工程力学(天津大学)第11章答案

第十一章第十一章梁弯曲时的变形第十一章梁弯曲时的变形习题11−1用积分法求下列简支梁A、B截面的转角和跨中截面C点的挠度。CCMel/2EIl/2Cl/2EIl/2Me(a)(b)习题11−1图CCMel/2EIl/2y解：（a）取坐标系如图所示。弯矩方程为：挠曲线近似微分方程为：积分一次和两次分别得：，（a）(b)边界条件为：x=0时，y=0，x=l时，y=0，代入（a）、(b)式，得：梁的转角和挠度方程式分别为：，所以：CCMel/2EIl/2x（b）取坐标系如图所示。AC段弯矩方程为：BC段弯矩方程为：两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：AC段：，（a）(b)BC段：，（c）(d)边界条件为：x1=0时，y1=0，x2=l时，y2=0，变形连续条件为：代入（a）、(b)式、（c）、(d)式,得：梁的转角和挠度方程式分别为：AC段：，BC段：，所以：11−2用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。习题1习题11−2图qBAl（a）MeAl（b）BEIEI qqBAl（a）EIx解：（a）取坐标系如图所示。弯矩方程为：挠曲线近似微分方程为：积分一次和两次分别得：，（a）(b)边界条件为：x=l时，y=0，y'=0，代入（a）、(b)式，得：梁的转角和挠度方程式分别为：，MeAMeAlBEIx（b）取坐标系如图所示。弯矩方程为：挠曲线近似微分方程为：积分一次和两次分别得：（a）(b)边界条件为：x=l时，y=0，y'=0，代入（a）、(b)式，得：梁的转角和挠度方程式分别为：所以：11−3一悬臂梁在BC段受均布荷载作用，如图所示，试用积分法求梁自由端截面C的转角和挠度。EIBEIBqAl/2l/2CxEIBqAl/2l/2C习题11−3图解：取坐标系如图所示。AB段弯矩方程为：BC段弯矩方程为：两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：AB段：，（a）(b)BC段：（c）(d)边界条件为：x1=0时，y1=0，y1'=0，变形连续条件为：代入（a）、(b)式、（c）、(d)式,得：梁的转角和挠度方程式分别为：AB段：，BC段：所以：11−4一外伸梁受均布荷载，如图所示，试用积分法求A、B截面的转角以及C、D截面的挠度。xyxyEIClllqy习题11−4图EIClllq 解：取坐标系如图所示。AB段弯矩方程为：BC段弯矩方程为：两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：AB段：，（a）(b)BC段：（c）(d)边界条件为：x1=0时，y1=0，变形连续条件为：代入（a）、(b)式、（c）、(d)式,得：梁的转角和挠度方程式分别为：AB段：BC段：所以：11−5用积分法求位移时，下列各梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程式？试分别列出积分常数时所需的边界条件和变形连续条件。习题1习题11−5图Cll/2(b)qFq(a)Cl/2ll/2解：（a）分三段。AB、BC、CD段位移分别为y1、y2、y3。则边界条件B点：C点：变形连续条件为：（b）分两段。AB、BC段位移分别为y1、y2。则边界条件A点：B点：变形连续条件为：11−6一简支型钢梁承受荷载如图所示，已知所用型钢为18号工字钢，E=210GPa，M=8.1kN·m，q=15kN/m，跨长l=3.26m。试用积分法求此梁跨中点C处的挠度。qqCCEI习题11−6图l/2l/2MMAB解：取坐标系如图所示。弯矩方程为：挠曲线近似微分方程为：积分一次和两次分别得：（a）(b)边界条件为：x==0=l时，y=0代入（a）、(b)式，得：梁的挠度方程式为：所以：11−7一简支梁受力如图所示，试用叠加法求跨中截面C点的挠度。EIEICa习题11−7图FaaaF解：当右边的F单独作用时，查表得：由对称得：11−8一简支梁承受均布荷载作用，并在A支座处有一集中力偶作用，如图所示，已知：，试用叠加法求A、B截面的转角和跨中截面C的挠度。解：当q单独作用时，当Mq单独作用时，所以：11−9一悬臂梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。EIEIBAql/2l/2C习题11−9图EIC习题11−8图ql/2l/2MAB解：所以：CBEIll/2习题11−10图CBEIll/2习题11−10图qFA解：对AB段，看作在均布荷载和力偶Fl/2作用下的简支梁，则，所以：将BC段看作悬臂梁，固定端处有转角,则所以：则11−11试用叠加法求下述悬臂梁自由端截面的挠度和转角。EIEI习题11−11图EIBAFl/2l/2CM=Fl(a)BAFa(b)al/aF解：（a）当M单独作用时，当F单独作用时，所以：则：解：（b）当C点处的F单独作用时，此时当D点处的F单独作用时，此时所以11−12一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知：l=6m，M=4kN·m，q=3kN/m，，工字钢为20a，钢材的弹性模量E=200GPa，试校核梁的刚度。EIEI习题11−12图qlMMqEI习题11−13图l/2l/2FABBA解：则，所以刚度满足要求。11−13一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知：l=6m，F=10kN，q=4kN/m，，材料许用应力，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢的型号并校核梁的刚度。解：跨中最大弯矩为：取Ⅰ20a，则则，所以刚度满足要求。11−14在下列梁中，指明哪些梁是超静定梁，并判定各种超静定梁的次数。qqF（a）qF（b）q(c)q(d)F习题11−14图q(e)(f)FF解：（a）2次；（b）1次；（c）2次；(d)1次；（e）静定结构；（f）3次。11−15试画出下列各超静定梁的弯矩图。FF(b)2aaABB(a)ll/2MAC习题11−15图qB(e)2aaACF(d)aaFaaAB2a(c)aFaABCEIEIEIEIEIEI 解：（a）该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力FRB。根据该梁的变形条件，梁在B点的挠度应为零，即补充方程式为：由叠加法:（a）式中：yBM为梁在力偶单独作用下引起的B点的挠度（图d），由表格11−1可查得：（b）yBF为梁在FRB单独作用下B点的挠度，同样由表格11−1可查得：（c）将(b)、（c）两式代入式（a），得：（d）由该式可解得：则M图为：（b）该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力FRB。根据该梁的变形条件，梁在B点的挠度应为零，即补充方程式为：由叠加法:（a）式中：yBF为梁在F单独作用下引起的B点的挠度，由表格11−1可查得：（b）yRB为梁在FRB单独作用下B点的挠度，同样由表格11−1可查得：（c）将(b)、（c）两式代入式（a），得：（d）由该式可解得：则M图为：(c)该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力FRB。根据该梁的变形条件，梁在B点的挠度应为零，即补充方程式为：由叠加法:（a）式中：yBF为梁在F单独作用下引起的B点的挠度，由表格11−1可查得：（b）yRB为梁在FRB单独作用下B点的挠度，同样由表格11−1可查得：（c）将(b)、（c）两式代入式（a），得：（d）由该式可解得：则M图为：（d）该梁为三次超静定梁，将A支座化为固定铰支座，解除该支座的转动约束，并施加多余约束反力MA。将B支座化为可动铰支座，解除该支座的转动约束和水平约束，并施加多余约束反力MB和水平力HB，由于水平支反力对位移的影响可忽略不计，所以先不考虑HB，根据该梁的变形条件，梁在A点和B点的转角应为零，即补充方程式为：由叠加法:（a）式中：θAF和θBF为梁在F单独作用下引起的A点和B点的转角，由表格11−1可查得：（b）θAMA和θBMA为梁在MA单独作用下A点和B点的转角，同样由表格11−1可查得：（c）θAMB和θBMB为梁在MB单独作用下A点和B点的转角，同样由表格11−1可查得：（d）将(b)、（c）(d)式代入式（a），得：由上式可解得：则M图如下：（e）该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多余约束反力FRB。根据该梁的变形条件，梁在B点的挠度应为零，即补充方程式为：由叠加法:（a）式中：yBq为梁在q单独作用下引起的B点的挠度，由表格11−1可查得：（b）yRB为梁在FRB单独作用下B点的挠度，同样由表格11−1可查得：（c）将(b)、（c）两式代入式（a），得：（d）由该式可解得：则M图为：11−16一集中力F作用在梁AB和CD连接处，试绘出二梁的弯矩图。已知：EI1=0.8EI2。EIEI1EI2F习题11−16图3a2aABCD解：该梁为一次超静定梁，AC和CD梁的受力图如图所示，其中FC为未知力。变形条件为：二梁在自由端处挠度相等，即：由表格11−1可查得：代入上式解得：则弯矩图为：11−17在下列结构中，已知横梁的弯曲刚度均为EI，竖杆的拉伸刚度均为EA，试求图示荷载作用下各竖杆内力。习题1习题11−17图ECql/2l/2(b)DaqB(a)lACa解：（a）该结构为一次超静定结构，将BC杆的拉力FBC看作多余约束，变形方程为：（a）式中yBA为梁AB在q和拉力FBC共同作用下，B端的挠度。yBC为拉杆BC的伸长量。代入（a）式得：（b）该结构为一次超静定结构，将EC杆的拉力FEC看作多余约束，变形方程为：（a）式中yC为梁AB在q和拉力FEC共同作用下，C点的挠度。yCE为拉杆EC的伸长量。代入（a）式得：11−18梁AB因强度、刚度不够，用同一材料和同样截面的短梁AC加固，试求：二梁接触处的压力FRC。加固前后梁AB的最大弯矩和B点的挠度各减少多少？习题1习题11−18图Fl/2ABCl/2解：AB杆和AC杆的受力情况如图所示。二梁在C点处的挠度相同。即变形条件为：（a）式中yCA为梁AC在FC作用下C点的挠度。yCAB为梁AB的在F和FC共同作用下C点