理学院几何与代数B第一学期期末考试试卷及答案_第1页
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第9页共9页交通大学2016-2017学年第一学期《几何与代数B》期末考试A卷答案一．选择题（每小题3分）1．设三阶矩阵的特征值是，是三阶单位矩阵，则下列矩阵中可逆的是C。（A）（B）（C）（D）2.向量组的一个最大无关组是B。（A）（B）（C）（D）3.设两个矩阵满足（单位矩阵），则必有D。（A）的列向量组线性无关，的列向量组线性无关（B）的列向量组线性无关，的行向量组线性无关（C）的行向量组线性无关，的行向量组线性无关（D）的行向量组线性无关，的列向量组线性无关4.曲线围绕轴旋转一周所成曲面是D.（A）抛物面（B）椭球面（C）单叶双曲面（D）双叶双曲面5.设是一个实矩阵，是其转置矩阵。若是阶单位矩阵，则四个矩阵中必正定的矩阵个数是C。（A）4（B）3（C）2（D）1二．填空题（每小题3分）1.若向量中任两个的夹角都为，且，则.2.若向量，，共面，则=3.3.向量组线性无关的充要条件是三个数两两互异。4．设矩阵，为的伴随矩阵，则的伴随矩阵。（或）5．若矩阵的秩为2。则-2。三.(10分)计算阶行列式。解将其它各行加到第1行得将第一行-1倍加到其它各行。四．(10分)求直线在平面上的投影直线方程。解先求过直线且与垂直的平面。将直线的方程化为一般式，过的平面束方程，其法向量为。由垂直于，得，解得，于是的方程是，在上投影直线方程为。五．（10分）求平行于两直线和，且与坐标原点的距离是的平面方程。解将两直线方程化为点向式：，得两直线的方向向量分别为，。所求平面的法向量为可设所求平面方程为，它与坐标原点距离是解得。故所求平面方程为。六.（10分）设矩阵。求满足的矩阵，其中是的转置矩阵，为单位矩阵。解由知又所以。七．（12分）已知线性方程组有无穷多组解。求的值；求该方程组的所有解（用导出组基础解系表示）。解将方程组的增广矩阵化为阶梯形：（1）因为方程组有无穷多组解，所以。（2）当时，方程组增广矩阵化为特解,导出组的基础解系。一般解是任取)。八.（12分）设矩阵有特征值。求的值；求正交矩阵使得为对角形。解（1）矩阵有特征值，所以。解得。（2）（法一）解得矩阵有特征值，分别求出属于-1的特征向量为，属于1的特征向量为，属于3的特征向量为。得正交矩阵使得为对角形，那么也为对角形。（法二）属于1的特征向量为，单位化得；属于9的特征向量为，单位化得。令，则为正交矩阵，且。九．（6分）设是两个正交的三维单位列向量，。证明（1）是矩阵的特征向量；（2）相似于。

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