函数极限的定义

关于函数极限的定义第一页，共四十页，2022年，8月28日一、函数在有限点处的极限

在上节中，我们讨论了数列的极限.而我们又知道数列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数.那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义.第二页，共四十页，2022年，8月28日引例设函数尽管函数在点

处没有定义，但当无限趋近于1而不等于1时，相应无限趋近于2.第三页，共四十页，2022年，8月28日或定义设函数

在点的某个空心邻域中有定义，如果存在常数

，使得对于任意给定的正数

，总存在正数，对于满足的一切

，都有那么常数

就称作函数

当

时的极限，记为第四页，共四十页，2022年，8月28日函数极限的几何意义对于任意，对满足的一切，都有总存在正数，

第五页，共四十页，2022年，8月28日例函数注1：函数在点

处的极限与函数在这一点是否有定义、或

为多少毫无关系，它所反映的是在则有该点附近的变化趋势.第六页，共四十页，2022年，8月28日经过不等式的变形，得到关系注2:函数

在点

的极限的定义说明了如何去证明其中是一个与

无关的常量.再取，则当函数在点

的极限为的方法：对于考虑时，有：第七页，共四十页，2022年，8月28日此即说明第八页，共四十页，2022年，8月28日例1证明下列极限⑴

证⑴因⑵所以,,取，当时，可使故第九页，共四十页，2022年，8月28日⑵因欲使即所以不妨取此时令则当时，有因而第十页，共四十页，2022年，8月28日例2证明证因所以,,取，当，可使所以第十一页，共四十页，2022年，8月28日例3

证明证

因为能解出不等式，要对

进行适当的控制，为此限定

的变化范围为，此时有所以,,取，当时，可使所以第十二页，共四十页，2022年，8月28日证因例4证明取即所以所以,,取，当时，第十三页，共四十页，2022年，8月28日所以第十四页，共四十页，2022年，8月28日证

因例5设，证明所以,,取，当时，可使所以第十五页，共四十页，2022年，8月28日左右极限考虑函数:是当在该点两侧趋近于

时，函数有一个确定的变化趋势.但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，这就需要分别加以讨论.前面讨论的是函数在某一点

的极限，它反映的第十六页，共四十页，2022年，8月28日该函数在点

两侧的变化趋势是不同的:当

在0的右侧趋近于0时，当

在0的左侧趋近于0时，这就导出左右极限的概念.第十七页，共四十页，2022年，8月28日那么

称作

在处的左极限，记为左极限定义：若当时，使得那么

称作

在处的右极限，记为右极限定义：若当时，使得或或第十八页，共四十页，2022年，8月28日容易证明：例如：定理极限存在的充分必要条件是在点处的左右极限存在并且相等.即存在均存在，且第十九页，共四十页，2022年，8月28日解因例6说明极限不存在.

所以极限不存在.第二十页，共四十页，2022年，8月28日二、函数在无穷远处的极限定义设函数在

时有定义，为常数.①若，，当时，使得则称为函数

在时的极限，记为或②若，，当时，使得则称为函数

在时的极限，记为或第二十一页，共四十页，2022年，8月28日③若，，当时，使得则称为函数

在时的极限，记为或第二十二页，共四十页，2022年，8月28日例7证明

证

因所以,,取，当时，使得所以第二十三页，共四十页，2022年，8月28日例8证明

证

因只要，即所以,,取，当时，使得所以类似可证

第二十四页，共四十页，2022年，8月28日证

因例9证明

所以,,取，当时，使得所以第二十五页，共四十页，2022年，8月28日例10证明

所以,,取，当时，使得证

因当时，则有不等式第二十六页，共四十页，2022年，8月28日所以第二十七页，共四十页，2022年，8月28日三、极限的性质第二十八页，共四十页，2022年，8月28日即：在

的某个空心邻域内有界.定理1(局部有界性)如果极限存在，证

设，由定义，对存在当，即有那么在

的某个空心邻域内，函数有界.第二十九页，共四十页，2022年，8月28日证

设，由定义，对存在当时，有从而定理(有界性)如果极限存在，那么存在取，则对所有的，有使得对所有的，有第三十页，共四十页，2022年，8月28日定理2(极限的保号性)如果，则存在点的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：证

设，由定义，对存在当时，有第三十一页，共四十页，2022年，8月28日定理2’(保号性)如果，则存在正整数当时，有：推论在的某个空心领域中，有且则注意：如果推论的条件改成（严格大于），则不能推出例如时但第三十二页，共四十页，2022年，8月28日证设，则当时，定理3(函数极限与数列极限的关系)则此数列相应的函数值数列收敛，且设存在，又设是函数定义域中的一个任意数列，且第三十三页，共四十页，2022年，8月28日由条件故对，当时，有即因而即第三十四页，共四十页，2022年，8月28日第三十五页，共四十页，2022年，8月28日此定理的一个实际意义是：使其函数值数列收敛到两个不同的值，即如果能够找到自变量的两个不同子列则说明函数在这一点无极限.第三十六页，共四十页，2022年，8月28日所以不存在.例