复变函数练习题习题1.4_第1页
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PAGEPAGE51.4z0.（1）f1

(z)zRe(z)/|z|解：因为lim|

(z)lim|

zRe(z)

lim|Re(z)0z0

z0

|z

z01.41limf

(z)0.z0 1zxx,yR)，则x2y2 f(z)zRe(z)(xx2y2 1 |z|

x2 i xyx2x2y20 x2

|x|,0

x2yx2y2

|x|,x2y2 x2y2x2y2x2y2x2yx2y2x2y2x2y2所以由夹边法则得x2x2y2x0y0所以

0,limx0y0

|xy|

0,lim xy 0x2y2x2x2y2x2y2limfz0

lim x2x2y2xx2y2

ilim xyx2y2xx2y2

0001：极限存在是对趋向于极限点的任意路径ykx0来证明极限存在！2zr(cosisin，则limf

(z)lim

zr

limzcos0?z0

z0 r

z0此处 与z 有关，不能直接得到极限，需要进一将zr(cosisin)带入再求极限.（2）f(z)Re(z)/|z|2zxx,yR)z沿任意射线x2(kx)2ykxx0)zxx2(kx)2f(z)2

Re(z)|z|

x 1 11k21k1k21k2f(z)Re(z)/|z|的极限不存在.2zr(cosisin)(r,R)z沿任意射线0

趋向零时有zr(cos0

isin0

)0即r0，这时有f(z)

Re(z)

rcos0

cos2 |z| r 0 0极限与 0有关，即与路径有关，所以当z0时，f2(z)Re(z)/|z|的极限不存在.（3）f(z)Re(z)/(1z)3解：limf

(z)limRe(z)z0 3

z01zlimRe(z)z0 lim(1z)z01f(zz0

f(z0

)0，试证明存在z0f(z)0.f(zz连续，由连续定义知00,()0,当|zz0

时，有|f(z)f(z0

) .因为f(z0

)0，可取 f(z0

0,则存在(|f(z0

|)0,z0

{z:|zz0

}0中任意一点z ，有|f(z)f(z0

)||f(z0

|||f(z)||f(z0

)f(z)f(z0

|中的z ，有||f(z)||f(z

)f(z)||f(z)f||f)f(z)|0f2|f(z)| 0 00z的邻域，使在该邻域内|f(z|恒正，

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