北师大版初三数学下册与圆有关的几个定理

初三数学中考复习《与圆有关几个定理》教学设计一.教学内容：圆有关定理.圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系， 。.主要定理：（1）垂径定理及其推论。（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。（4）切线的性质（5）切线判定定理（5）切线长定理.中考聚焦：圆这一章六个定理所的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题， 中考的压轴题都综合了圆的知识。.知识框图：「点和圆的位置关系（这是重点）圆的定义i、不在同一直线上的三点确定一个圆「对对称性一垂径定理（这是重点）圆的有关性质« '圆心角、弧、弦、弦心距间的关系|圆的有关性质 圆心角定理旋转不变性圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）’相离相交直线和圆的位置关系《 ‘切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）相切5弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）四.重点知识讲解:

1.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即:④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧ADAB①AB是直径②AB_LCD④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧ADAB中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在。。中，•「AB//CD同步自测1、已知。。中，弦AB垂直于直径CD,垂足为P,AB=6,CP=1,WJO的半径----.已知 O。的直径为10cm,A是O。内一点，且OA=3cm,则OO中过点A的最短弦长= cm.圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：•・•/AOB和/ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB=2ACB2、圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在。。中，•・•/C、/D都是所对的圆周角C"D推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在。。中，•「AB是直径或♦.NC=90。・♦・推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC中，.OC=OA=OBMBC是直角三角形或CC990°.切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：:MN_LOA且MN过半径OA外端•.MN是。。的切线(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。4.切线长定理

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：.「PA、PB是的两条切线•.PA=PBPO平分/BPA5.三角形的内心、外心。(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点， 钝角三角形外心在三角形外部， 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O表示.7.辅助线总结圆中常见的辅助线.作半径，利用同圆或等圆的半径相等..作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明..作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算..作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.5)、作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角..遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角..遇到切线，作过切点的半径，构造直角..欲证直线为圆的切线时，分两种情况：（1）若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；（2）不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径..遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点..遇到三角形的内心，常作：（1）内心到三边的垂线；（2）连结内心和三角形的顶点.【典型例题】ijfaflj（2015•湖南永州）如图，已知内接于OO,且AB 直径AD交BC于点E,F是OE上的一点，C/〃笈D（1）求证（2）试判断四边形BFCL）的形状，并说明理由；（3）若=8,A"=10,求CD '—的长.解：（1）,「4。是直径，二AABD=乙ACD=90。.在RlAABD和RtAACD中，‘一‘'LADaRtA4/?/）^RtA4CP.a乙BAD=乙CAD.;AB=ACBE=CE.(2)四边形BFCD是菱形.理由：由(1)知IAD =CE.•・•CF//BD,:.乙FCE=乙DBE,(乙DBE=乙FCE,在ABEDn△CEF中,〔BE=CE,IABED=乙CEF=9。。,・•.△BED”/\CEFBD=CF.:.四边形片〃CO是平行四边形.•・•乙BAD=乙CAD」BD=CD./.四边形BFCD是菱形.(3)・.・AD是直径，4。JLRC,BE=CE,易得△CEDs/\AEC,CE2=DE•AE.设£)£=%,・.・8C=8,40=10,42=%(10-%)，解得%=2或％=8(舍去).在Rt△CED中，CO=y/CE2+DE2=/42+22=2万.庭|(2016・四川凉山州)如图，已知四边形ABCD内接于。。,4是病的中点，熊_L居于点儿与及CB的延长线相交于点/且涉二高.(1)求证：AWCs△曲人(2)如果48=8,。。=5,求12】1乙€4。的值.(2)解二,4是以?C的中点,/.AB^AC,AAB=AC=S.•/△4OCs△七助,,〜八/aDCACHn5 8，乙=4,'布=布，即?"君'64「.AE=W5tanLCADtanLCAD二tan乙AEC二ACAE64五.课堂练习1、已知。O中，弦AB垂直于直径CD,垂足为P,AB=6,CP=1,则。。的半径为o2、已知0O的直径为10cm,A是。O内一点，口OA=3cin,则OO中过点A的最短弦长= cmo3.半径为3.半径为1的中有一条弦，如果它的长为这条弦所对的圆周角为A.6