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文档简介
四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面
三、柱面机动目录上页下页返回结束曲面及其方程第八章四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面机一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)
和B(2,-1,4)等距化简得即说明:动点轨迹为线段
AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为离的点的轨迹方程.
机动目录上页下页返回结束一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1定义1.如果曲面
S
与方程
F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面
S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0
叫做曲面
S
的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).机动目录上页下页返回结束定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=故所求方程为例1.
求动点到定点的轨迹方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:
设轨迹上动点为即依题意距离为
R表示上(下)球面.机动目录上页下页返回结束故所求方程为例1.求动点到定点的轨迹方程.特别,当M0例2.研究方程解:
配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程
(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是表示怎样的曲面.半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.机动目录上页下页返回结束例2.研究方程解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元定义2.一条平面曲线二、旋转曲面
绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:机动目录上页下页返回结束定义2.一条平面曲线二、旋转曲面绕其平面上一条定直建立yoz面上曲线C
绕
z
轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕
z轴旋转时,若点给定yoz
面上曲线
C:则有则有该点转到机动目录上页下页返回结束建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲思考:当曲线C绕y轴旋转时,方程如何?机动目录上页下页返回结束思考:当曲线C绕y轴旋转时,方程如何?机动目录例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z
轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动目录上页下页返回结束例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆例4.
求坐标面xoz
上的双曲线分别绕
x轴和
z
轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕
x
轴旋转绕
z
轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动目录上页下页返回结束例4.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上,表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意
z,平行z
轴的直线
l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l
形成的轨迹称为柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.
z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z
轴在平面上)表示母线平行于C称为准线,l称为母线.机动目录上页下页返回结束定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹称一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x
轴;平行于
y
轴;平行于
z
轴;准线
xoz
面上的曲线l3.母线柱面,准线
xoy
面上的曲线l1.母线准线
yoz面上的曲线l2.母线机动目录上页下页返回结束一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)机动目录上页下页返回结束四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方1.椭球面(1)范围:(2)与坐标面的交线:椭圆机动目录上页下页返回结束1.椭球面(1)范围:(2)与坐标面的交线:椭圆机动与的交线为椭圆:(4)当a=b时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a=b=c时为球面.(3)截痕:为正数)机动目录上页下页返回结束与的交线为椭圆:(4)当a=b时为旋转椭球面;同样的截2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q
同号)(2)双曲抛物面(鞍形曲面)特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.(p,q同号)机动目录上页下页返回结束2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q同号)(2)3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x
轴;虚轴平行于z轴)平面上的截痕情况:机动目录上页下页返回结束双曲线:3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于虚轴平行于x轴)时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z
轴;机动目录上页下页返回结束相交直线:双曲线:虚轴平行于x轴)时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18目录上页下页返回结束图形(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别4.椭圆锥面椭圆在平面x=0或y=0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到,见书P316)机动目录上页下页返回结束4.椭圆锥面椭圆在平面x=0或y=0上的截痕为过内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.机动目录上页下页返回结束内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕2.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:机动目录上页下页返回结束2.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面思考与练习1.指出下列方程的图形:机动目录上页下页返回结束斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于2.P31题3,10机动目录上页下页返回结束题10答案:在xoy面上2.P31题3,10机动目录上页作业P312;4;7;8(1),(5);11第四节目录上页下页返回结束作业P312;4;7;8(1),(四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面
三、柱面机动目录上页下页返回结束曲面及其方程第八章四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面机一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)
和B(2,-1,4)等距化简得即说明:动点轨迹为线段
AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为离的点的轨迹方程.
机动目录上页下页返回结束一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1定义1.如果曲面
S
与方程
F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面
S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0
叫做曲面
S
的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).机动目录上页下页返回结束定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=故所求方程为例1.
求动点到定点的轨迹方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:
设轨迹上动点为即依题意距离为
R表示上(下)球面.机动目录上页下页返回结束故所求方程为例1.求动点到定点的轨迹方程.特别,当M0例2.研究方程解:
配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程
(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是表示怎样的曲面.半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.机动目录上页下页返回结束例2.研究方程解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元定义2.一条平面曲线二、旋转曲面
绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:机动目录上页下页返回结束定义2.一条平面曲线二、旋转曲面绕其平面上一条定直建立yoz面上曲线C
绕
z
轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕
z轴旋转时,若点给定yoz
面上曲线
C:则有则有该点转到机动目录上页下页返回结束建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲思考:当曲线C绕y轴旋转时,方程如何?机动目录上页下页返回结束思考:当曲线C绕y轴旋转时,方程如何?机动目录例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z
轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动目录上页下页返回结束例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆例4.
求坐标面xoz
上的双曲线分别绕
x轴和
z
轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕
x
轴旋转绕
z
轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动目录上页下页返回结束例4.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上,表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意
z,平行z
轴的直线
l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l
形成的轨迹称为柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.
z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z
轴在平面上)表示母线平行于C称为准线,l称为母线.机动目录上页下页返回结束定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹称一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x
轴;平行于
y
轴;平行于
z
轴;准线
xoz
面上的曲线l3.母线柱面,准线
xoy
面上的曲线l1.母线准线
yoz面上的曲线l2.母线机动目录上页下页返回结束一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)机动目录上页下页返回结束四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方1.椭球面(1)范围:(2)与坐标面的交线:椭圆机动目录上页下页返回结束1.椭球面(1)范围:(2)与坐标面的交线:椭圆机动与的交线为椭圆:(4)当a=b时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a=b=c时为球面.(3)截痕:为正数)机动目录上页下页返回结束与的交线为椭圆:(4)当a=b时为旋转椭球面;同样的截2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q
同号)(2)双曲抛物面(鞍形曲面)特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.(p,q同号)机动目录上页下页返回结束2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q同号)(2)3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x
轴;虚轴平行于z轴)平面上的截痕情况:机动目录上页下页返回结束双曲线:3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于虚轴平行于x轴)时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z
轴;机动目录上页下页返回结束相交直线:双曲线:虚轴平行于x轴)时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18目录上页下页返回结束图形(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别4.椭圆锥面椭圆在平面
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