金属自由电子理论课件

第一节自由电子气的能量状态4.1.1金属中自由电子的运动方程和解4.1.2波矢空间和能态密度4.1.3自由电子气的费米能量本节主要内容：第一节4.1.1金属中自由电子的运动方程和解4.14.1.1金属中自由电子的运动方程和解(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；§4.1自由电子气的能量状态1.模型(索末菲)自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的

、遵从泡利原理的电子气。(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)；(3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。4.1.1金属中自由电子的运动方程和解(1)金属中的价为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深度是无限的。粒子势能为2.薛定谔方程及其解每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：E---电子的能量----电子的波函数(是电子位矢的函数)为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深度是常用边界条件驻波边界条件周期性边界条件波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。常用边界条件驻波边界条件周期性边界条件波函数为行波，波矢，为电子的德布罗意波长。电子的动量：电子的速度：由正交归一化条件：由周期性边界条件：(其中为整数)波矢，为电子的德布罗意波长。电子的动量：电子的速度：由正交归4.1.2波矢空间和能态密度1.波矢空间以波矢的三个分量为坐标轴的空间称为波矢空间或空间。金属中自由电子波矢：(1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数):(3)体积元中的(波矢)状态数为:(4)体积元中的电子状态数为:4.1.2波矢空间和能态密度1.波矢空间以波矢2.能态密度(1)定义:(2)计算:波矢密度两个等能面间的波矢状态数两等能面间的电子状态数能态密度

两等能面间的波矢状态数：2.能态密度(1)定义:(2)计算:波矢密度两个等能面间的波考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，kykx能态密度:考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，kykx能例1：求金属自由电子气的能态密度金属中自由电子的能量法1.例1：求金属自由电子气的能态密度金属中自由电子的能量法1.E法2.金属中自由电子的能量E法2.金属中自由电子的能量kykx其中kykx其中在半径为k的球体积内电子的状态数为：自由电子气的能态密度：法3.其中在k空间自由电子的等能面是半径的球面，在半径为k的球体积内电子的状态数为：自由电子气的能态密度：法4.1.3自由电子气的费米能量在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是1.费米能量

EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。2.图象4.1.3自由电子气的费米能量在热平衡时，能量为E的状态随着T的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在EF附近kBT范围内。随着T的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任3.费米面E=EF的等能面称为费米面。(a)T=0k在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。费米能级(b)

T0时，费米球面的半径kF比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF约kBT范围的能级上的电子被激发到EF之上约kBT范围的能级。EF3.费米面E=EF的等能面称为费米面。(a)T=0k4.求EF的表达式分两种情况讨论：E~E+dE间的电子状态数：E~E+dE间的电子数：系统总的电子数：(1)在T=0K时，上式变成：将自由电子密度N(E)=CE1/2代入得：其中4.求EF的表达式分两种情况讨论：E~E+dE间的电子状态数令n=N/V，代表系统的价电子浓度，则有自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算金属中一般n~1028m-3，电子质量m=9×10-31kg，几个电子伏。由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。令n=N/V，代表系统的价电子浓度，则有自由电子气系统中每个(分步积分得来)(2)=0则上式化简为(分步积分得来)(2)=0则上式化简为因此一方面，另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数：函数的特点具有类似于函数的性质，仅在EF附近kBT的范围内才有显著的值，且是E－EF的偶函数。只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到因此一方面，另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数：很显然，I0等于１，由于为(E-EF)的偶函数，因此I1=0。令(E-EF)/kBT=，则很显然，I0等于１，由于为(E-EF)的偶函数，因此得：得：得:=1=0由于系统的电子数得:=1=0由于系统的电子数利用kBT<<EF，最后得当温度升高时，EF比小。利用kBT<<EF，最后得当温度升高时，EF比小。E~E+dE间的电子数：E~E+dE间电子的能量:电子的总能量：每个电子的平均能量：1.每个电子的平均能量§4.2电子气热容量4.2.1电子气的摩尔热容量E~E+dE间的电子数：E~E+dE间电子的能量:电子的总能=0=0金属自由电子理论课件2.每个电子对热容量的贡献2.每个电子对热容量的贡献---电子气的费米温度，约为104--105K。3.电子气的摩尔热容量为

N0为每摩尔的原子数,Z为每个原子的价电子数，电子热容系数。N0kB=R，R=8.31441J/mol·K为气体常量。---电子气的费米温度，约为104--105K。3.电子气的1.在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为J/mol·k2而电子比热的量级为mJ/mol·k2。电子比热与晶格振动比热相比很小，如何解释呢?电子热容量可以直接提供费米面附近能态密度的信息。这是因为尽管金属中有大量的自由电子，但只有费米面附近kBT范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。所以电子的热容量很小。4.2.2电子气摩尔热容量的讨论1.在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为J/2.电子气能态密度很多金属的基本性质主要取决于能量在EF附近的电子，从k空间看，也就是在费米面Ｅ＝ＥF附近的电子，因此研究费米面附近的状况具有重要意义。根据以上的分析知道电子的热容量可以直接提供对费米面附近能态密度的了解。2.电子气能态密度很多金属的基本性质主要取决于能量在电子气和晶格振动对摩尔热容贡献之比为：3.低温时金属比热在温度甚低时，两者的大小变得可以相比，晶体的摩尔热容量可以表示为：电子气和晶格振动对摩尔热容贡献之比为：3.低温时金属比热第三节

功函数和接触电势差本节主要内容:4.3.1功函数4.3.2接触电势差第三节功函数和接触电势差本节主要内容:4.3.1功函数

接触电势:两块不同的金属A和Ｂ相接触，或用导线连接起来，两块金属就会彼此带电产生不同的电势VA和VB，这称为接触电势。Ｂ+++------+++---VAVB接触电势差A+++接触电势:两块不同的金属A和Ｂ相接触，或用导线连接金属中电子的势阱和脱出功ＥＦE0电子在深度为E0的势阱内，要使费米面上的电子逃离金属，至少使之获得=E0－ＥＦ的能量，称为脱出功又称为功函数。脱出功越小，电子脱离金属越容易。§4.3功函数和接触电势差4.3.1功函数1.功函数金属中电子的势阱和脱出功ＥＦE0电子在深度为E0的发射电流密度：2.里查孙－德西曼公式热电子发射：电子从外界获得热能逸出金属的现象称为热电子发射。---里查孙－德西曼公式根据实验数据作图，则得到一条直线。由此可确定金属的脱出功。发射电流密度：2.里查孙－德西曼公式热电子发射：电

电流密度：某点电流密度大小等于通过与该点场强方向垂直的单位截面积的电流强度。电流强度：等于单位时间内通过导体某一横截面的电量。S经典理论求电流密度。设金属中电子运动速度的平均值为。单位体积内自由电子数为n，电子电量为-e，可以证明电流密度：电流密度：某点电流密度大小等于通过与该点场强方向垂直S电流密度选取横截面为S，长度为的小圆柱，t时间内通过S截面的电量为：按照索末菲自由电子论如何求热电子发射电流密度呢？

v为电子运动速度，为单位体积中速度在之间的电子数。S电流密度选取横截面为S，长度为的小圆柱，t时间内通分布函数f(E)中电子状态数中电子状态数

中电子数可到达金属表面的电子数电流密度可到达金属表面的电子数分布函数f(E)中电子状态数中电子状态数由于发射电子的能量必须满足：间的电子数(2)单位体积而>>kBT，(3)可到达金属表面的电子数由于发射电子的能量必须满足：间的电子数(2)单设ox轴垂直金属表面，电子沿x方向离开金属，这就要求沿x方向的动能必须大于E0，而vy，vz的数值是任意的，因此对vy，vz积分得：设ox轴垂直金属表面，电子沿x方向离开金属，这就要求金属自由电子理论课件---里查孙－德西曼公式---里查孙－德西曼公式4.3.2接触电势差０EFABEF０金属的能级和功函数由图可得电势差和功函数的关系式：Ｂ+++------+++---VAVB接触电势差A+++4.3.2接触电势差０EFABEF０金属的能级和功函上式说明两块金属的接触电势差来源于两块金属的脱出功不同，而脱出功表示真空能级和金属费米能级之差，所以接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。理论推导上式。设两块金属的温度都是T，当他们接触时，每秒内从金属A和金属B的单位表面积所溢出的电子数分别为：上式说明两块金属的接触电势差来源于两块金属的脱若B>

A，则VA>0,VB<0，两块金属中的电子分别具有附加的静电势-eVA和-eVＢ，这时两块金属发射的电子数分别为：当达到平衡时，接触电势差：若B>A，则VA>0,VB<0，两块金属中的金属自由电子理论总结自由电子气的能量状态电子气的热容量功函数和接触电势差金属自由电子理论自由电子气的能量状态电子气的热容量功函数和接

1.自由电子气(自由电子费米气体)：是指自由的、无相互作用的、遵从泡利原理的电子气。自由电子气的能量状态2.自由电子气的能量3.能态密度一、自由电子气的能量状态1.自由电子气(自由电子费米气体)：是指自自由电子气的能态密度其中二、电子气费米能量1.分布函数在热平衡时，能量为E的能级被电子占据的概率。

EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。自由电子气的能态密度其中二、电子气费米能量1.分布函数在热2.费米能量3.费米面：E=EF的等能面称为费米面。2.费米能量3.费米面：E=EF的等能面称为费米面。

T0时，费米球面的半径kF比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF约kBT范围的能级上的电子被激发到EF之上约kBT范围的能级。在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。电子气的热容量T0时，费米球面的半径kF比绝对零度时费电子在深度为E0的势阱内，要使费米面上的电子逃离金属，至少使之获得=E0－ＥＦ的能量，称为脱出功又称功函数。功函数和接触电势差1.功函数：2.里查逊—德西曼公式3.接触电势两块不同的金属A和Ｂ相接触，或用导线连接起来，两块金属就会彼此带电产生不同的电势VA和VB，称为接触电势。电子在深度为E0的势阱内，要使费米面上的电子逃离金属第一节自由电子气的能量状态4.1.1金属中自由电子的运动方程和解4.1.2波矢空间和能态密度4.1.3自由电子气的费米能量本节主要内容：第一节4.1.1金属中自由电子的运动方程和解4.14.1.1金属中自由电子的运动方程和解(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；§4.1自由电子气的能量状态1.模型(索末菲)自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的

、遵从泡利原理的电子气。(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)；(3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。4.1.1金属中自由电子的运动方程和解(1)金属中的价为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深度是无限的。粒子势能为2.薛定谔方程及其解每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：E---电子的能量----电子的波函数(是电子位矢的函数)为计算方便设金属是边长为L的立方体，又设势阱的深度是常用边界条件驻波边界条件周期性边界条件波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。常用边界条件驻波边界条件周期性边界条件波函数为行波，波矢，为电子的德布罗意波长。电子的动量：电子的速度：由正交归一化条件：由周期性边界条件：(其中为整数)波矢，为电子的德布罗意波长。电子的动量：电子的速度：由正交归4.1.2波矢空间和能态密度1.波矢空间以波矢的三个分量为坐标轴的空间称为波矢空间或空间。金属中自由电子波矢：(1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数):(3)体积元中的(波矢)状态数为:(4)体积元中的电子状态数为:4.1.2波矢空间和能态密度1.波矢空间以波矢2.能态密度(1)定义:(2)计算:波矢密度两个等能面间的波矢状态数两等能面间的电子状态数能态密度

两等能面间的波矢状态数：2.能态密度(1)定义:(2)计算:波矢密度两个等能面间的波考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，kykx能态密度:考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，kykx能例1：求金属自由电子气的能态密度金属中自由电子的能量法1.例1：求金属自由电子气的能态密度金属中自由电子的能量法1.E法2.金属中自由电子的能量E法2.金属中自由电子的能量kykx其中kykx其中在半径为k的球体积内电子的状态数为：自由电子气的能态密度：法3.其中在k空间自由电子的等能面是半径的球面，在半径为k的球体积内电子的状态数为：自由电子气的能态密度：法4.1.3自由电子气的费米能量在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是1.费米能量

EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。2.图象4.1.3自由电子气的费米能量在热平衡时，能量为E的状态随着T的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在EF附近kBT范围内。随着T的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任3.费米面E=EF的等能面称为费米面。(a)T=0k在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。费米能级(b)

T0时，费米球面的半径kF比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF约kBT范围的能级上的电子被激发到EF之上约kBT范围的能级。EF3.费米面E=EF的等能面称为费米面。(a)T=0k4.求EF的表达式分两种情况讨论：E~E+dE间的电子状态数：E~E+dE间的电子数：系统总的电子数：(1)在T=0K时，上式变成：将自由电子密度N(E)=CE1/2代入得：其中4.求EF的表达式分两种情况讨论：E~E+dE间的电子状态数令n=N/V，代表系统的价电子浓度，则有自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算金属中一般n~1028m-3，电子质量m=9×10-31kg，几个电子伏。由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。令n=N/V，代表系统的价电子浓度，则有自由电子气系统中每个(分步积分得来)(2)=0则上式化简为(分步积分得来)(2)=0则上式化简为因此一方面，另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数：函数的特点具有类似于函数的性质，仅在EF附近kBT的范围内才有显著的值，且是E－EF的偶函数。只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到因此一方面，另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数：很显然，I0等于１，由于为(E-EF)的偶函数，因此I1=0。令(E-EF)/kBT=，则很显然，I0等于１，由于为(E-EF)的偶函数，因此得：得：得:=1=0由于系统的电子数得:=1=0由于系统的电子数利用kBT<<EF，最后得当温度升高时，EF比小。利用kBT<<EF，最后得当温度升高时，EF比小。E~E+dE间的电子数：E~E+dE间电子的能量:电子的总能量：每个电子的平均能量：1.每个电子的平均能量§4.2电子气热容量4.2.1电子气的摩尔热容量E~E+dE间的电子数：E~E+dE间电子的能量:电子的总能=0=0金属自由电子理论课件2.每个电子对热容量的贡献2.每个电子对热容量的贡献---电子气的费米温度，约为104--105K。3.电子气的摩尔热容量为

N0为每摩尔的原子数,Z为每个原子的价电子数，电子热容系数。N0kB=R，R=8.31441J/mol·K为气体常量。---电子气的费米温度，约为104--105K。3.电子气的1.在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为J/mol·k2而电子比热的量级为mJ/mol·k2。电子比热与晶格振动比热相比很小，如何解释呢?电子热容量可以直接提供费米面附近能态密度的信息。这是因为尽管金属中有大量的自由电子，但只有费米面附近kBT范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。所以电子的热容量很小。4.2.2电子气摩尔热容量的讨论1.在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为J/2.电子气能态密度很多金属的基本性质主要取决于能量在EF附近的电子，从k空间看，也就是在费米面Ｅ＝ＥF附近的电子，因此研究费米面附近的状况具有重要意义。根据以上的分析知道电子的热容量可以直接提供对费米面附近能态密度的了解。2.电子气能态密度很多金属的基本性质主要取决于能量在电子气和晶格振动对摩尔热容贡献之比为：3.低温时金属比热在温度甚低时，两者的大小变得可以相比，晶体的摩尔热容量可以表示为：电子气和晶格振动对摩尔热容贡献之比为：3.低温时金属比热第三节

功函数和接触电势差本节主要内容:4.3.1功函数4.3.2接触电势差第三节功函数和接触电势差本节主要内容:4.3.1功函数

接触电势:两块不同的金属A和Ｂ相接触，或用导线连接起来，两块金属就会彼此带电产生不同的电势VA和VB，这称为接触电势。Ｂ+++------+++---VAVB接触电势差A+++接触电势:两块不同的金属A和Ｂ相接触，或用导线连接金属中电子的势阱和脱出功ＥＦE0电子在深度为E0的势阱内，要使费米面上的电子逃离金属，至少使之获得=E0－ＥＦ的能量，称为脱出功又称为功函数。脱出功越小，电子脱离金属越容易。§4.3功函数和接触电势差4.3.1功函数1.功函数金属中电子的势阱和脱出功ＥＦE0电子在深度为E0的发射电流密度：2.里查孙－德西曼公式热电子发射：电子从外界获得热能逸出金属的现象称为热电子发射。---里查孙－德西曼公式根据实验数据作图，则得到一条直线。由此可确定金属的脱出功。发射电流密度：2.里查孙－德西曼公式热电子发射：电

电流密度：某点电流密度大小等于通过与该点场强方向垂直的单位截面积的电流强度。电流强度：等于单位时间内通过导体某一横截面的电量。S经典理论求电流密度。设金属中电子运动速度的平均值为。单位体积内自由电子数为n，电子电量为-e，可以证明电流密度：电流密度：某点电流密度大小等于通过与该点场强方向垂直S电流密度选取横截面为S，长度为的小圆柱，t时间内通过S截面的电量为：按照索末菲自由电子论如何求热电子发射电流密度呢？

v为电子运动速度，为单位体积中速度在之间的电子数。S电流密度选取横截面为S，长度为的小圆柱，t时间内通分布函数f(E)中电子状态数中电子状态数

中电子数可到达金属表面的电子数电流密度可到达金属表面的电子数分布函数f(E)中电子状态数中电子状态数由于发射电子的能量必须满足：间的电子数(2)单位体积而>>kBT，(3)可到达金属表面的电子数由于发射电子的能量必须满足：间的电子数(2)单设ox轴垂直金属表面，电子沿x方向离开金属，这就要求沿x方向的动能必须大于E0，而vy，vz的数值是任意的，因此对vy，vz积分得：设ox轴垂直金属表面，电子沿x方向离开金属，这就要求金属自由电子理论课件---里查孙－德西曼公式---里查孙－德西曼公式4.3.2接触电势差０EFABEF０金属的能级和功函数由图可得电势差和功函数的关系式：Ｂ+++-----