四边形复习提纲经典题型解析汇总

四边形复习提纲【知识要点】1、四边形的内角和等于1800,n边形的内角和等于（n-2）,1800,任意多边形的外角和等于360°,n边形的对角线条数为n（n-3）/2.2、平行四边形性质：（1）平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；（2）平行四边形是中心对称图形.判定：（1）定义判定；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.3、矩形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线相等（推论：直角三角斜边上的中线等于斜边的一半）；（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形；（5）其面积等于两条邻边的乘积.判定：（1）定义判定；（2）有三个角是直角的四边形；（3）对角线相等的平行四边形.4、菱形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边相等；（3）对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；（4）既是中心对称TOC\o"1-5"\h\z图形，又是轴对称图形；（5）其面积等于两条对角线长乘积的一半（适用于所有对角线互相垂直的四边形）^判定：（1）定义判定；（2）四条边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形.5、正方形性质：具有矩形、菱形的一切性质.判定：（1）定义判定；（2）先判定四边形为矩形，再判定它也是菱形；（3）先判定四边形为菱形，再判定它也是矩形.6、等腰梯形性质：（1）两腰相等；（2）两条对角线相等；（3）同一底上的两个底角相等；（4）是轴对称图形.判定：（1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.7、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等^推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。8、两个中位线定理三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半^梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（推论：梯形面积等于中位线长与高的乘积）^9、中心对称定义：强调必须旋转180。重合。9、中心对称定义：强调必须旋转180。重合。定理：（1）关于中心对称的两个图形是全等形.（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心,10、各种四边形之间的相互关系。“、方比/梯形\并且被对称中心平分（存在逆定理）「E、2丁1【方法总结】与多边形的角度、边数、对角线数有关的问题，一般运用公式列方程解决。2、分清各种四边形的联系与区别，明白定义、性质与判定方法的正确使用（可以根据条件与结论的前后顺序确定）

3、对角线是研究四边形的常用辅助线，它既可以把四边形转化为三角形，又可以充分体现四边形的所有特征。4、梯形中常添加辅助线，将其转化为平行四边形或者三角形：（1）过较短底的顶点作梯形的高；（2）过一个顶点作腰的平行线；（3）过一个顶点作一条对角线的平行线;（4）延长两腰相交；（5）连结上底的一个顶点与另一腰的中点，并延长与下底的延长线相交梯形常用的辅助线如下图梯形常用的辅助线如下图5、遇到有关中点的问题，常考虑构造中位线，或者使用“倍长中线法”^6、解决折叠问题，抓住“折叠前后重合的图形关于折痕所在直线对称”这一关键。7、“双重对称图形”判断妙着：一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形，垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形8、求特殊图形的面积，通常需要添加辅助线把它转化为规范图形，转化的方法主要有“割”、“补”两种.9、在众多的定理中，要严格区分有无逆定理，比如平行线等分线段定理就不存在逆定理。【典型例题剖析】【例11若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是.剖析：设此凸多边形的边数为n,根据多边形的内角和公式，以及“外角和等于360°”的推论，列方程，得（n-2）-180°=360°.解得n=4.【例2】下列图案既是中心对称，又是轴对称的是（）剖析：由“方法总结”第7条，易知选A.【例3】下列命题中，真命题是（）A.有两边相等的平行四边形是菱形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.四个角相等的菱形是正方形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形等条件;剖析：由各类平行四边形的判定方法可知，A、B、D都不对，它们分别缺少了“两邻边”、“平行四边形”、“对角线互相平分等条件;C中四边形的四个角相等，均为90°,必是矩形，既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。故选C.【例4】如图，DABCD的周长为16cm,AC、BD相交于点O,OELAC交AD于E,则^DCE的周长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

剖析：由题意知，AD+CD=8cm。DABCD中，AC、剖析：由题意知，AD+CD=8cm。DABCD中，AC、BD互相平分，则OE为AC的垂直平分线，所以EC=EA因此，△DCE的周长=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm。故选C.【例5】如图，在DABC计，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边ACBD分别交于E、F,求证：四边形AFCE是菱形.剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用「□ABC计，AE//CF,1=/2.又/AOE=COFAO=CO...△AO昭ACOIFEO=FO.:四边形AFCE是平行四边形.又EF±AC,：DAFCE是菱形.【例6】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线EHXAC,垂足为H.求证：EH=1FC.2AC、BD相交于O,四边形AEFC是菱形,111剖析：容易证得，四边形HOBE1矩形,则EH=BO=2BD=]AC=%FC.【例7】探究规律：如图1,已知直线m//n,a、b为直线n上的两点，c、p为直线m上的两点(1)请写出图中面积相等的各对三角形：。(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置总有：与4ABC的面积相等;理由是：如图2,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(图3中折线CDE)还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多。请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。(不计分界小路与直路的占地面积)(1)写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；(2)说明方案设计理由。剖析：本题从一个简单几何原理入手，逐步深入探究，并用它解决实际问题，较好地体现了新时期的教学理念一一“创新”与“应用”两大主旋律。(1)AABC和AABP,AAOC和△BOP,4CPA和△CPB分别面积相等。(2)因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP与4ABC同底等高，因此，它们的面积总相等.解决问题：（1）画法如图连结EC,过点D作DF//EC,交CM于点F,连结EF,EF即为所求直路的位置.（2）设EF交CD于点H,由上面得到的结论，可知：SAECF=SAECD,SAHCF=SAEDH.••S五边形ABCDE=S五边形ABCFE,S五边形EDCMN=S四边形EFMN.【例8】采用如图所示的方法，可以把梯形ABC所叠成一个矩形EFNM图中EF,FN,EM为折痕）,使得点A与RC与D分别重合于一点.请问，线段EF的位置如何确定；通过这种图形变化，你能看出哪些定理或公式（至少三个）？证明你的所有结论.提示：EF为梯形ABCD的中位线，可以看出梯形的中位线定理、面积公式、等腰三角形的性质定理、平行线的性质定理等等。基础题型.如图在平行四边形ABCD中，/A:/B=5:3,求这个平行四边形各内角的度数解：•二四边形ABCD是平行四边形，AD//BC/A+/B=180°由于.A:ZB=5:3故设/A=5x,则NB=3x即5x3x=180解彳fx=22.5’因此/A=5m22.5白=112.5、/B=3父22.5总=67.5》二平行四边形各内角度数分别是112.5°,67.5",112.5、67.54,已知平行四边形ABCD的周长为38cm,AC,BD相交于O,且MOB的周长比ABOC的周长小于3cm,如图，求平行四边形ABCD各边的长解：•二四边形ABCD为平行四边形■Oa^ocab=cdbc=ad"■〉)丫MOB的周长=OA+OB+ABABOC的周长=OC+OB+BC且MOB的周长比ABOC的周长小于3cm(OCOBBC)-(OAOBBC)=3BC-ABz又「平行四边形ABCD的周长为38cm.BCAB=19，阳总叫BC=11cm.CD=8cm,AD=11cm.如图，已知：在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE_LBD于E,CF_LBD于F求证：AE=CF证明：方法一：二四边形ABCD是平行四边形,A曰c,dab=cdaBE=CDAE_B,DCF_BD/AEB/CFABE三CDF(AAS)AE=CFA方法二：连接AC,交BD于O:四边形ABCD是平行四边形，OA=OC,又AE_LBD,CF1BD二ZAEO=/CFO,而ZAOE=/COF:.MEO=ACFO（AAS）:.AE=CF.如图所示，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AC,CA延长线上的点，且CE=AF,则BF与DE具有怎么样的位置关系?试说明理由解：BFIIDE证明：方法一：在平行四边形ABCD中，AB//CD,AB=CD,.BAC=DCA.BAC.BAF=180.ACD.DCE=180/BAFZDCE又.AF=CE.AFB三CED（SAS）方法二.连接BD,交AC于O在平行四边形ABCD中，AO=CO,BO=DOAF=CE.OF=OE=/FOB=』EOD:.iBOFaADOE（SAS）/FZEBF//DE

方法三.连接BD,交AC于O,连接DF,BE由方法二知.OF=OE,OB=OD二四边形BEDF为平行四边形.BF//DE.如图，已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，AC=38cm,BD=24cm,AD=14cm,那么AOBC的周长为解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知TOC\o"1-5"\h\z八11“1^1OBBD24=12OCAC38=19BC=AD=14cm,22cm,22cm二8OBC的周长为BC十OB+OC=14+12+19=45cm.如图平行四边形ABCD中，EF//AB,GH//AD,EF与GH交于O,则该图形中的平行四边形的个数共有（）A.7A.7B,8C,9D.10由题意可知图中的平行四边形分别是：DEOH,EAGO,HOFC,OGBF,DAGH,HGBC,DEFC,EABC,DABC所以共有9个.如图，平行四边形ABCD中，AF平分/DAB交CD于N,交BC的延长线于F,DE_LAF,交AB于M,交CB延长线于E,垂足为O,试证明：BE=CF

MM证明：*,*四边形ABCD为平行四边形•.AD/B,CAB//CD,AB=CDZDAFZ,F./ADEZE,EDC=.AMDDE_A,F.AOM=/AOD=90:AF平分ZDAB，二ZDAF=ZBAF:OZOA\MOM^MOD（ASA）.ADM=.AMBAF=.F,EDC=.EAB=B,FCD=CEBF=CEBE=CF.如图，已知：D,E,F分别在ABC的各边上，DEIIAF,DE=AF,延长FD到G,使FG=2FD.求证：AG与DE互相平分.证明：连接AD,EGDEA,FDE=AF二四边形AEDF是平行四边形二DF=A,EDF//AE又.FG=2FD1DG=DF=-FG,DG=AE,而DF//AE

二四边形AEGD为平行四边形二AG与DE互相平分.如图，已知D是』\ABC的边AB的中点，E是AC上的一点DF//BE,EF//AB试说明：AE与DF互相平分证明：连接AF,DEDF//BE,EF//AB，四边形BDFE为平行四边形，,EF=BD「D是AB中点.BD=AD,二AD=EF,AD//EF:四边形ADEF为平行四边形,二AE与DF互相平分10.如图，点M,N分别在平行四边形ABCD的边10.如图，点M,N分别在平行四边形求证：MN与求证：MN与EF互相平分证明：连接EN,MF.「四边形ABCD是平行四边形,BC//AD,.CBD=/ADB.MEF"NFE=90MEB=/NFD=90.ME//NF,BM=DN.BME=：DNF(AAS).ME=NF，四边形EMFN是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，MN与EF互相平分.如图，AF与BE互相平分，交点为M,EC与DF互相平分，交点为N,那么，四边形ABCD是平行四边形么？你是怎么判定AFDENBCAFDENBC解：四边形AFDENBCAFDENBC解：四边形ABCD是平行四边形证明：连接AE,BF,EF,DE,CFAF与BE互相平分，四边形ABFE是平行四边形.EFIIAD,EF=AD二“EC与DF互相平分，四边形BCEF是平行四边形:.EF//BC,EF=BCAD=BCADIIBC二四边形ABCD是平行四边形.如图，已知BE,CF是MBC的高，D是BC的中点.求证：DE=DFAFEBCDAFEBCD证明：BE,CF是MBC的高，「.△BFC,ABEC均为直角三角形D是BC的中点二DF是RtABFC斜边上的中线，DE是RtABEC斜边上的中线

11DF=—BCDE=—BC，2,2DE=DF13如图，先将矩形纸片ABCD对折一次折痕为EF,展开后又将纸片折叠使点A落在EF上，此时折痕为BM,求/NBC度数的大小111AE=BE=DF=FC=—CD=—AB=—BN提示：根据题意得222过点N作NG_LBC,垂足为G“1〜，NGBN则2，二/NBC=30°（直角三角形中30口角所对的直角边等于斜边的一半，反过来也成立）14.过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF_LAC分别交AB,DC于E,F,点G为AE的中点，若/AOG=301求证:1OG=—DC3证明：连接CE证明：连接CE.「四边形ABCD是矩形,OA=OCEF_ACEF是线段AC的垂直平分线1

1

BE=—EC2-/幺OG=30。,/ACB=60°/OCE=30/BCE=30s:G是AE中点〜_11_OG=AG=GEAECE

OG=AGG=E1OG=—DC315.在矩形15.在矩形ABCD,AB=6,BC=8,将矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为EF,在展开，求折痕EF的长解：丫AB=6解：丫AB=6,BC=8;由勾股定理可得AC=10根据题意有AF=CF,设AF=CF=x,BF=8—xCCC-2、22由勾股定理AB+BF=AF,即6十(8—x)=xFC=—425x=解得4SLafceSLafce=CFAB二2575—6=—1Safce=一ACEF

2EF=—2（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）.已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分/BAD,NAOD=120）求/AEO的度数答案：提示MBE为等腰直角三角形，△OAB为等边三角形，AOBE为等腰三角形NOBE=301ZOEB=756ZOEA=754-455=30°.如图，MN为过RtMBC的直角顶点A的直线，且BD_LMN于D,CE_LMN于点E,AB=AC,F为BC的中点，求证：DF=EF证明：连接AF

证明：连接AF丁3ABC为直角三角形，F为斜边BC的中点BF二AF=CF「ZBAC=90白,ZBAM+/NAC=90口:BD±MN,CE1MN.BAM.DBA=90,.BDA=.AEC=90/DBA=/EAC,又AB=ACiDBA三AEAC(AAS),DB=AE•「AB=AC,ZBAC=90\F为BC的中点.ABC=/FAC=45/DBA+/ABC+/CAF+/CAN,即ZDBF=NFAE又：DB=AE,AF=BF,ADBF与AEAF(SAS)/.DF=EF总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线18.如图E是菱形ABCD边AD的中点，EF_LAC于H,交CB的延长线于F,交AB于G,求证：AB与EF互相平分证明：:四边形证明：:四边形ABCD是菱形1AEAD2AD//BC•./BAC=/DAtAC_LEG,AH=AHMHEaMHG(ASA)1AEAD2AD//BC-1

AGAB2/F〜AEG:NBGF=NAGE,MGE=iBGF(AAS)EG=FG,AG=GB即AB与EF互相平分方法二：连接AF,BE11AE=一ADAG=-AB由2,2得/AGE=/AEG=/BGF=/BFG,则AE=AG=BG=BF二AE//BF且AE=BF，四边形AFBE为平行四边形二AB与EF互相平分19.如图，在MBC中，4ACB=90：AD是/A的平分线，交BC于点D,CH是AB边上的高，交AD于F,DE.LAB于E.求

证：四边形CDEF是菱形证明:**AD是ZA的平分线•证：四边形CDEF是菱形证明:**AD是ZA的平分线•./CAD=/EA,•ZACB=90。，CH_LAB-ZCAD+ZCDA=90SZFAH+ZAFH=90°・)■,ZCDA^ZAFvZAFH=/CFD;/CFD=/CD，CF=CD?AD是/A的平分线，CD_LAC,DE_LAB.CD=DE,-pCF=DE/CH_LA,BDE_LAB.CH//DE.四边形CFED是平行四边形;CD=CF二平行四边形CFED是菱形20.菱形ABCD中，/DAB=120°,如果它的一条对角线长为12cm,求菱形ABCD的边长解：若对角线AC=12cm,如图丫四边形ABCD为菱形，且/DAB=120=7./DAC=/BAC=60口则MDC为等边三角形，菱形ABCD的边长为12cm若对角线BD=12cm,

如图:四边形ABCD为菱形，且/DAB=120，./DAC=/BAC=600则AADC为等边三角形又：OD=OB「.OD=OB=6cm设OA=x,AD=2x,22-2—一由勾股定理可得(2x)=x+6,解得X=2邪，：.AD=443cm综上所述：菱形ABCD的边长为12cm或4J3cm22.如图，四边形ABCD22.如图，四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,F是BC上的一点，且BF=3FC求证：AE_EF证明：连接AF,设FC=k,则BC=4k:四边形ABCD是正方形，/B=/C=/:四边形ABCD是正方形:E为CD中点,DE=EC=2kTOC\o"1-5"\h\z2222在RtMBF中，AF=AB+BF=25k2222在Rt生CF中，EF=EC+FC=5k_.a.22.22在RtMDE中，AE=AD+DE=20k2,22x则AE+EF=AF，,MEF是直角三角形ZAEF=90.AE_EF(到初三的时候此题还有额外的证明方法)23.如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P,作任于E,作PF工D于F,连接AP,EF.求证：AP=EF,AP_LEF证明：连接PC,延长AP交EF于点H・「四边形ABCD是正方形二ZABP=NCBP=45>AB=BC:BP=BP-MBP^ACBP（SAS）,二AP=CP,/BAP=/BCP:PE_LBC,PF_LCD,BC1CD，四边形PECF为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形）.PC=EFPAEFPF=EC.EPF=/PEC=90■,,妒EF=AEPC（HL）-PFE=/PCEZPFEZBAPAB_BC,PE_BCAB//PEBAP=.EPH.PFE.PEH=90..EPH.PEH=90,AP_EHBN平分/CBE,交MN于N24.如图正方形ABCDBN平分/CBE,交MN于N求证：DM=MN证明：取线段AD的中点证明：取线段AD的中点F,连接FM「四边形ABCD为正方形:.AB=A,D/A=/ABC=90"*.*F为AD中点，M为AB中点DF=AFAMMAFM=.AMF=45.DFM=135BN平分/CBE/CBN=/EBN=451/MBN=135ZDFMZMBN.DM_MN/DMA"MB=90

..DMB.ADM=90..ADM=/MBN在3MF与AMNB中pMDF-.NMDF=MB.DFM=.MBNdMF三MNASA)DM=MN思考：若点M是线段AB上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么?请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了25.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD<BC,E,F分别是AD,BC的中点，且EF_LBC,求证：梯形ABCD为等腰梯形CC证明：过E分别作AB,DC的平行线交BC于M,N,易知四边形ABME和四边形DCNE都是平行四边形二AE=BMDE=NC,AB=EM,DC=EN.；E,F分别是AD,BC的中点.AE=DE,BF=CF.BM=CN.BF-BM=CF-NC.MF_NFEF_LBC-EM=EN,EF是线段MN的垂直平分线.ME=NE.AB=CD故梯形ABCD是等腰梯形26.已知等腰梯形ABCD中，AB=CD,/B=601AD=15cm,BC=49cm,求它的腰长解：方法一：过点A作AE//DC,交BC于点E*.・AD/BC-,四边形AECD为平行四边形-AD=ECDC=AEAAB=DC-AE=ABvZB=60*二四边形ABCD为等边三角形,BE=ABvAD=15,BC=49，BE=BC—CE=BC—AD=49—15=34,AB=CD=34cm方法二过点A作AMIBC,垂足为M,过点D作DN_LBC,垂足为N:四边形ABCD为等腰梯形,二AB=CDZB=/C.AMB=.DNC=90，MBM三ADCN(AAS).BM=CN./AMNZMNDZADN=90，四边形AMND为矩形AD=MN，；BC=49,AD=151BM=CN(BC-AD)(49-15)=172..B=60.BAM=30.AB=2BM=34cm27.如图，在MBC中，ABaAC,AD平分/BAC,CD_LAD,点E是BC的中点1

DE(AB-AC)求证：①DE//AB②2证明：①延长CD交AB于点F:AD_LC,D「./ADC=/ADF=90s■:AD平分ZBACZDAC=/DAF证明：①延长CD交AB于点F:AD_LC,D「./ADC=/ADF=90s■:AD平分ZBACZDAC=/DAF.ADuAD,欣DC三』\ADF（ASA）（AD又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”）-AC=AFFD=DC:点E是BC的中点二DE是三角形ACBF的中位线1

DE=—BF，DE//BF,2②.AB-AF=BF.BF=AB-ACcDE=—(AB-AC)^228.如图，在梯形ABCD中,DC//AB,BC=DC+AB,E是AD中点求证：CEB=90证明：取BC中点F,连接EF由梯形中位线性质可知EFEF//DC//AB且1———=-(DCAB)/CEB=90BC=DCAB2EF=BCEF=CF/CEB=90与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1,在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF⑵BF=DE⑶证明：连结DB,DF，设DB,AC交于点O丁四边形ABCD为平行四边形•.AO=OC,DO=OBAE=FCAO—AE=OC—FC即OE=OF:四边形EBFD为平行四边形BF=DE第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点。，如果AC=12,BD=10,AB=m，那么m的取值范围是（）a1::m：11b2；m::22c10::m；12d5::m::6解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB=CE,DC=BE,则有四边形CDBE为平行四边形，;在AACE中，AC=12,CE=BD=10,AE=2AB=2m12—10<2m<12+10,即2<2m<22解彳<1<m<11故选a第三类：过一边两端点作对边的垂线