函数模型及应用课件

要点梳理1.三种增长型函数模型的图象与性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性_______________________增长速度________________相对平稳增函数增函数增函数越来越快越来越慢函数性质§2.8函数模型及应用基础知识自主学习y=axy=logaxy=xn在(0,+∞)上的增减性___12.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_____y=xn

的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有_______.图象的变化随x增大逐渐表现为与______平行随x增大逐渐表现为与______平行随n值变化而不同y轴x轴快于ax>xn随x增大逐渐表现为与随x增大逐随n值变化而不同y轴x轴快于a2（2）对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)对数函数y=logax(a>1)的增长速度,不论a与n值的大小如何总会______y=xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有____________.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在（0,+∞)上，总会存在一个x0,使x>x0时有_____________.3.函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题;(2)建立确定性的函数模型解决问题;(3)建立拟合函数模型解决实际问题.慢于logax<xnax>xn>logax（2）对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn34.函数建模的基本程序4.函数建模的基本程序4基础自测1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控,除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶，若每销售100元国家要征收附加税为x元(税率x%),则每年销售量减少10x万瓶,为了使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元,则x的最小值为____.

解析解得2≤x≤8,则x的最小值为2.2基础自测252.已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失10%,要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下,则至少需要重叠____块玻璃板.

解析112.已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失1163.某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元.则税率p%为_____.

解析利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1000×2%=180(万元),纳税180·p%万元,共纳税300·p%+180·p%=120(万元),

p%==25%.25%3.某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成25%74.某医院为了提高服务质量,进行了调查发现：当还未开始挂号时,有N个人已经在排队等候挂号.开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人.假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人,当开放一个窗口时,40分钟后恰好不会出现排队现象,若同时开放两个窗口时,则15分钟后恰好不会出现排队现象，根据以上信息,若要求8分钟后不出现排队现象,则需要同时开放的窗口至少应有____个.4.某医院为了提高服务质量,进行了调查发现：当还8解析设要同时开放x个窗口才能满足要求,则

N+8M≤8Kx③由①、②得

代入③得60M+8M≤8×2.5Mx,解得x≥3.4.即至少同时开放4个窗口才能满足要求.解析设要同时开放x个窗口才能满足要求,则9【例1】某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示).典型例题深度剖析典型例题深度剖析10(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试用销售单价x表示利润S,并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？解(1)由图象知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b中,得∴y=-x+1000(500≤x≤800).(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;11(2)销售总价=销售单价×销售量=xy,成本总价=成本单价×销售量=500y,代入求毛利润的公式,得S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-x2+1500x-500000=-(x-750)2+62500(500≤x≤800).∴当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62500元,此时销售量为250件.(2)销售总价=销售单价×销售量=xy,12跟踪练习1电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案.这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如下图所示(实线部分)(MN∥CD).(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元？跟踪练习1电信局为了配合客户的不同需要，设有13(3)通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？由图表知识,分别求得两种方案的解析式，通过解析式即可求解.解由图知,M(60,98),C(500,168),N(500,230).∵MN∥CD,设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为fA(x)、fB(x),分析(3)通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？分析14(1)通话两小时的费用分别是116元和168元.(2)fB(x+1)-fB(x)=0.3(x>500),或由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.(3)由图知:当0≤x≤60时,fA(x)<fB(x);当x>500时,fA(x)>fB(x);当60<x≤500时,由fA(x)>fB(x)得综合可得通话时间在时方案B较优惠.(1)通话两小时的费用分别是116元和168元.15【例2】某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为（万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台).(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大？对于一些较复杂的应用题,有时仅构造一个数学模型还不能解决根本问题，须先后或同时构造、利用几个数学模型才可.分析【例2】某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投分析16解

(1)当x≤5时,产品能售出x百台;当x>5时,只能售出5百台,故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)解(1)当x≤5时,产品能售出x百台;17(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x--0.5,当x=4.75时,L(x)max=10.78125万元.当x>5时,L(x)=12-0.25x为减函数,此时L(x)<10.75(万元).∴生产475台时利润最大.(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x--0.518跟踪练习2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润？最大利润是多少？

解(1)每吨平均成本为(万元).跟踪练习2某化工厂引进一条先进生产线生产某种19当且仅当即x=200时取等号.∴年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元,则R(x)=40x-y=40x-+48x-8000=-+88x-8000=-(x-220)2+1680(0≤x≤210).∵R(x)在［0,210］上是增函数,∴x=210时,R(x)有最大值为-(210-220)2+1680=1660.∴年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元.当且仅当即x=200时取等号.20【例3】1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在1998年底达到12.48亿,若将人口平均增长率控制在1%以内,我国人口在2008年底至多有多少亿？【例3】1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出21以下数据供计算时使用:增长率问题是指数函数与幂函数问题,利用已知条件,列出函数模型.解

(1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为y,则y·(1+x)n=60,则当n=40时,y=30,数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.47710.66901.09621.11761.1392分析以下数据供计算时使用:数N1.0101.0151.017122即30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2,两边取对数,则40lg(1+x)=lg2,则lg(1+x)==0.007525,∴1+x≈1.017,得x=1.7%.(2)依题意,y≤12.48(1+1%)10,得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,∴y≤13.78,故人口至多有13.78亿.即30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2,23跟踪练习3某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到120万人(精确到1年);(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079,lg2≈0.3010,lg1.012≈0.005,lg1.009≈0.0039)跟踪练习3某城市现有人口总数为100万人,如果年24解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万人).解(1)1年后该城市人口总数为25(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100×(1+1.2%)x=120,(4)由100×(1+x%)20≤120,得(1+x%)20≤1.2,两边取对数得20lg(1+x%)≤lg1.2=0.079,所以lg(1+x%)≤=0.00395,所以1+x%≤1.009,得x≤0.9%,即年自然增长率应该控制在0.9%以内.(3)设x年后该城市人口将达到120万人,26【例4】(14分)某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·qx;②f(x)=logqx+p;③f(x)=(x-1)(x-q)2+p

(以上三式中p、q均为常数,且q>2).(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数,为什么？(2)若f(1)=4,f(3)=6，求出所选函数f(x)的解析式(注:函数的定义域是[1,6].其中x=1表示4月1日,

x=2表示5月1日,…,以此类推);【例4】(14分)某地区的一种特色水果上市时间能持27(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该水果在哪几个月内价格下跌.解题示范解

(1)因为①f(x)=p·qx是单调函数.②f(x)=logqx+p是单调函数.③f(x)=(x-1)(x-q)2+p中f′(x)=3x2-(4q+2)x+q2+2q.[3分]令f′(x)=0,得x1=q,x2=f(x)有两个零点,可以出现两个递增区间和一个递减区间,所以应选f(x)=(x-1)(x-q)2+p为其模拟函数.[8分](3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓28(2)由f(1)=4,f(3)=6,[10分]∴f(x)=(x-1)(x-4)2+4=x3-9x2+24x-12(1≤x≤6).[12分](3)由f′(x)=3x2-18x+24<0,解得2<x<4.∴函数f(x)=x3-9x2+24x-12在区间(2,4)上单调递减.∴这种水果在5、6月份价格下跌.[14分](2)由f(1)=4,f(3)=6,29跟踪练习4

(2009·青岛模拟)某民营企业生产A、B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位:万元)图1图2(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式;跟踪练习4(2009·青岛模拟)某民营企业生产A、B30(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元)？解

(1)设A产品的利润y1(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y1=ax+b(a≠0),由x=1,y1=0.25和x=1.8,y1=0.45,得a+b=0.25,1.8a+b=0.45,∴a=0.25,b=0,∴y1=0.25x.设B产品的利润y2(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y2=

(k≠0),由x=4,y2=2.5,得k=1.25.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两31所以A、B两种产品利润与投资的函数关系式分别为y1=0.25x,

(x≥0).(2)设将10万资金投资B产品x万元,A产品(10-x)万元,则利润

令t=,∴x=t2.∴y=-0.25t2+1.25t+2.5=-0.25(t2-5t)+2.5=-0.25(t-2.5)2+4.0625.又0≤x≤10,∴当t=2.5时,即x=6.25时,y取得最大值ymax=4.0625,10-6.25=3.75.所以,当投资A产品约4万元,B产品约6万元时,所获利润最大,最大利润约为4万元.函数模型及应用课件32高考中以解答题为主,考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力,属于中、高档题,偶尔也会在填空题中考查.解应用问题,首先,应通过审题,分析原型结构,深刻认识问题的实际背景,确定主要矛盾,提出必要假设,将应用问题转化为数学问题求解;然后,经过检验,求出应用问题的解.从近几年高考应用题来看,顺利解答思想方法感悟提高高考动态展望方法规律总结思想方法感悟提高高考动态展望方法规律总结33一个应用问题重点要过三关,也就是要从三个方面来具体培养学生的分析问题和解决问题的能力.(1)事理关:通过阅读,知道讲的是什么,培养学生独立获取知识的能力.(2)文理关:需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.(3)数理关:在构建数学模型的过程中,要求学生有对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化.构建了数学模型后,要正确解出数学问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力.一个应用问题重点要过三关,也就是要从三个方面来34一、填空题1.(2009·广东揭阳调研)计算机的价格大约每3年下降,那么今年花8100元买的一台计算机,9年后的价格大约是_____.

解析9年后的价格大约是300元定时检测300元定时检测352.(2010·江苏南通一模)从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升,然后用水加满,再倒出1升,再用水加满.这样继续下去,则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为___________．

解析所倒次数1次,则y=19所倒次数2次,则……所倒次数x次,则2.(2010·江苏南通一模)从盛满20升纯消毒液的容363.(2009·扬州期末)某电信公司推出手机两种收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差_____.

解析如题图,当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD的长度,根据相似三角形的性质可得∴BD=10.10元3.(2009·扬州期末)某电信公10元374.(2009·苏、锡、常、镇调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价收费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过的部分按每千米2.85元收费,每次乘车需付燃油附加费1元,现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了__千米.

解析设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元,由题意得,8+1,0<x≤3

f(x)=9+(x-3)×2.15,3<x≤89+5×2.15+(x-8)×2.85,x>8,令f(x)=22.6,解得x=9.94.(2009·苏、锡、常、镇调研)某市出租车收费标9385.(2010·山东烟台模拟)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系用如图所示曲线表示.据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时,治疗疾病有效,则服药一次治疗该疾病有效的时间为____小时.5.(2010·山东烟台模拟)某医药研究所开发一种新39解析本小题考查函数与不等式.由图知答案解析本小题考查函数与不等式.由图知406.(2010·河南新乡模拟)甲、乙二人沿同一方向从A地去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1<

v2),甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2;乙一半时间使用速度v1,另一半的时间使用速度v2.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有如图中所示四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程),则其中可能正确的图示分析为______.6.(2010·河南新乡模拟)甲、乙二人沿同一方向从A41

解析

因为开始时甲、乙的速度是相同的,所以其图象的前一段是重合的,故排除③④;又v1<v2,反映在图象上即后一段的增长率大于前一段的增长率,图象增长得快,只有①符合题意.答案

①函数模型及应用课件427.(2009·江苏盐城二模)水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水速度如图甲、乙所示,某天0点到6点该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口):给出以下三个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水也不出水.则一定正确的论断是_____.7.(2009·江苏盐城二模)水池有两个相同的进水口43解析

从丙图可知在0点到3点,蓄水量由0增加到6，因此是两个进水口同时打开了,且出水口没有打开,故①正确;从3点到4点,蓄水量由6减少到5,减少了1,所以是一个进水口和一个出水口同时打开了,故②错误;从4点到6点,蓄水量不变,由于题设要求至少打开一个水口,故在该时段内是打开了两个进水口和一个出水口,故③错误.答案

①解析从丙图可知在0点到3点,蓄水量由0增加到6，448.(2010·连云港模拟)某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定:①如一次购物不超过200元,不予以折扣;②如一次购物超过200元,但不超过500元,按标价予以九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元给予九折优惠,超过500元的给予八五折优惠;某人两次去购物,分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款_______元.

解析由题意知付款432元,实际标价为432×=480元,如果一次购买标价176+480=656元的商品应付款500×0.9+156×0.85=582.6元.582.68.(2010·连云港模拟)某商场宣传在节假日对顾客58459.(2010·苏州模拟)鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童,准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛,预计卖出门票2.4万张,票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设x是门票的总收入,经预算,扣除其他各项开支后,该俱乐部的纯收入为函数y=lg2x,则这三种门票的张数分别为________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.

解析该函数模型y=lg2x已给定,因而只需要将条件信息提取出来,按实际情况代入,应用于函数即可解决问题.设3元、5元、8元门票的张数分别为a、b、c,则9.(2010·苏州模拟)鲁能泰山足球俱乐部为救助失46a+b+c=2.4①ab=0.6②.x=3a+5b+8c

③①代入③有x=19.2-(5a+3b)≤

=13.2(万元),当且仅当时等号成立,解得a=0.6,b=1,所以c=0.8.由于y=lg2x为增函数,即此时y也恰有最大值.故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.答案

0.6、1、0.8a+b+c=2.4①47二、解答题10.(2009·江苏台州模拟)我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每张球台每小时5元;乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.(1)设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40),试求f(x)和g(x);二、解答题48(2)你认为小张选择哪家俱乐部比较合算?请说明理由.解(1)f(x)=5x,15≤x≤40.(2)①若15≤x≤30,当5x=90时,x=18,即当15≤x<18时,f(x)<g(x),当x=18时,f(x)=g(x),当18<x≤30时,f(x)>g(x).②若30<x≤40,5x>30+2x恒成立,即f(x)>g(x)恒成立.综上所述:当15≤x<18时,小张选甲俱乐部比较合算;当x=18时,两家一样合算;当18<x≤40时,选乙俱乐部比较合算.(2)你认为小张选择哪家俱乐部比较合算?请说明理由.4911.(2010·淮安模拟)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨.(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.11.(2010·淮安模拟)某市居民自来水收费标准如50

解(1)当甲的用水量不超过4吨,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨时,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨时,即3x≤4且5x>4,

y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨时,即3x>4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6,解(1)当甲的用水量不超过4吨,即5x≤4,乙的用51(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增,当x∈[,+∞)时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元);乙户用水量为3x=4.5吨,付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增,5212.(2009·江苏靖江调研)某跳水运动员进行10m跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示是坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面,入水处距池边的距离为4m,同时,运动员在距水面高度为5m以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析式;12.(2009·江苏靖江调研)某跳水53(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为,问此次跳水会不会失误？通过计算说明理由.解

(1)设最高点为A,入水点为B,解析式为y=ax2+bx+c.O(0,0),B(2,-10),且顶点A的纵坐标为∵抛物线对称轴在y轴右侧,(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是54又∵抛物线开口向下,∴a<0,∴b>0,∴抛物线解析式为(2)当运动员在空中距池边的水平距离为米,∵此时运动员距离水面高为∴此次跳水会出现失误.返回又∵抛物线开口向下,∴a<0,∴b>0,返回55要点梳理1.三种增长型函数模型的图象与性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性_______________________增长速度________________相对平稳增函数增函数增函数越来越快越来越慢函数性质§2.8函数模型及应用基础知识自主学习y=axy=logaxy=xn在(0,+∞)上的增减性___562.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_____y=xn

的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有_______.图象的变化随x增大逐渐表现为与______平行随x增大逐渐表现为与______平行随n值变化而不同y轴x轴快于ax>xn随x增大逐渐表现为与随x增大逐随n值变化而不同y轴x轴快于a57（2）对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)对数函数y=logax(a>1)的增长速度,不论a与n值的大小如何总会______y=xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有____________.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在（0,+∞)上，总会存在一个x0,使x>x0时有_____________.3.函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题;(2)建立确定性的函数模型解决问题;(3)建立拟合函数模型解决实际问题.慢于logax<xnax>xn>logax（2）对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn584.函数建模的基本程序4.函数建模的基本程序59基础自测1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控,除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶，若每销售100元国家要征收附加税为x元(税率x%),则每年销售量减少10x万瓶,为了使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元,则x的最小值为____.

解析解得2≤x≤8,则x的最小值为2.2基础自测2602.已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失10%,要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下,则至少需要重叠____块玻璃板.

解析112.已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失11613.某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元.则税率p%为_____.

解析利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1000×2%=180(万元),纳税180·p%万元,共纳税300·p%+180·p%=120(万元),

p%==25%.25%3.某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成25%624.某医院为了提高服务质量,进行了调查发现：当还未开始挂号时,有N个人已经在排队等候挂号.开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人.假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人,当开放一个窗口时,40分钟后恰好不会出现排队现象,若同时开放两个窗口时,则15分钟后恰好不会出现排队现象，根据以上信息,若要求8分钟后不出现排队现象,则需要同时开放的窗口至少应有____个.4.某医院为了提高服务质量,进行了调查发现：当还63解析设要同时开放x个窗口才能满足要求,则

N+8M≤8Kx③由①、②得

代入③得60M+8M≤8×2.5Mx,解得x≥3.4.即至少同时开放4个窗口才能满足要求.解析设要同时开放x个窗口才能满足要求,则64【例1】某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示).典型例题深度剖析典型例题深度剖析65(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试用销售单价x表示利润S,并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？解(1)由图象知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b中,得∴y=-x+1000(500≤x≤800).(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;66(2)销售总价=销售单价×销售量=xy,成本总价=成本单价×销售量=500y,代入求毛利润的公式,得S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-x2+1500x-500000=-(x-750)2+62500(500≤x≤800).∴当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62500元,此时销售量为250件.(2)销售总价=销售单价×销售量=xy,67跟踪练习1电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案.这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如下图所示(实线部分)(MN∥CD).(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元？跟踪练习1电信局为了配合客户的不同需要，设有68(3)通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？由图表知识,分别求得两种方案的解析式，通过解析式即可求解.解由图知,M(60,98),C(500,168),N(500,230).∵MN∥CD,设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为fA(x)、fB(x),分析(3)通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？分析69(1)通话两小时的费用分别是116元和168元.(2)fB(x+1)-fB(x)=0.3(x>500),或由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.(3)由图知:当0≤x≤60时,fA(x)<fB(x);当x>500时,fA(x)>fB(x);当60<x≤500时,由fA(x)>fB(x)得综合可得通话时间在时方案B较优惠.(1)通话两小时的费用分别是116元和168元.70【例2】某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为（万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台).(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大？对于一些较复杂的应用题,有时仅构造一个数学模型还不能解决根本问题，须先后或同时构造、利用几个数学模型才可.分析【例2】某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投分析71解

(1)当x≤5时,产品能售出x百台;当x>5时,只能售出5百台,故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)解(1)当x≤5时,产品能售出x百台;72(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x--0.5,当x=4.75时,L(x)max=10.78125万元.当x>5时,L(x)=12-0.25x为减函数,此时L(x)<10.75(万元).∴生产475台时利润最大.(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x--0.573跟踪练习2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润？最大利润是多少？

解(1)每吨平均成本为(万元).跟踪练习2某化工厂引进一条先进生产线生产某种74当且仅当即x=200时取等号.∴年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元,则R(x)=40x-y=40x-+48x-8000=-+88x-8000=-(x-220)2+1680(0≤x≤210).∵R(x)在［0,210］上是增函数,∴x=210时,R(x)有最大值为-(210-220)2+1680=1660.∴年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元.当且仅当即x=200时取等号.75【例3】1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在1998年底达到12.48亿,若将人口平均增长率控制在1%以内,我国人口在2008年底至多有多少亿？【例3】1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出76以下数据供计算时使用:增长率问题是指数函数与幂函数问题,利用已知条件,列出函数模型.解

(1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为y,则y·(1+x)n=60,则当n=40时,y=30,数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.47710.66901.09621.11761.1392分析以下数据供计算时使用:数N1.0101.0151.017177即30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2,两边取对数,则40lg(1+x)=lg2,则lg(1+x)==0.007525,∴1+x≈1.017,得x=1.7%.(2)依题意,y≤12.48(1+1%)10,得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,∴y≤13.78,故人口至多有13.78亿.即30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2,78跟踪练习3某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到120万人(精确到1年);(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079,lg2≈0.3010,lg1.012≈0.005,lg1.009≈0.0039)跟踪练习3某城市现有人口总数为100万人,如果年79解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万人).解(1)1年后该城市人口总数为80(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100×(1+1.2%)x=120,(4)由100×(1+x%)20≤120,得(1+x%)20≤1.2,两边取对数得20lg(1+x%)≤lg1.2=0.079,所以lg(1+x%)≤=0.00395,所以1+x%≤1.009,得x≤0.9%,即年自然增长率应该控制在0.9%以内.(3)设x年后该城市人口将达到120万人,81【例4】(14分)某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·qx;②f(x)=logqx+p;③f(x)=(x-1)(x-q)2+p

(以上三式中p、q均为常数,且q>2).(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数,为什么？(2)若f(1)=4,f(3)=6，求出所选函数f(x)的解析式(注:函数的定义域是[1,6].其中x=1表示4月1日,

x=2表示5月1日,…,以此类推);【例4】(14分)某地区的一种特色水果上市时间能持82(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该水果在哪几个月内价格下跌.解题示范解

(1)因为①f(x)=p·qx是单调函数.②f(x)=logqx+p是单调函数.③f(x)=(x-1)(x-q)2+p中f′(x)=3x2-(4q+2)x+q2+2q.[3分]令f′(x)=0,得x1=q,x2=f(x)有两个零点,可以出现两个递增区间和一个递减区间,所以应选f(x)=(x-1)(x-q)2+p为其模拟函数.[8分](3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓83(2)由f(1)=4,f(3)=6,[10分]∴f(x)=(x-1)(x-4)2+4=x3-9x2+24x-12(1≤x≤6).[12分](3)由f′(x)=3x2-18x+24<0,解得2<x<4.∴函数f(x)=x3-9x2+24x-12在区间(2,4)上单调递减.∴这种水果在5、6月份价格下跌.[14分](2)由f(1)=4,f(3)=6,84跟踪练习4

(2009·青岛模拟)某民营企业生产A、B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位:万元)图1图2(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式;跟踪练习4(2009·青岛模拟)某民营企业生产A、B85(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元)？解

(1)设A产品的利润y1(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y1=ax+b(a≠0),由x=1,y1=0.25和x=1.8,y1=0.45,得a+b=0.25,1.8a+b=0.45,∴a=0.25,b=0,∴y1=0.25x.设B产品的利润y2(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y2=

(k≠0),由x=4,y2=2.5,得k=1.25.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两86所以A、B两种产品利润与投资的函数关系式分别为y1=0.25x,

(x≥0).(2)设将10万资金投资B产品x万元,A产品(10-x)万元,则利润

令t=,∴x=t2.∴y=-0.25t2+1.25t+2.5=-0.25(t2-5t)+2.5=-0.25(t-2.5)2+4.0625.又0≤x≤10,∴当t=2.5时,即x=6.25时,y取得最大值ymax=4.0625,10-6.25=3.75.所以,当投资A产品约4万元,B产品约6万元时,所获利润最大,最大利润约为4万元.函数模型及应用课件87高考中以解答题为主,考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力,属于中、高档题,偶尔也会在填空题中考查.解应用问题,首先,应通过审题,分析原型结构,深刻认识问题的实际背景,确定主要矛盾,提出必要假设,将应用问题转化为数学问题求解;然后,经过检验,求出应用问题的解.从近几年高考应用题来看,顺利解答思想方法感悟提高高考动态展望方法规律总结思想方法感悟提高高考动态展望方法规律总结88一个应用问题重点要过三关,也就是要从三个方面来具体培养学生的分析问题和解决问题的能力.(1)事理关:通过阅读,知道讲的是什么,培养学生独立获取知识的能力.(2)文理关:需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.(3)数理关:在构建数学模型的过程中,要求学生有对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化.构建了数学模型后,要正确解出数学问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力.一个应用问题重点要过三关,也就是要从三个方面来89一、填空题1.(2009·广东揭阳调研)计算机的价格大约每3年下降,那么今年花8100元买的一台计算机,9年后的价格大约是_____.

解析9年后的价格大约是300元定时检测300元定时检测902.(2010·江苏南通一模)从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升,然后用水加满,再倒出1升,再用水加满.这样继续下去,则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为___________．

解析所倒次数1次,则y=19所倒次数2次,则……所倒次数x次,则2.(2010·江苏南通一模)从盛满20升纯消毒液的容913.(2009·扬州期末)某电信公司推出手机两种收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差_____.

解析如题图,当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD的长度,根据相似三角形的性质可得∴BD=10.10元3.(2009·扬州期末)某电信公10元924.(2009·苏、锡、常、镇调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价收费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过的部分按每千米2.85元收费,每次乘车需付燃油附加费1元,现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了__千米.

解析设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元,由题意得,8+1,0<x≤3

f(x)=9+(x-3)×2.15,3<x≤89+5×2.15+(x-8)×2.85,x>8,令f(x)=22.6,解得x=9.94.(2009·苏、锡、常、镇调研)某市出租车收费标9935.(2010·山东烟台模拟)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系用如图所示曲线表示.据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时,治疗疾病有效,则服药一次治疗该疾病有效的时间为____小时.5.(2010·山东烟台模拟)某医药研究所开发一种新94解析本小题考查函数与不等式.由图知答案解析本小题考查函数与不等式.由图知956.(2010·河南新乡模拟)甲、乙二人沿同一方向从A地去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1<

v2),甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2;乙一半时间使用速度v1,另一半的时间使用速度v2.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有如图中所示四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程),则其中可能正确的图示分析为______.6.(2010·河南新乡模拟)甲、乙二人沿同一方向从A96

解析

因为开始时甲、乙的速度是相同的,所以其图象的前一段是重合的,故排除③④;又v1<v2,反映在图象上即后一段的增长率大于前一段的增长率,图象增长得快,只有①符合题意.答案

①函数模型及应用课件977.(2009·江苏盐城二模)水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水速度如图甲、乙所示,某天0点到6点该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口):给出以下三个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水也不出水.则一定正确的论断是_____.7.(2009·江苏盐城二模)水池有两个相同的进水口98解析

从丙图可知在0点到3点,蓄水量由0增加到6，因此是两个进水口同时打开了,且出水口没有打开,故①正确;从3点到4点,蓄水量由6减少到5,减少了1,所以是一个进水口和一个出水口同时打开了,故②错误;从4点到6点,蓄水量不变,由于题设要求至少打开一个水口,故在该时段内是打开了两个进水口和一个出水口,故③错误.答案

①解析从丙图可知在0点到3点,蓄水量由0增加到6，998.(2010·连云港模拟)某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定:①如一次购物不超过200元,不予以折扣;②如一次购物超过200元,但不超过500元,按标价予以九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元给予九折优惠,超过500元的给予八五折优惠;某人两次去购物,分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款_______元.

解析由题意知付款432元,实际标价为432×=480元,如果一次购买标价176+480=656元的商品应付款