2016考研数学高数数一强化课程配套讲义

授课教师： 2016考研数学强化课程配套讲 授课教师：............................................................................................................................... 综 第二讲一元函数微积分 综 7.反常积 二计 三 应 四 1、极限的定义及其①函数极限limf(xA0.0,当0

xx0f(xA x有六种情形，包括xx,0xxxxxxx limxa0,N0，当nNxa

n 10:,N语言的简单i例：证明：若单调数列xn的某一子数列xn收敛于A，则该数列xn必收敛于i20：取，讨论f(xxn的范例：设limx2，则当n充分大时，有 nx2

x2

xn

xn2、性质及其①唯一性：若limf(x)AA唯一例I

ex)k

存在，其中x为取整函数，求K，并确定Ix0 1 若limf(xA存在，则M0,0，当0

xx0时，f(x)Mf(x

(x31)sin

(x2(x21)若limf(xA0，则存在0，使得当0

xx0时f(x0limf(xA0，则存在0，使得当0

x

f(x0若存在0，使得当0若存在0，使得当0

xx

f(x0limf(xlimfx)0 f(x0limf(x存在limf(x0例：若

f(x)f(x0)1，则f(x)在xx处 202(xx0

B.取极大值C.为拐二、函数极限的计（2）判别类型（00000，11cosxcos2xcos limex2x0设0limxlnx0

lim4x2xln(21)2ln2xx .lim(1 .x0 sin3x xx x

x),02lim(2xtanx2)sinxlim(xsinx)sinxxx

1x2x x 三、数列极限的计.1求lim(111). 12lim(12n3nnsinn例（I）x0时，1

ln(1x)x(II)x11)(12

n，求limx n1)f(xlnx1,f(x的最小值x2)设x满足lnx

1,证明lim

x四、极限的1f(xxaln(1xbxsinx,g(xkx3,x0,f(x~g(x,求a,bk2若xln(1x)sint2dt与cxk为等价无穷小量(x0),求ck x0,f(x~axng(x~bxn,fga,b均不为零,fg(x)~abmxmn x0,f(x~g(x),f、g连续且均不为零,则0f(t)dt~0g(t)dt只讨论xxx(xxxx(x1)ln

x(x2sinx,x 2f(xx(x21)x0,讨论其连续性

第二讲一元函数微积分学一、定义1、导数定义及其考法[注]f(xx0处可导f(xx0处导数存在f(x0A存在

F(xxsinxx0,F(x2.设0,f(x在,上有定义f(xx0处可导,f(0)

f(0)1,且满足limln(12x2xf

0,3.f(xx0处连续且limf(xf(x)存在,f(0)是否存在 4.f(xx0处连续且limf(2xf(x)f(0)是否存在 f(ax)f例5.设f(x)在 0处连续且 b,a,b为常数，a1，证明f(0) b在,f(0)a12yfAxf(x0xylim 0yf(xx0处可微 3.f(uyf(x2xx1处取x0.1yf(1=.3、不定积分定义:xI都有F(xf(x,则称F(xf(xI上的一个原函数f(x)dxF(xC否则,若x0IF(x0f(x0F(xf(xI上的原函数x连续函数必有原函数,f(xI上连续,F(xaf(t)dt(axI必可导,xF(x)f(x),xI例1F(x) ,x例2f(x) 4、定积分 在1,2上2,xf(x1x0是否有原函数?是否有定积分2xsin12cos1,xf(x)

1,xf(f(x)

2xcos1sin1,xf(x) [注] f(x)连续f(x)可积

F(x)xxF(x)xx

f(t)dt可导f(t)dt连续cosx,x例 若f(x)

,F(x

f(t)dt具有什么样的性质x2,x x2)可导的f(x)是奇函数,则f(x) 可导的f(x)是偶函数,则f(x) xf xf(x是奇函数,F(x)x .(axf xf(x是偶函数,F(x)x .(a例1：设f(x)为奇函数,除x0外处处连续 x0为其第一类间断点,xF(x)0f(t)dt是 x C.x0为间断点的奇函数 D.x0为间断点的偶函数例2：设f(x)为连续的奇函数,a0,则以下奇函数的个数为( A.a B.0

ff2C.0dxaxf D.adxaxf 10f(x以T为周期f(xT为周期x02可积函数f(x)T为周期，则F(xafx0T0f(x)dx0T

T为周期的充要条件是T例：设f(x)以T为周期的奇函数，则0f(x)dx T例：设f(x)在(0,)内可导，则 f(x)在(x内有界，则f(x在(x)f(x在(x内有界，则f(x)在(x)f(x在(0,f(x在(0,f(x在(0,f(x在(0,内有界5、定积分的精确定 ... 1nn n n

nn2

n2...n2

nnn2

n1 例：求lim(bn1)bnsinb2nb n1 作业：求lim(bn1)bnsinbnb 6baf(x)dxb f(t)dt)f(2(x))2(x)f(1(x))1x2 例： sint例：设f(x)连续，则(xtf(x2t2)dt) 反常积 f(x)dx 函数：af(x)dx(a为瑕点[注

dx:p1时收敛;p1时发散x x1 0xpdx:p1时发散;p1时收敛1ln1设0讨论0xdx的敛散性2设k0,讨论

x(lnx)k的敛散性二计算1、求导 1f(xcosxsinx,求limf(xx02yy(x由方程x3y3xy10确定,求lim3yx3 3yx3sinx,y(6例4

y ,2x3y(n0)xnx例5设y 1x

xy(n(0)(n2)2ln(x1x2ln(x1x2)1x2(2x1)(2x1)34x4例3I 1x)dx(x0)x4I

ex1ex1

dxln5Ixln4xdx (x x2(x x2]x(x0x0f(x0;x(x0x0),f(x0x0为极小值点x(x0x0f(x0;x(x0x0),f(x0x0为极大值点.f(x)f(x)...f(n1)(x)设f(x)在x0处n阶可导，且fn(x0) n为偶数时，若f(n(x0x为极大值 例1yy(x满足y(43y5yecosx,其中y(2y(2y(2y(20,x2的性态f(xx0f(x变号x0f(x0为曲线上的拐点判别拐点的“更高阶”f(x)f(x)...f(n1)(x)设f(x)在x0处n阶可导，且fn(x0) 2yx1)(x2)2x3)3(x4)4的一个拐点为 B.(2, C.(3, D.(4,例3设f(x)二阶可导,g(x)f(0)(1x)f(1)x,则在0,1上 f(x)0时 f(x)f(x)0时 f(x)f(x0时,f(xf(x0时,f(xy(x的无定义点或定义区间的端点x0，计xx0为铅垂渐近线，反之亦反

(xx,xx

)limy(x)AyAlimy(x)

a是否存在，若是，则计算lim[y(x)ax]b yaxb为斜渐近线

例4曲线y 4x2xln(21)的渐近线 条x1）区间a

f(x0x f(x)不存在x不可导点f(x)、f(x)、f(a)、f(b 2）区间(ab)，端点处改为计

f(x)Alimf(xB其中a可为，b可为5f(xex2sinx2的值域1例1设曲线ye2 sinx在x0部分与x轴所围平面区域记