第2讲 动量守恒定律及应用 讲义

第

讲 动量守恒定律及应用见学生用书

微知识

动量守恒定律．内容：如果系统不受外力，或者所受外力的合力为零，这个系统的总动量保持不变。．常用的四种表达形式p＝p′，即系统相互作用前的总动量

p

和相互作用后的总动量

p′大小相等，方向相同。(2)Δp＝p′－p＝，即系统总动量的增量为零。(3)Δp＝－Δp，即相互作用的系统内的两部分物体，其中一部分动量的增加量等于另一部分动量的减少量。mv＋mv＝mv′＋mv′，即相互作用前后系统内各物体的动量都在同一直线上时，作用前总动量与作用后总动量相等。．常见的几种守恒形式及成立条件理想守恒：系统不受外力或所受外力的合力为零。近似守恒：系统所受外力虽不为零，但内力远大于外力。分动量守恒：系统所受外力虽不为零，但在某方向上合力为零，系统在该方向上动量守恒。微知识

碰撞．碰撞现象：两个或两个以上的物体在相遇的极短时间内产生非常大的相互作用的过程。．碰撞特征作用时间短。作用力变化快。内力远大于外力。满足动量守恒。．碰撞的分类及特点弹性碰撞：动量守恒，机械能守恒。非弹性碰撞：动量守恒，机械能不守恒。完全非弹性碰撞：动量守恒，机械能损失最多。第

1

页mv＋mv

mv－mv

mv＋mv

mv－mv

mv＋mv

mv＋mv＋m

＋m爆炸过程中内力远大于外力，爆炸的各部分组成的系统总动量守恒。微知识

反冲运动．物体的不同部分在内力作用下向相反方向运动的现象。．反冲运动中，相互作用力一般较大，通常可以用动量守恒定律来处理。一、思维辨析判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。．动量守恒定律中的速度是相对于同一参考系的速度。√．质量相等的两个物体发生碰撞时，一定交换速度。×．系统的总动量不变是指系统总动量的大小保持不变。×．系统的动量守恒时，机械能也一定守恒。×二、对点微练．动量守恒条件多选如图所示，在光滑水平面上有

、B

两个木块，、B

之间用一轻弹簧连接，

靠在墙壁上，用力

F

向左推

B

使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态。若突然撤去力

F，则下列说法中正确的是 A．木块

离开墙壁前，、B

和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒B．木块

离开墙壁前，、B

和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒C．木块

离开墙壁后，、B

和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒．木块

离开墙壁后，、B

和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒解析 木块

离开墙壁前，由

、B

和弹簧组成的系统受墙壁的弹力，属于外力，故系统动量不守恒，但机械能守恒，故选项

A

错，B

对；木块

离开墙壁后，由、B

和弹簧组成的系统所受合外力为零，故系统动量守恒，又没有机械能和其他形式的能量转化，故机械能也守恒，故选项

C

对，

错。答案 BC．动量守恒定律如图所示，用细线挂一质量为

的木块，有一质量为m

的子弹自左向右水平射穿此木块，穿透前后子弹的速度分别为

v和

v设子弹穿过木块的时间和空气阻力不计，木块的速度大小为 A. B.C. mv－mv解析 子弹和木块水平方向动量守恒，mv＝v′＋mvmv－mvB

项正确。第

2

页

，故动能

E′k＝

m v′

动能

E′k＝

m v′

＋

m

v′

＝

J

E

＝

JA.

v

B.

v．碰撞两球

、B

在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，m＝

，mB＝

，v＝

，vB＝

。当

追上

B

并发生碰撞后，两球

、B

速度的可能值是 A．v′＝

，v′B＝

B．v′＝

，v′B＝

C．v′＝－

，v′B＝

．v′＝

，v′B＝

解析

A、

的速度

v′大于

B

的速度

v′B，必然要发生第二次碰撞，不符合实际；C

项中，两球碰后的总 B B k定律；而

B

项既符合实际情况，也不违背能量守恒定律，故

B

项正确。答案 B．爆炸和反冲

含燃料时间内以相对地面的速度

v竖直向下喷出质量为

m

的炽热气体。忽略喷气过程重力和空气阻力的影响，则喷气结束时火箭模型获得的速度大小是 m m －m－m

－m

C. v

m

vm－m解析 根据动量守恒定律

mv＝－mv，得

v＝ v，选项

－m答案 见学生用书

微考点 动量守恒定律的应用核心微讲．动量守恒定律适用条件前提条件：存在相互作用的物体系。理想条件：系统不受外力。实际条件：系统所受合外力为零。近似条件：系统内各物体间相互作用的内力远大于系统所受的外力。方向条件：系统在某一方向上满足上面的条件，则此方向上动量守恒。第

3

页

答案 v．动量守恒定律与机械能守恒定律的比较

答案 v．应用动量守恒定律的解题步骤典例微探【例

】

、B、

m＝m、mB＝m＝m，开始时B、

均静止，

以初速度

v向右运动，

与

B

相撞后分开，B

又与

发生碰撞并粘在一起，此后

与

B

间的距离保持不变。求B

与

碰撞前B

的速度大小。【解题导思】、B

碰撞过程中，、B

组成的系统动量守恒吗？答：守恒。题中的“此后

、B

间距离保持不变”说明了什么？答：最终

、B、

三个木块的速度相同。解析 设

与

B

碰撞后，

的速度为

v，B

与

碰撞前

B

的速度为

vB，B

与

碰撞后粘在一起的速度为

v，由动量守恒定律得对

、B

木块：mv＝mv＋mBvB，①对

B、

木块：mBvB＝mB＋mv，②由最后

与

B

间的距离保持不变可知

v＝v，③联立①②③式，代入数据得

vB＝v。

题组微练．如图所示，水平光滑地面上依次放置着质量均为

m＝

的

块完全相同的长直木板。质量

＝

、大小可忽略的小铜块以初速度

v＝

从长木板左端滑上木板，当铜块滑离第一块木板时，速度大小为

v＝

，铜块最终停在第二块木板上。g

取

，结果保留两位有效数字。求：第一块木板的最终速度。铜块的最终速度。解析 铜块在第一块木板上滑动的过程中，由动量守恒得

v＝v＋mv，得

v＝

。铜块从滑上第一块木板到停在第二块木板上，满足动量守恒v＝mv＋＋mv，得

v≈

。第

4

页

．碰撞后系统总动能不增加，即

E＋E≥E′

．碰撞后系统总动能不增加，即

E＋E≥E′＋E′，或 ＋ ≥ ＋ 。

上表面粗糙和滑块

B

置于

的左端，三者质量分别为m＝

、mB＝

、m＝

。开始时

静止，、B一起以

v＝

的速度匀速向右运动，

与

发生碰撞时间极短后

向右运动，经过一段时间，、B

再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与

碰撞。求

与

发生碰撞后瞬间

的速度大小。解析 因碰撞时间极短，

与

碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间

的速度为

v，

的速度为

v，以向右为正方向，由动量守恒定律得mv＝mv＋mv，

与

B

在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为

vAB，由动量守恒定律得mv＋mBv＝m＋mBvAB，

与

B

达到共同速度后恰好不再与

vAB＝v数据得

v＝

。答案

微考点 碰撞问题核心微讲．碰撞过程中动量守恒，即

p＋p＝p′＋p′。 p p p′ p m m m m．碰撞过程中发生的情况必须符合客观实际，如果甲追上乙并发生碰撞，碰前甲的速度必须大于乙的速度，碰后甲的速度必须小于或等于乙的速度，或甲反向运动。如果碰前甲、乙是相向运动，则碰后甲、乙的运动方向不可能都不改变，除非甲、乙碰撞后速度均为零。典例微探【例

】 多选如图所示，光滑水平面上有大小相同的

、B

两球在同一直线上运动。两球质量关系为

mB＝m，规定向右为正方向，

、B

两球的动量均为

，运动中两球发生碰撞，碰撞后

球的动量增量为－

，则 A．该碰撞为弹性碰撞B．该碰撞为非弹性碰撞C．左方是

球，碰撞后

、B

两球速度大小之比为

∶．右方是

球，碰撞后

、B

两球速度大小之比为

∶【解题导思】第

5

页为

v′、v′B，由题意知p′＝m 为

v′、v′B，由题意知p′＝m v′

＝

，p′

＝m

v′

＝

，解得 ＝B B B v′ m＋mm＋m

m－m m答：

球的速度更大些。如何分析碰撞是否是弹性碰撞？答：计算碰撞前的动能和碰撞后的动能的关系即可判断出结果。解析 由

mB＝m，p＝pB知碰前

vB＜v，若右方为

球，由于碰前动量都为

，即都向右运动，两球不可能相碰；若左方为

球，设碰后二者速度分别v′B。碰撞后

球动量变为

，B

球动量变为

，又

mB＝m，由计算可知碰撞前后

、B

A、C

正确。答案 AC【反思总结】碰撞问题的解题策略．抓住碰撞的特点和不同种类碰撞满足的条件，列出相应方程求解。．可熟记一些公式，例如“一动一静”模型中，两物体发生弹性正碰后的速度满足：v＝ v

、v＝ v

。．熟记弹性正碰的一些结论，例如，当两球质量相等时，两球碰撞后交换速度；当

m≫m，且v＝

时，碰后质量大的速率不变，质量小的速率为

v；当m≪m，且

v＝

时，碰后质量小的球原速率反弹。题组微练．多选

湖南师大附中摸底考试质量为

m，速度为

v

的

球跟质量为

m的静止的

B

球发生正碰。碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，因此碰撞后

B球的速度可能值为 A．v B．vC．v ．v解析 若发生的是完全非弹性碰撞：mv＝mv⇒v＝v可得

B

球的速度

v＝v，即

v≤v′≤v，故

B、C

项正确。答案 BC．如图，在足够长的光滑水平面上，物体

、B、

位于同一直线上，

位于

B、

之间。

的质量为

m，B、

的质量都为

，三者均处于静止状态。现使

以某一速度向右运动，求m

和

之间应满足什么条件，才能使

只与

B、

各发生一第

6

页m＋

m＋ v

≤v

m＋

m＋ v

≤v

，⑥

v

＝ v

，③

v

＝

m

v

。④

v

，⑤v

＝ v

＝解析

向右运动与

发生第一次碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒、机械能

的速度为

v

的速度为

v，

的速度为

v，由动量守恒定律和机械能守恒定律得mv＝mv＋v，① mv＝mv＋ 联立①②式得m－ m＋

m＋

如果

m>，第一次碰撞后，

与

速度同向，且

的速度小于

的速度，不可能与

B

发生碰撞；如果

m＝，第一次碰撞后，

停止，

以

碰前的速度向右运动，

不可能与

B

发生碰撞；所以只需考虑

m<

的情况。第一次碰撞后，

反向运动与

B

发生碰撞。设与

B

发生碰撞后，

的速度为

v，B

的速度为

vB，同样有m－ m－根据题意，要求

只与

B、

各发生一次碰撞，应有 联立④⑤⑥式得m＋mM－≥，⑦解得

m≥

－。⑧另一个解

m≤－

＋

m

和

应满足的条件为

－≤m<。答案

－≤m<

微考点 动量和能量的综合问题核心微讲利用动量和能量观点解题的技巧机械能守恒定律。．若研究对象为单一物体，且涉及功和位移问题时，应优先考虑动能定理。．因为动量守恒定律、能量守恒定律机械能守恒定律

、动能定理都只考查一个物理过程的始末两个状态有关物理量间的关系，对过程的细节不予细究，这正是第

7

页v

＝－

，③μmgd＝

mv－

mvv

＝－

，③μmgd＝

mv－

mv，⑦典例微探【例

】 在粗糙的水平桌面上有两个静止的木块

和

B，两者相距为

d。现给

一初速度，使

与

B

发生弹性正碰，碰撞时间极短。当两木块都停止运动后，相距仍然为

d。已知两木块与桌面之间的动摩擦因数均为

μ，B

的质量为

的

倍，重力加速度大小为

g。求

的初速度的大小。【解题导思】、B

碰撞的过程中满足动量守恒条件吗？答：满足，因碰撞过程时间极短，碰撞力很大，能够满足内力远远大于外力的条件。碰撞前后两木块做什么运动？哪些力在做功？答：均做匀减速直线运动，摩擦力做功使其动能减小。解析 设在发生碰撞前的瞬间，木块

的速度大小为

v；在碰撞后的瞬间，

和

B的速度分别为

v和

v。在碰撞过程中，由能量和动量守恒定律，得

mv＝mv＋m

mv＝mv＋mv，②式中，以碰撞前木块

的速度方向为正。由①②式得v 设碰撞后

和

B

运动的距离分别为

d和

d，由动能定理得μmgd＝mv，④μmgd＝mv22，⑤按题意有

d＝d＋d。⑥设

的初速度大小为

v，由动能定理得 联立②～⑦式，得v

＝μgdv

＝μgd。

⑧答案

μgd第

8

页 m

v

＝

m

v m

v

＝

m

v＋

m

v

，．如图所示，质量为m＝

的小物块

，沿水平面与小物块B

发生正碰，小物块

B

的质量为

m＝

。碰撞前，

的速度大小为

v＝

，B

静止在水平地面上。由于两物块的材料未知，将可能发生不同性质的碰撞，已知、B

与地面间的动摩擦因数均为

μ＝，重力加速度

g

取

，试求碰后

B

在水平面上滑行的时间。解析 ①假如两物块发生的是完全非弹性碰撞，碰后的共同速度为

v，则由动量守恒定律有mv＝m＋mv，碰后，、B

一起滑行直至停下，设滑行时间为

，则由动量定理有μm＋m＝m＋mv，解得

＝

。②假如两物块发生的是弹性碰撞，碰后

、B

的速度分别为

v、vB，则由动量守恒定律有mv＝mv＋mvB，由机械能守恒有

B设碰后

B

滑行的时间为

，则μm＝mvB，解得

＝

。可见，碰后

B

在水平面上滑行的时间

满足．

≤≤

。答案

≤≤

mB＝

的木板

B

m＝

的物块

停在

B

m＝

的小球

用长为

L＝

的轻绳悬挂在固定点

。 现将小球

在最低点与

碰撞作用时间很短为

Δ＝

，之后小球

反弹所能上升的最大高度

＝

。已知

、B

间的动摩擦因数

μ＝，物块与小球均可视为质点，不计空气阻力，g取

。求：小球

与物块

碰撞过程中所受的撞击力大小。为使物块

不滑离木板

B，木板

B

至少多长。第

9

页 μmg·

＝

mv－

μmg·

＝

mv－

m＋mBv， m＝mv，小球

反弹过程，由动能定理：－m＝－mv′，碰撞过程，根据动量定理：－FΔ＝m－v′－mv，联立以上各式解得

F＝×

。小球

与物块

碰撞过程，由动量守恒定律：mv＝m－v′＋mv，当物块

恰好滑至木板

B

右端并与其共速时，所求木板

B

的长度最小。此过程，由动量守恒定律：mv＝m＋mBv，由能量守恒定律： 联立以上各式解得

＝

。答案 ×

见学生用书

“人船模型”素能培养“人船模型”是初态均处于静止状态的两物体发生相互作用的典型模型。．模型概述在水平方向所受合外力为零的两个静止物体一个物体在另一个物体上力的相互作用下同时开始反向运动，这样的力学系统可看作“人船”模型。．模型特点两物体速度大小、位移大小均与质量成反比，方向相反，两物体同时运动，同时停止，遵从动量守恒定律，系统或每个物体动能均发生变化：力对“人”做的功等于“人”动能的变化；力对“船”做的功等于“船”动能的变化。经典考题如图所示，长为

L、质量为

的小船停在静水中，一个质量为

m

的人站在船头，第

10

页v

，则

mv

－v

＝，即v

，则

mv

－v

＝，即

v

/v

＝/m。作用，故系统水平方向动量守恒，设某时刻人对地的速度为

v，船对地的速度为 在人从船头走到船尾的过程中每一时刻系统的动量均守恒，故mv－v＝，即－＝，而

＋＝L，所以

＝

m

L，＝

＋m

L，＝

答案 ＝

m

L， ＝L， ＝＋m＝

＝

＝

。v

＝

＝

，动。由动能定理得＋mμgs＝

＋mv解得

的木板

AB

为

，将木板放在动摩擦因数为μ＝

的粗糙水平面上，一质量为

的人从静止开始以

＝

的加速度从

B

端向

端跑去，到达

端后在极短时间内抱住木桩木桩的粗细不计，求：人刚到达

端时木板移动的距离。人抱住木桩后木板向哪个方向运动，移动的最大距离是多少？g

取

解析 由于人与木板组成的系统在水平方向上受的合力不为零，故不遵守动量

，木板对地的位移为，木板移动的加速度为，人与木板的摩擦力为

，由牛顿定律得

＝＝

；－μ＋mg＝ m－××设人从

B

端运动到

端所用的时间为

，则 ＝

＝；＋＝

，由以上各式解得

＝

，＝

。

端时速度为

v

v，则

v＝＝

由于人抱住木桩的时间极短，在水平方向系统动量守恒，取人的方向为正方向，则

v－mv＝＋mv，得

v＝

。由此断定人抱住木桩后，木板将向左运第

11

页由动能定理得＋mμgs＝

＋mv，答案

R＝由动能定理得＋mμgs＝

＋mv，答案

R解法二：对木板受力分析，木板受到地面的摩擦力向左，故产生向左的冲量，因此，人抱住木桩后，系统将向左运动。由系统动量定理得＋mμgt＝＋mv，解得

v＝

，解得

＝

。答案

．如图所示，质量为

m、半径为R

的小球，放在半径为R，质量为m

的大空心球内。大球开始静止在光滑的水平面上，当小球从图示位置无初速度地沿大球壁滚到最低点时，大球移动的距离是多少？解析 设小球相对于地面移动的距离为

时间为

，则由水平方向动