平面向量-冲刺985优等生拔高系列讲义-专治各种学霸不服

第页《冲刺“985”优等生拔高讲义》——（教师版本）专治学霸各种不服平面向量版快目录问题一平面向量基本定理的应用问题 2问题二平面向量中的范围、最值问题 15问题三平面向量解析几何中的应用 28问题四高考题中向量数量积的若干种求法 53问题一平面向量基本定理的应用问题平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现,它很好的体现了数学知识间的联系与迁移,具体到平面向量基本定理,又在向量这部分知识中占有重要地位,是向量坐标法的基础,是联系几何和代数的桥梁,本文从不同角度介绍定理的应用．一、利用平面向量基本定理表示未知向量平面向量基本定理的内容：如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2,平面内选定两个不共线向量为基底,可以表示平面内的任何一个向量．【例1】如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且,若,则（）A. B. C. D.【分析】平面向量基本定理实质上是“力的分解原理”,过点C分别作直线的平行线,分别与直线相交,利用向量加法的平行四边形法则和平面向量共线定理将用表示．【点评】利用平面向量基本定理表示未知向量时,向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及必要的平面几何知识是必要的．【小试牛刀】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】在中,若点满足,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由,得,因此,因此,故答案为D．二、利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题．【例2】【2016届浙江省绍兴市一中高三9月回头考】已知向量满足,若为的中点,并且,则的最大值是（）A．B．C．D．【分析】首先利用已知条件建立适当的直角坐标系,并写出点的坐标,然后运用向量的坐标运算计算出点的坐标,再由可得所满足的等式关系即圆的方程,设,将其代入上述圆的方程并消去得到关于的一元二次方程,最后运用判别式大于等于0即可得出所求的答案．【点评】若题中有互相垂直的单位向量,大多可建立坐标系,转化为代数问题.【小试牛刀】如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设向量【答案】三、三点共线向量式设是共线三点,是平面内任意一点,则,其特征是“起点一致,终点共线,系数和为1”,利用向量式,可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值．【例3】如图所示,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且,则的值为.【分析】g(x)在区间(－2,－1)内存在单调递减区间可转化为在区间(－2,－1)有解,且不是唯一解,参变分离为,只需求右侧函数的最大值,再检验等号．【点评】本题实质是不等式的有解问题,可先参变分离,转化为求函数的最值问题,但是需注意因为函数单调是对于某一区间而言的,故还需检验解不是唯一．【小试牛刀】若点M是ABC所在平面内一点,且满足：.（1）求ABM与ABC的面积之比.（2）若N为AB中点,AM与CN交于点O,设,求的值.解（1）由可知M、B、C三点共线NNACBOM如图令即面积之比为1：4（2）由由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线四、平面向量基本定理在解析几何中的应用【例4】【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】设双曲线的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若,且,则该双曲线的渐近线为（）A．B．C．D．【分析】过双曲线的右焦点并与轴垂直的直线,与渐近线的交点坐标为代入向量运算得到点的坐标,再代入双曲线方程求出离心率,从而渐近线方程可求．【点评】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性.【小试牛刀】【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】已知是双曲线（,）的左顶点,、分别为左、右焦点,为双曲线上一点,是的重心,若,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．与的取值有关【答案】B【解析】因为,所以,所以,即,所以,故选B．【迁移运用】1.如图,在平行四边形中,,,,则（）(用,表示)A．B．C．D．【答案】D【解析】.2．设向量,若(tR),则的最小值为（）A．B.1C.D.【答案】D【解析】由已知得,则,在对称轴处取到最小值．3.【2016届广西武鸣县高中高三8月月考】直线过抛物线的焦点,且交抛物线于两点,交其准线于点,已知,则（）A.2B.C.D.4【答案】C【解析】过A,B分别作准线的垂线交准线于E,D.因为,所以,且,设,则,根据三角形的相似性可得,即,解得,所以,即,所以,选C.4．已知是两个单位向量,且=0．若点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,则（）A．B．CD．【答案】C【解析】以原点,向量所在直线为轴,建立平面直角坐标系,因为∠AOC=30°,设点的坐标为,由得,．5．在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,＝λ＋μ,则λ＋μ的值为()A.B.C.D.1【答案】A【解析】∵M为边BC上任意一点,∴可设＝x＋y(x＋y＝1)．∵N为AM中点,∴＝＝x＋y＝λ＋μ.∴λ＋μ＝(x＋y)＝.6.已知,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则的面积是（）A．B．2C．D．4【答案】D【解析】因为,所以.设中点为,则,则.在直角三角形中斜边,所以.故D正确.7.过坐标原点O作单位圆的两条互相垂直的半径,若在该圆上存在一点,使得（）,则以下说法正确的是（）A．点一定在单位圆内B．点一定在单位圆上C．点一定在单位圆外D．当且仅当时,点在单位圆上【答案】B．【解析】使用特殊值方法求解．设．在圆上,在单位圆上,故选B．8.在平面上,⊥,||=||=1,=+．若||<,则||的取值范围是()A．(0,]B．(,]C．(,]D．(,]【答案】D【解析】因为⊥,所以可如图建立直角坐标系,设O(x,y),||=a,||=b,因为=+,所以P(a,b)因为||=||=1,所以由知,点O在以点（a,0)为圆心,1为半径的圆上,所以同理由得,．所以．又由得,而由可得,,即,所以．综上所述,即．9.在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线与圆相交于两点,．若点在圆上,则实数（）A．B．C．D．【答案】C10.如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点．若,则的取值范围是．【答案】【解析】如图建立直角坐标系,设此扇形半径为1,,所以,由圆的参数方程可知,因为,所以,则有,解得,则,,以下用导数方法求解Y函数的最值情况,因为,当时,则,即Y函数在时是单调递减的,所以当时,,当时,,综上所述,的取值范围是.11.如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内（含边界）的动点,设,则的最大值等于【答案】【解析】如图建立直角坐标系．三角形CDB中的点x,y满足不等式组．又因为．所以．将代入可得．由图可知,目标函数过点时在轴上的截距最大,即的最大值为．12.（2015北京理13）在中,点,满足,.若,则；.【答案】,【解答】在中,点满足,点满足,则,因此,.

问题二平面向量中的范围、最值问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．一、平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量和,它们的夹角为,把数量叫做和的数量积(或内积),记作.即=,规定,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即=；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【2015河北邯郸摸底】在边长为2的等边三角形中,是的中点,为线段上一动点,则的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量分别表示,结合已知条件设||（）,将用变量表示,进而转化为二次函数的值域问题．【点评】将用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性．【小试牛刀】【2015福建高考试题理9】已知,若点是所在平面内一点,且,则的最大值等于（）.A．13B．15C．19D．21【答案】A【解析】以点为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,即,所以,,因此．由题可得,所以,所以的最大值等于13,当,即时,等号成立．故选A．二、平面向量模的取值范围问题设,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】【2015.浙江台州中学】已知向量满足与的夹角为,,则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设；以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系,∵与的夹角为,则A（4,0）,B（2,2）,设C（x,y）∵,∴x2+y2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离；∵圆心到B的距离为,∴的最大值为,故选：D．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2016届山西省山西大学附中高三10月月考】已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C三、平面向量夹角的取值范围问题设,,且的夹角为,则．【例3】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为（）A.B.C.D.【分析】将表示为变量的二次函数,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件,得关于夹角的不等式,解不等式得解．【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】非零向量满足=,,则的夹角的最小值是．【答案】【解析】由题意得,,整理得,即,,夹角的最小值为四、平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】【2015.山东潍坊市期中】已知,,且与的夹角为锐角,则的取值范围是．【分析】与的夹角为锐角等价于,且与不共线同向,所以由,得,再除去与共线同向的情形．【解析】由于与的夹角为锐角,,且与不共线同向,由,解得,当向量与共线时,得,得,因此的取值范围是且．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是,而三角形内角范围是,向量夹角是锐角,则且,而三角形内角为锐角,则．【小试牛刀】【2016届江西省南昌二中高三上学期第三次考试】设向量、满足：,,的夹角是,若与的夹角为钝角,则的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【迁移运用】1．【2015-2016学年福建三明一中高二上第二次月考】已知,,,点在直线上运动,则当取得最小值时,点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设,则因为,所以由点在直线上可得：存在实数,使得,则,所以,所以,根据二次函数的性质可得当时,取得最小值,此时,故应选．2．【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在中,为中线上一个动点,若,则的最小值是（）A．2B．-1C．-2D．-4【答案】C3．【2016届湖南师范大学附中高三上学期月考】已知的面积为1,为直角顶点．设向量,,,则的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】以为原点,直线为轴建立直角坐标系．由已知,设,则点,,,．从而,．所以,当且仅当时取等号；所以的最大值为1,选A．4．【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】若均为单位向量,,,则的最大值是（）A．1B．C．D．２【答案】D【解析】因为,所以,即,而,所以,所以,即,所以,所以,故应选．5．【2016届陕西省商洛市商南高中高三上第二次模拟】已知向量,满足：||=3,||=1,|﹣2|≤2,则在上的投影长度的取值范围是（）A．[0,]B．（0,]C．[,1]D．[,1]【答案】D6．【2016届宁夏银川一中高三上学期第三次月考】已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（）A．1B．2C．D．【答案】C【解析】设与的夹角为,由于,是平面内两个互相垂直的单位向量,所以,由得,即,所以,最大值为,故选C．7.已知向量,则的最大值,最小值分别是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知易得,,,由,,即．故选D．8．已知是单位向量,.若向量满足（）A．B．C．D．【答案】A9．设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于________.【答案】2【解析】此题考查了向量中最常用的一个结论,即,很多问题中要求向量的模都是通过求向量的平方来求解的.此题中利用求出,然后求出的表达式,最后利用函数最值的求法即可求出答案；即由已知得到：,设的最大值为4,所以答案是210.如图,边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在轴,轴正半轴上移动,则的最大值是．【答案】211.【2016届福建省厦门一中高三上学期期中】平面上四点满足,则面积的最大值为．【答案】【解析】由题意,,所以,由余弦定理得,,∴D点在以A为圆心,6为半径的圆上,又,得,故.如图当AD在BC边高的上方且共线时,取最大.12．【2016届浙江省慈溪中学高三上学期期中】已知非零向量,,满足,,,则的最小值是,最大值是．【答案】,．【解析】根据题意可知,,∴的最小值是,最大值是．13.【2015.河南顶级名校】设O是的三边中垂线的交点,分别为角对应的边,已知,则的范围是___________．【答案】【解析】设O是△ABC的三边中垂线的交点,故O是三角形外接圆的圆心,如图所示,延长AO交外接圆于D．∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=∠ABD=90°．∴,,∴（∵）.∵,解得,令,∴当时,取得最小值.又,∴,即的取值范围是.14（2015天津高考理14）在等腰梯形中,已知,,,,动点和分别在线段和上,且,,则的最小值为.【答案】15.如图,在等腰直角三角形中,,是的重心,是内的一点（含边界）,则的最大值为_________.【答案】4【解析】当向量在上射影最长是,最大,由图可知,当在点时,由于三角形为等腰直角三角形,因此,由重心性质得,在三角形中,.16．△的面积满足,且,与的夹角为,则的取值范围____．【答案】17.在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是________．【答案】．【解析】如图建立平面直角坐标系,不妨设,∵,∴,同理,∴,,∴,问题三平面向量解析几何中的应用向量具有代数与几何形式的双重身份,平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势,平面向量在解析几何的应用非常广泛,通常涉及长度、角度、垂直、平行、共线、三点共线等问题的处理,其目标就是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算,本文从以下几个方面加以阐述．一、利用向量相等的关系,把几何问题代数化两向量相等当且仅当两个向量的长度相等、方向相同,由于向量坐标的唯一性,故两个向量相等的充要条件是坐标对应相等．【例1】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】椭圆,作直线交椭圆于两点,为线段的中点,为坐标原点,设直线的斜率为,直线的斜率为,．（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与轴交于点,且满足,当的面积最大时,求椭圆的方程．【分析】（1）设,,并分别代入椭圆方程中,然后两式相减,利用直线斜率公式求得,从而求得离心率；（2）设椭圆的方程为：,直线的方程为：,然后联立椭圆与直线的方程得到关于的二次方程,然后由,及利用韦达定理得出的表达式,从而利用基本不等式求得椭圆的方程．【解析】（1）设,,代入椭圆的方程有,两式相减：,即,又,联立两个方程有,解得：．当且仅当时,等号成立,此时,代入,有成立,所以所求椭圆的方程为：．【点评】利用向量相等法解题,要注意以下两点：1、已知向量起点坐标和终点坐标,则向量坐标为终点坐标减去起点坐标；2、向量相等的充要条件．【小试牛刀】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率等于.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线交椭圆C于A,B两点,交y轴于M点,若,求证为定值.【解析】（Ⅰ）根据题意得：,解得,所以椭圆C的方程为：（Ⅱ）椭圆C的右焦点F（2,0）,根据题意可设：,则M（0,-2k）,令,由得：所以且,由得所以,所以．二、利用向量垂直的充要条件,巧妙化解解析几何中的垂直问题两个非零向量垂直的充要条件是,如,,则．【例2】设F1,F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,则点P的横坐标为()A．1B.C．2D.【分析】由已知条件,,F1,F2坐标可求,设,利用列方程,得关于的方程,又点P在椭圆＋y2＝1上,则,联立求．【解析】由已知得,且设,则有：由PF1⊥PF2得①且代入①得：；故选D．【点评】解析几何中的垂直往往利用直线斜率关系处理,但利用斜率要考虑斜率是否存在,有时需要讨论,若把垂直问题,转化为数量积为零可以避开这个问题,但是要注意以下两点：1、充分挖掘题中垂直的条件；2、要善于寻找向量坐标．【小试牛刀】【2016届广西武鸣县高中高三月考】已知椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称．（1）若点的坐标为,求的值；（2）若椭圆上存在点,使得以线段为直径的圆过原点,求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意,是线段的中点,因为A（－1,0）,P,所以点M的坐标为由点M在椭圆上,所以,解得m=（2）解：设则,且以线段为直径的圆过原点则,OP⊥OM,即,所以=所以（或：导数法）三、利用向量平行的充要条件,灵活转换解析几何中的平行或共线问题与非零向量平行的充要条件是存在唯一实数,使得,若,,则．【例3】（1）求椭圆C的方程；（2）点,在线段上取一点使得,试判断当直线运动时,点是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线,若不在请说明理由.【分析】由已知条件得三点共线,三点共线,由,故可设,,其中两点是直线与椭圆的交点,所以设,考虑根与系数关系,设,带入向量式,利用向量相等的充要条件,得其坐标间的关系并结合消参技巧得,故点R在定直线上．【解析】（1）是边长为的正三角形,则,故椭圆C的方程为.(2)直线MN的斜率必存在,设其直线方程为,并设.联立方程,消去得,则,由题意可设,,由得,故.设点R的坐标为,则由得,解得.又,,从而,故点R在定直线上.【点评】利用向量共线可以将解析几何中的三点共线或者平行问题代数化,利用向量相等的充要条件是联系的桥梁,同时要注意设而不求技巧的体现．【小试牛刀】设椭圆的左右焦点分别为、,是椭圆上的一点,,坐标原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点,,连接QN的直线交轴于点,若,求直线的斜率．【解析】（1）由题设知由于,则有,所以点的坐标为故所在直线方程为所以坐标原点到直线的距离为又,所以解得：所求椭圆的方程为四、利用向量夹角,合理处理解析几何中的角度问题两个非零向量夹角范围为,由数量积定义可以推出,当时,夹角为锐角；当时,夹角为钝角,所以当排除和的情况,的范围与三角形内角范围一致,利用向量夹角可以灵活处理解析几何中的角的问题．【例4】已知抛物线,为抛物线的焦点,为抛物线上的动点,过作抛物线准线的垂线,垂足为．（1）若点与点的连线恰好过点,且,求抛物线方程；（2）设点在轴上,若要使总为锐角,求的取值范围．【分析】(1)结合平面几何知识易得点为的中点,则由中点坐标公式得,带入抛物线方程求；（2）就是的夹角,总为锐角且,设点,将几何问题代数化,转化为代数中的恒成立问题求解．【解析】（1）由题意知：,,为的中点,,且点在抛物线上,代入得所以抛物线方程为．（1）若,即时,只要使成立,整理得：,且,所以．（2）若,即,只要使成立,得所以由（1）（2）得的取值范围是且．【点评】解析几何中的角往往会用到正弦定理或余弦定理以及直线斜率等,但是因为种种限制因素,利用向量处理有“柳暗花明又一村”的感觉,但是注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是,而三角形内角范围是,向量夹角是锐角,则且,而三角形内角为锐角,则．【小试牛刀】已知圆C的圆心在坐标原点,且与直线相切（1）求直线被圆C所截得的弦AB的长．（2）过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线,切点分别为M,N求直线MN的方程（3）若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P,Q,若∠POQ为钝角,求直线l纵截距的取值范围．【解析】（1）由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径,,所以圆的标准方程为：所以圆心到直线的距离因为为钝角,所以,即满足,且与不是反向共线,又,所以由（3）（4）得,满足,即,当与反向共线时,直线过原点,此时,不满足题意,故直线纵截距的取值范围是,且向量在解析几何中的应用,尤其是在处理角度、长度、垂直、共线等方面显示出更多的优势,利用向量坐标是将几何问题坐标化的桥梁．【迁移运用】1．【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】已知两个动点、和一个定点均在抛物线上（、与不重合）.设为抛物线的焦点,为其对称轴上一点,若,且、、成等差数列.（Ⅰ）求的坐标（可用、和表示）；（Ⅱ）若,,、两点在抛物线的准线上的射影分别为、,求四边形面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设,则,,,又,且,,代入可得,又由成等差数列得,故,所以.（Ⅱ）由由焦半径公式得,得,故,,所以,且.又,则,,,注意到,得,,所以四边形面积的取值范围为.2．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】如图,已知椭圆C的方程为,双曲线的两条渐近线为,过椭圆C的右焦点F作直线,使交于点P,设与椭圆C的两个焦点由上至下依次为A,B．（1）若的夹角为60,且双曲线的焦距为4,求椭圆C的方程；（2）若,求椭圆C的离心率．【答案】（1）；（2）．（2）因为,所以直线的方程为因为直线的方程为,联立直线的方程解得点因为设点其中则有（）=解得因为点在椭圆上,所以即等式两边同除以得代入,化简得解得故椭圆的离心率为3．【2016届云南师范大学附属中学高三月考】如图,过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M,N两点,当平行于x轴和垂直于x轴时,被椭圆所截得的线段长均为.（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点A不同的定点B,使得对任意过点的动直线都满足？若存在,求出定点B的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）存在点B的坐标．【解析】（Ⅰ）由已知得,点在椭圆上,所以,解得,所以椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l平行于x轴时,则存在y轴上的点B,使,设；当直线l垂直于x轴时,,若使,则,有,解得或．所以,若存在与点A不同的定点B满足条件,则点B的坐标只可能是．下面证明：对任意直线l,都有,即．当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立；当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为．设M,N的坐标分别为,由得,其判别式,所以,,因此,．易知点N关于y轴对称的点的坐标为又,,所以,即三点共线,所以．故存在与点A不同的定点,使得．4．【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】椭圆的左、右焦点分别是,过斜率为1的直线与椭圆C相交于A,B两点,且．（1）求椭圆的离心率；（2）设点,,求椭圆C的方程．【答案】（1）椭圆的离心率为；（2）椭圆C的方程为．【解析】（1）设,则由知：①,代入椭圆C的方程,整理得,②③由①②③得：,故．（2）由（1）,设AB中点为,则,．又,得,解得,,故椭圆C的方程为．5．已知分别是椭圆的左、右焦点,其左准线与x轴相交于点N,并且满足.设A、B是上半椭圆上满足的两点,其中.（1）求此椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率的取值范围.【解析】（1）由于解得从而所求椭圆的方程是（2）三点共线,而点的坐标为,设直线AB的方程为由消去得,即根据条件可知解得设,则根据韦达定理得又由从而消去令由于所以.上是减函数.从而,解得,而,因此直线AB的斜率的取值范围是6．已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足（O为坐标原点）,求实数的取值范围（2）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设将直线方程代入椭圆方程得：∴∴设,则当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,成立,故,t=0符合题意.当时得∴将上式代入椭圆方程得：整理得：由知所以7．已知点是椭圆的右焦点,点、分别是轴、轴上的动点,且满足．若点满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点,直线、与直线分别交于点、（为坐标原点）,试判断是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由．（2）（法一）设直线的方程为,、,则,.由,得,同理得．,,则.由,得,.则.因此,的值是定值,且定值为.（法二）①当时,、,则,．由得点的坐标为,则．由得点的坐标为,则．.②当不垂直轴时,设直线的方程为,、,同解法一,得.由,得,．则.因此,的值是定值,且定值为.8.已知A、B是椭圆上的两点,且,其中F为椭圆的右焦点.（1）当时,求直线AB的方程;（2）设点,求证:当实数变化时,恒为定值.【解析】（1）由已知条件知,直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时,可设,代入椭圆方程,并整理得.设,由根与系数的关系得,.又由得,所以,.于是,解之得.故直线AB的方程为.（2）为定值.（经检验,当与轴重合时也成立）9.平面内动点P(x,y)与两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之积等于,若点P的轨迹为曲线E,过点直线交曲线E于M,N两点．（Ⅰ）求曲线E的方程,并证明：MAN是一定值；（Ⅱ）若四边形AMBN的面积为S,求S的最大值【解析】（Ⅰ）设动点P坐标为,当时,由条件得：,化简得曲线E的方程为,,4分（说明：不写的扣1分）由题可设直线的方程为,联立方程组可得,化简得：设,则,又,则,所以,所以的大小为定值10.如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的短轴长.与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点,直线分别与相交于点.（Ⅰ）求、的方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）记的面积分别为,若,求的取值范围.【解析】（Ⅰ）又,解得,.（Ⅱ）依题意有,设直线,则,有.（Ⅲ）设直线；,解得或,同理可得.解得或,,同理可得,即.11.已知椭圆的离心率为,过顶点的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆上且满足,求直线的斜率的值.【解析】(Ⅰ)因为e=,b=1,所以a=2,故椭圆方程为.4分12.设分别是椭圆的左,右焦点.（1）若是椭圆在第一象限上一点,且,求点坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同两点,且为锐角（其中为原点）,求直线的斜率的取值范围.【解析】（1）依题意有,所以,设,则由得：,即,又,解得,因为是椭圆在第一象限上一点,所以.（2）设直线与椭圆交于不同两点的坐标为、,将直线：代入,整理得：（）,则,,因为为锐角,所以,从而整理得：,即,解得,且（）方程必须满足：,解得,因此有,所以直线的斜率的取值范围为.13．已知点A（－1,0）,B（1,－1）和抛物线.,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.（1）证明:为定值;（2）若△POM的面积为,求向量与的夹角；(3)证明直线PQ恒过一个定点.【解析】（1）设点、M、A三点共线,(2)设∠POM=α,则由此可得tanα=1.又(3)设点、B、Q三点共线,即即由（*）式,代入上式,得由此可知直线PQ过定点E（1,－4）.

问题四高考题中向量数量积的若干种求法平面向量的数量积是向量知识中的重要内容,考题中往往会涉及到求值或者取值范围的小题或大题,是高考题的热点和重点,那么如何求平面向量数量积呢？本文从三个方面予以阐述,以期给同学们启发．一、利用“定义”求平面向量数量积,根据几何或代数关系求非零向量的模和夹角是前提.【例1】【2015四川绵阳市高三一诊】如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则＝（）（A）（B）（C）3（D）－3【分析】根据正六边形的几何特征易求||,||,以及两向量夹角,但是要注意起点一致,代入数量积定义可求．【解析】根据正六边形性质,有∠ADB＝30°,于是向量与所成角为150°,且||＝2,||＝,所以,＝＝2××（－）＝－3,选D．【点评】利用定义求两个非零向量数量积,关键要搞清向量的数量积和模,尤其在求向量夹角时,要判断其起点是否共点．【小试牛刀】【2015江西南昌】若等腰△ABC底边BC上的中线长为1,底角B＞60º,则·的取值范围是______．【答案】（－1,－）【解析】因为等腰△底边上的中线长为,底角,所以,所以,因为,所以,所以,又,所以,所以,所以,又因为,所以,所以,所以；故答案为：．二、利用“坐标”求平面向量数量积设,,则,用此法求平面向量数量积时,必须先建立恰当的平面直角坐标系,把向量坐标化,特别注意,当遇到特殊三角形或四边形时可以多考虑建系,以达到事半功倍的效果．【例2】【2015河南八校】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,a=b=3,点P是边AB上的一个三等分点,则=()A.0B.6C.9D.12【分析】由已知条件可求△ABC的高,和底边的长,根据对称关系,以所在的直线为轴,高所在直线为轴建立坐标系,用坐标表示相关点,用坐标求数量积．【解析】过点C作CO⊥AB,垂足为O．如图所示,．∵,∴．∴．∴．取点P靠近点B的三等分点．则．∴．同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6．∴=6．【点评】用坐标法求平面向量数量积可以简化解题过程,坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键．【小试牛刀】【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】已知是坐标原点,点,若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C三、利用“分解转化法”求平面向量数量积利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示,在不含坐标系或者不宜建系的情况下,通过向量运算得到解题结果,