2023年高考数学(理数)一轮复习课时46《双曲线》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时46《双曲线》达标练习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)=1B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)=1C.eq\f(y2,3)－eq\f(x2,12)=1D.eq\f(y2,12)－eq\f(x2,3)=1LISTNUMOutlineDefault\l3已知F为双曲线C：x2－my2=3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线距离为()A.eq\r(3)B.3C.eq\r(3)mD.3mLISTNUMOutlineDefault\l3已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)LISTNUMOutlineDefault\l3已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(5),2)x，且与椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1有公共焦点，则C的方程为()A.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1LISTNUMOutlineDefault\l3已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A.(1，eq\r(5))B.(1，eq\r(5)]C.(eq\r(5)，＋∞)D.[eq\r(5)，＋∞)LISTNUMOutlineDefault\l3若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=－2x，则该双曲线的离心率是()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.2eq\r(3)LISTNUMOutlineDefault\l3已知P是双曲线eq\f(x2,3)－y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为点A，B，则eq\o(PA,\s\up15(→))·eq\o(PB,\s\up15(→))的值是()A.－eq\f(3,8)B.eq\f(3,16)C.－eq\f(\r(3),8)D.不能确定LISTNUMOutlineDefault\l3已知A是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若存在实数λ使得eq\o(GA,\s\up6(→))=λeq\o(PF1,\s\up6(→))，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.4D.与λ的取值有关LISTNUMOutlineDefault\l3已知O为坐标原点，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)上有A，B两点满足OA⊥OB，且点O到直线AB的距离为c，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(5)＋1,2)B.eq\r(5)C.eq\f(1＋\r(3),2)D.eq\r(3)LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线C1：y2=8ax(a＞0)，直线l的倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是()A.2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.1LISTNUMOutlineDefault\l3已知A，B，P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB=3，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.3LISTNUMOutlineDefault\l3已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(3,2)，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为eq\r(5)，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为()A.x2－eq\f(4y2,5)=1B.eq\f(x2,2)－eq\f(2y2,5)=1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)=1D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)=1二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2＋y2=eq\f(c2,16)的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________.LISTNUMOutlineDefault\l3双曲线T：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)=1(a＞0，b＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则T的实轴长等于__________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知F1(－c,0)、F2(c,0)为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q，R两点(Q在第二象限内)，连接RO(O为坐标原点)并延长交C的右支于点P，若|F1P|=|F1Q|，∠F1PF2=eq\f(2,3)π，则双曲线C的离心率为.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C.解析：由题意，设双曲线C的方程为eq\f(y2,4)－x2=λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则eq\f(22,4)－22=λ，解得λ=－3，所以双曲线C的方程为eq\f(y2,4)－x2=－3，即eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)=1.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A；解析：由题意知，双曲线的标准方程为eq\f(x2,3m)－eq\f(y2,3)=1，其中a2=3m，b2=3，故c=eq\r(a2＋b2)=eq\r(3m＋3)，不妨取F(eq\r(3m＋3)，0)，一条渐近线为y=eq\f(1,\r(m))x，化成一般式即为x－eq\r(m)y=0，由点到直线的距离公式可得d=eq\f(|\r(3)·\r(m＋1)|,\r(1＋－\r(m)2))=eq\r(3)，故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D.解析：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C的方程，得4－eq\f(y2,3)=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF=eq\f(1,2)|PF|·|AP|=eq\f(1,2)×3×1=eq\f(3,2).]LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：根据双曲线C的渐近线方程为y＝eq\f(\r(5),2)x，可知eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5),2)①，又椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9②，根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以选B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则由题意得eq\f(b,a)>2，∴e＝eq\f(c,a)>eq\r(1＋4)＝eq\r(5).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C；解析：由双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±eq\f(b,a)x，且双曲线的一条渐近线方程为y=－2x，得eq\f(b,a)=2，则b=2a，则双曲线的离心率e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(a2＋b2),a)=eq\f(\r(a2＋4a2),a)=eq\f(\r(5)a,a)=eq\r(5).故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A解析：设P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线方程分别是eq\f(x,\r(3))－y=0，eq\f(x,\r(3))＋y=0，所以可取|PA|=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x0,\r(3))－y0)),\r(\f(1,3)＋1))，|PB|=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x0,\r(3))＋y0)),\r(\f(1,3)＋1)).又cos∠APB=－cos∠AOB=－cos2∠AOx=－coseq\f(π,3)=－eq\f(1,2)，所以eq\o(PA,\s\up15(→))·eq\o(PB,\s\up15(→))=|eq\o(PA,\s\up15(→))|·|eq\o(PB,\s\up15(→))|·cos∠APB=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),3)－y\o\al(2,0))),\f(4,3))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))=eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))=－eq\f(3,8).故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A.解析：由题意，可知|PG|=2|GO|，GA∥PF1，∴2|OA|=|AF1|，∴2a=c－a，∴c=3a，∴e=3.]LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A.解析：显然直线OA，OB的斜率均存在，且不为0，过点O向AB作垂线，垂足为H.设直线OA的方程为y=kx(k≠0)，则直线OB的方程为y=－eq\f(1,k)x，与双曲线方程联立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，))得y2=eq\f(k2,\f(1,a2)－\f(k2,b2))，则x2=eq\f(1,\f(1,a2)－\f(k2,b2))，因而|OA|2=eq\f(1＋k2,\f(1,a2)－\f(k2,b2))，同理|OB|2=eq\f(1＋\f(1,k2),\f(1,a2)－\f(1,k2b2))=eq\f(1＋k2,\f(k2,a2)－\f(1,b2))，由|OA|×|OB|=|AB|×|OH|及|OA|2＋|OB|2=|AB|2可得，|OH|=eq\f(|OA||OB|,\r(|OA|2＋|OB|2))，即eq\f(1,|OH|2)=eq\f(1,|OA|2)＋eq\f(1,|OB|2)，因而eq\f(1,c2)=eq\f(\f(1,a2)－\f(k2,b2),1＋k2)＋eq\f(\f(k2,a2)－\f(1,b2),1＋k2)，即eq\f(1,c2)=eq\f(1,a2)－eq\f(1,b2)，又c2=a2＋b2，从而得eq\f(b2,a2)=eq\f(1＋\r(5),2)，所以e=eq\r(1＋\f(b2,a2))=eq\f(\r(5)＋1,2)，故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D；解析：抛物线C1的焦点为(2a，0)，由弦长计算公式有eq\f(8a,sin245°)=16a=16，a=1，所以抛物线C1的标准方程为y2=8x，准线方程为x=－2，故双曲线C2的一个焦点坐标为(－2，0)，即c=2，所以b=eq\r(c2－a2)=eq\r(22－12)=eq\r(3)，渐近线方程为y=±eq\r(3)x，直线l的方程为y=x－2，所以点P(0，－2)，点P到双曲线C2的一条渐近线的距离为eq\f(|－2|,\r(3＋1))=1，选D.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C.解析：由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)=1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)=1，又kPA=eq\f(y2－y1,x2－x1)，kPB=eq\f(y2＋y1,x2＋x1)，所以kPA·kPB=eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))=eq\f(b2,a2)=3，所以离心率e=eq\r(1＋\f(b2,a2))=2，故选C.]LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C；解析：由题意可知e=eq\f(c,a)=eq\f(3,2)，可得eq\f(b,a)=eq\f(\r(5),2)，取一条渐近线为y=eq\f(b,a)x，可得F到渐近线y=eq\f(b,a)x的距离d=eq\f(bc,\r(a2＋b2))=b，在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|=eq\r(|OF|2－|MF|2)=eq\r(c2－b2)=a，由题意可得eq\f(1,2)ab=eq\r(5)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(\r(5),2)，,\f(1,2)ab＝\r(5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(5)，))所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)=1.故选C.二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：2.解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=eq\f(b,a)x，由题意可知该切线方程为y=－eq\f(a,b)(x－c)，即ax＋by－ac=0.又圆(x－a)2＋y2=eq\f(c2,16)的圆心为(a,0)，半径为eq\f(c,4)，则圆心到切线的距离d=eq\f(|a2－ac|,\r(a2＋b2))=eq\f(ac－a2,c)=eq\f(c,4)，又e=eq\f(c,a)，则e2－4e＋4=0，解得e=2.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：8.解析：双曲线的焦点(0,5