇点,f(x)在a,b)上连续,若x=(t)满足:式中有一广

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