2023年高考数学复习讲稿之第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结（解析版）

第14讲设点设线技巧之设线技巧归纳总结参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、．（1）若△为等边三角形，求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，求直线的方程．【解答】解：（1）椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、，△为等边三角形，，解得，椭圆的标准方程为．（2）椭圆的短轴长为2，椭圆的两个焦点分别为、，椭圆的标准方程为，过点直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，当直线的斜率不存在时，直线为，此时以为直径的圆不经过点，不成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由，得．设，，，，则，，，，，，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，，，，解得，即．故直线的方程为或．2．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．【解答】解：（Ⅰ）设圆心，，过点作轴，垂足为，则，，，化为．当时，也满足上式．动圆圆心的轨迹的方程为．（Ⅱ）设，，，由题意可知，，．轴是的角平分线，，，，化为．直线的方程为，，化为，化为，，令，则，直线过定点3．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且为原点），求直线的斜率．【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，，，所以，椭圆的方程为．（2）由题意，设，，，，设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率，在中，令，得，即，所以直线的斜率为，由，得，化简得，从而．所以，直线的斜率为或．4．已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点．（1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线的准线方程，焦点坐标，则，抛物线的标准方程为，焦点．（2）设，，，，，，，，由，得点在直线上，且，且四边形的面积．，由，得，则，，因为，所以，由，的斜率分别为，由图知必过点，可设，且，故直线，令，则直线，代入椭圆方程，得，，，点到的距离，四边形的面积，当且仅当时，面积最大为．5．已知椭圆过点，左右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰好为线段的中点，为坐标原点．（1）求椭圆的离心率；（2）与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于，两点，求当的面积最大时直线的方程．【解答】解：（1）由椭圆过点，则，①连接，由为线段的中点，为线段的中点，则，则，由，②由①②得，，则椭圆的离心率；（2）由（1）椭圆与方程，直线的斜率，不妨设直线的方程，设，，，，，整理得：，则△，解得：，，，，由到的距离，则的面积，当且仅当时，取等号，即，则直线的方程．6．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点（不同于点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，则①，又过点，所以，解得，由①可得，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）可知，点，设，，，，联立方程组，可得，所以，所以，，因为，所以，整理可得，，所以，化简整理可得，，解得或，若，则过点，则，与点重合，不符合题意，所以，故存在定值，使当变化时总成立．7．如图，已知椭圆经过点，离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①②由①②得，，，故椭圆的标准方程为．（4分）（Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，设的斜率为，则直线的方程为③．（5分）代入椭圆方程，整理得．（6分）设，，，，则有④．（7分）在方程③中，令得，，从而，，．（9分）又因为、、共线，则有，即有，所以⑤将④代入⑤得，（12分）又，所以，即，，成等差数列．．（13分）8．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为．（1）求椭圆的方程；（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线为原点）的斜率的取值范围．【解答】解：（1）由已知有，又，可得，设直线的方程为，由圆心到直线的距离公式可得，，故所求的椭圆方程为；（2）设点的坐标为，直线的斜率为，联立消去整理，可解得或．再设直线的斜率为，再联立①当时，故得②当时，故得综上直线的斜率的取值范围．9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，（1）求抛物线的方程；（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，，满足，的的坐标为，，在抛物线上，所以，即，，解得，所以抛物线的方程为：；（2）设，，，，，，则，，直线的斜率，则直线的方程为：，即①，同理可得直线的方程整理可得②，将，分别代入①，②的方程可得，消可得，易知直线，则直线的方程为：，即，故，所以，因此直线恒过定点．10．设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段的中点．（1）若是正三角形为坐标原点），求此三角形的边长；（2）若，求直线的方程；（3）试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）【解答】解：（1）设的边长为，则，，，；（2）设直线，时，，符合题意；时，方程联立可得，设，，，，则，，，，，，，△，，，，舍去，综上所述，直线的方程为，；（3）时，直线有4条；，，时，2条；，，1条．11．如图，已知椭圆与圆在第一象限相交于点，椭圆的左、右焦点，都在圆上，且线段为圆的直径．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，且直线与轴相交于点，为线段的中点，为坐标原点，若，求的最大值．【解答】解：（1）圆的圆心为，半径为，由题意可得，，由中位线定理可得，即，由椭圆的定义可得，即，又，即为，解答，，则椭圆方程为；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，可得，设，，，，可得：，，由中点坐标公式可得，，，由，可得，即，即有的坐标为，，，又，即有，当，即，时，取得最大值．12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴．（1）求椭圆的方程；（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值．【解答】解：（1）点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，，将点坐标代入椭圆方程可得，又，联立可解得，，椭圆的方程为；（2）设切点坐标为，则．整理，得．，设，，，，联立，可得，△．．的中点坐标为，的垂直平分线方程为，令，得，即，．，，当且仅当时取得等号．直线的斜率的最小值为．13．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点，线段的中点为，直线与直线的交点为．判断是否为定值．若是，求出这个定值，若不是，说明理由．【解答】解：（1）设过点且与直线垂直的直线为，则，解得，即，由，解得，即圆心坐标为，所以半径，所以圆的方程为．（2）当直线的斜率存在时，设过点的直线为，所以，消去得，设，、，，则，，所以，所以的中点，由解得，即，所以，，所以；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，解得或，即、，所以，所以，又解得，即，所以，所以，综上可得．14．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．（1）圆上点，处的切线方程为．理由如下：．（2）椭圆上一点，处的切线方程为；（3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，如图，则直线的方程是．这是因为在，，，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，化简得△得．若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为．（5）抛物线上一点，处的切线方程为；（6）抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，分别过点，作抛物线的两条切线和，设，，，，则直线的方程为．直线的方程为，设和相交于点．则①点在以线段为直径的圆上；②点在抛物线的准线上．【解答】解：（1）圆上点，处的切线方程为．理由如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，所以，又过点，，由点斜式可得，，化简可得，，又，所以切线的方程为；②若切线的斜率不存在，则，此时切线方程为．综上所述，圆上点，处的切线方程为．（3）在，，，两点处，椭圆的切线方程为和，因为两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程为；（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，可得，由△，可得，因为，则，所以式中关于的二次方程有两个解且其乘积为，则，可得，所以圆的半径为2，且过原点，其方程为．故答案为：（1），理由见解析；（3）；（4）．15．如图1，在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，、是左、右焦点．（1）已知椭圆内有一点，在椭圆上有一动点，则求的最大值和最小值分别是多少？（2）如图1，若直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，设过点垂直于的直线为．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．（3）如图2，若直线过左焦点交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过两个定点．（4）如图3，若，是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上除，外的任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为为定值．（5）如图4，若动直线与椭圆有且只有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．（6）如图5，若过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点．试探究：线段上是否存在点使得，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．（7）如图6，若点为抛物线上的动点，设为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的？①点在椭圆上；②点为的重心，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设为椭圆的左焦点，连结，作过、的直线交椭圆于、两点，如图所示中，，，，可得，．由椭圆的定义，得，由平面几何知识，得，当与重合时，达到最大值；当与重合时，达到最小值．由，可得的最大值为，最小值为．的取值范围为，．（2）设，，设，，，则，，，，三点共线，，得，设直线的斜率为，直线的斜率为，则直线的方程为，，即．所以直线过定点．（3）证明：设，，，，，代入椭圆方程，整理，得，，，，，，，设与轴交于点，以线段为直径的圆与轴交于点，，则，，，点，的坐标为，，以线段为直径的圆过轴上的两个定点和．证明：设、是椭圆上关于原点对称点，设，，则，，（4）设点坐标为，则，．即，，为定值．（5）将直线的方程代入椭圆的方程中，得．由直线与椭圆仅有一个公共点知，△，化简得：．设，，法一：当时，设直线的倾斜角为，则，，，，当时，，，．当时，四边形是矩形，．所以四边形面积的最大值为．法二：，．．四边形的面积，．当且仅当时，，故．所以四边形的面积的最大值为．（6）存在这样的点符合题意．设线段的中点为，，，，，，，直线的斜率为，注意到，则直线的方程为，由消去得：，所以，故，．又点在直线上，所以，由可得，，，整理得，所以，在线段上存在点符合题意，其中．（7）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设，由条件①知，由条件②得，又因为点，所以即，故，解之得或（舍，当时，解得不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在．16．已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，．如图所示．（1）求抛物线的焦点坐标；（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明