二项式定理的发现与推广

二项式定理的发现与推广倪致祥科学发现系列讲座二项式定理的发现通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n次方的展开结果:二项式定理的发现为了便于看出规律，我们把它补充完整:二项式定理的发现为了便于研究其中的规律,1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数.他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和.用公式表示为:这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。二项式定理的发现通过进一步研究，1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式:1713年,Bernoulli对上面的公式给出了证明。二项式定理的推广1上面得到的结果只适用于指数为自然数的情况，能否把二项式定理推广到非自然数的情况呢?1665年，牛顿对此进行了研究。他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式：为了便于比较，我们把二项式定理改写为：二项式定理的推广1经过仔细比较，不难发现上式中取n=-1时，自动成为无穷递缩等比数列求和公式。这说明二项式定理的新形式在n=-1时也成立。这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的，即：二项式定理的推广1这个猜想是否正确？牛顿对此进行了验证。当指数为1/2时，有：验证的结果与猜想一致。牛顿还对指数为1/3、2/3等情况进行了验证，结果也与猜想一致。二项式定理的推广1然而，仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗？还要不要严格的证明？牛顿认为这已经足够了，不需要进一步证明，他也没有给出证明。1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。现在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。二项式定理的推广2二项式定理给出了两项和的n次幂的展开公式，有时我们也需要计算三项或多项和的n次幂，这时该怎么办？最容易想到的办法是多次应用二项式定理，即先把后几项合并成一项，应用二项式定理，再对式子中出现的后几项的幂进行类似处理。例如，对于三项和的n次幂，可以如下计算二项项式式定定理理的的推推广广2具体体写写出出来来是是二项项式式定定理理的的推推广广2为了了保保持持展展开开后后的的对对称称性性，，我我们们把把展展开开式式写写成成二项项式式定定理理的的推推广广2把公公式式中中字字母母的的系系数数提提取取出出来来经过过仔仔细细观观察察，，我我们们发发现现上上一一三三角角形形可可以以摞摞在在下下一一三三角角形形的的上上方方，，构构成成一一个个正正四四面面体体。。四面体中的的每一个数数等于其肩肩上三个数数之和。二项式定理理的推广2同样的方法法，我们可可以得到四四项和的n次幂的计计算公式二项式定理理的推广2为了看出多多项和n次次幂的计算算公式的一一般规律，，我们把前前面得到的的结果列在在一起：二项式定理理的推广2通过认真观观察，我们们不难发现现以下规律律：1）展开式式中各个字字母的指数数和为n；；1）系数的的分子都是是n！，分分母为指数数阶乘之积积；3）求和条条件为各指指数均非负负，且和为为n于是，我们们可以把这这些展开式式统一表达达为二项式定理理的推广3上面得到的的就是多项项式定理，，你能