投资金融之单一指数和多因素模型

单一指数和多因素模型SingleIndexandMultifactorModels第六章马克维茨模型的缺陷：计算量过大.假定分析n种股票,需要计算n个预期值、n个方差以及(n2–n)/2个协方差.相关系数确定或者估计中的误差会导致无效结果.指数模型的优势：大大降低了马克维茨模型的计算量,它把精力放在了对证券的专门分析中.

指数模型以一种简单的方式来计算协方差,证券间的协方差由单个一般因素的影响生成,为市场指数收益所代表,从而为系统风险与公司特有的性质提供了重要的新视角.指数模型的优势Announcements,Surprises,andExpectedReturns任一证券的收益由两部分组成（Thereturnonanysecurityconsistsoftwoparts）.1)预期或一般收益（theexpectedornormalreturn）:thereturnthatshareholdersinthemarketpredictorexpect2)非预期或风险收益（theunexpectedorriskyreturn）:theportionthatcomesfrominformationthatwillberevealed.Announcements,Surprises,andExpectedReturns任何信息的公布可以被分成两个部分，预期到的部分和异常部分（Anyannouncementcanbebrokendownintotwoparts,theanticipatedorexpectedpartandthesurpriseorinnovation）:Announcement=Expectedpart+Surprise.任何公布的信息中预期部分是市场用来形成股票预期收益（E(ri).）的信息（Theexpectedpartofanyannouncementispartoftheinformationthemarketusestoformtheexpectationofthereturnonthestock,E(ri).）异常部分是那些影响股票非预期收益（U.）的信息（Thesurpriseisthenewsthatinfluencestheunanticipatedreturnonthestock,U.）有关信息的例子

ExamplesofrelevantinformationStatisticsChinafigures(e.g.,GNP)AsuddendropininterestratesNewsthatthecompany’ssalesfiguresarehigherthanexpected因素模型

FactorModelsAwaytowritethereturnonastockinthecomingmonthis:实际总收益的构成ri=E(ri)+U=E(ri)+m+eiri

：下个月的实际总收益E（ri

）：实际总收益中的期望收益部分U：实际总收益中的非期望收益部分m：系统性风险ei：非系统性风险公布信息=期望部分+异动部分风险：系统性和非系统性风险

Risk:SystematicandUnsystematic系统性风险会影响到大部分资产Asystematicriskisanyriskthataffectsalargenumberofassets,eachtoagreaterorlesserdegree.非系统性风险只会影响到单一资产或某一小类的资产。非系统性风险可以被分散掉。Anunsystematicriskisariskthatspecificallyaffectsasingleassetorsmallgroupofassets.Unsystematicriskcanbediversifiedaway.系统性风险包括那些一般经济状态的不确定性，如GNP、利率、通货膨胀等。Examplesofsystematicriskincludeuncertaintyaboutgeneraleconomicconditions,suchasGNP,interestrates,orinflation.换句话说，一个公司特定的消息，如金矿开采公司发现黄金，就是非系统性风险。Ontheotherhand,announcementsspecifictoacompany,suchasagoldminingcompanystrikinggold,areexamplesofunsystematicrisk.因素模型的特点作为一种回报率产生过程，因素模型具有以下几个特点。第一，因素模型中的因素应该是系统影响所有证券价格的因素。第二，在构造因素模型中，我们假设两个证券的回报率相关——一起运动——仅仅是因为它们对因素运动的共同反应导致的。第三，证券回报率中不能由因素模型解释的部分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关，也与因素的运动无关。因素模型在证券组合管理中的应用在证券组合选择过程中，减少估计量和计算量刻画证券组合对因素的敏感度如果假设证券回报率满足因素模型，那么证券分析的基本目标就是，辨别这些因素以及证券回报率对这些因素的敏感度。ri=E(ri)+ßßiF+eißi=indexofasecurities’particularreturntothefactorF=somemacrofactor;inthiscaseFisunanticipatedmovement;FiscommonlyrelatedtosecurityreturnsAssumption:abroadmarketindexliketheS&P500isthecommonfactor.单一因因素模模型SingleFactorModel随机误误差项项RANDOMERRORTERMSei被称为为随机误误差项项CANBECONSIDEREDARANDOMVARIABLEDISTRIBUTION:MEAN=0,即E(ei)=0VARIANCE=s2ei任意证证券i的随机机项ei与因素素F不相关关;任意证证券i与证券券j的随机机项ei与ej不相关关,cov(ei,ej)=0表6-1因素模模型数数据年份GDP增长率率A股票回回报率率15.7%14.3%26.419.237.923.447.015.655.19.262.913.04%上图图中中，，横横轴轴表表示示GDP的预预期期增增长长率率，，纵纵轴轴表表示示证证券券A的回回报报率率。。图图上上的的每每一一点点表表示示表表6-1中，，在在给给定定的的年年份份，，A的回回报报率率与与GDP增长长率率的的关关系系。。通通过过线线性性回回归归分分析析，，我我们们得得到到一一条条符符合合这这些些点点的的直直线线:rt=a+βGDPt+et。这这条条直直线线的的斜斜率率β为2，说说明明A的回回报报率率与与GDP增长长率率有有正正的的关关系系。。GDP增长长率率越越大大，，A的回回报报率率越越高高。。在上上图图中中，，零零因因素素是是4%，这这是是GDP的预预期期增增长长率率为为零零时时，，A的回回报报率率。。A的回回报报率率对对GDP增长长率率的的敏敏感感度度β为2，这这是是图图中中直直线线的的斜斜率率。。这这个个值值表表明明，，高高的的GDP的预预期期增增长长率率一一定定伴伴随随着着高高的的A的回回报报率率。。如如果果GDP的预预期期增增长长率率是是5%，则则A的回回报报率率为为14%。如如果果GDP的预预期期增增长长率率增增加加1%————为6%时，，则则A的回回报报率率增增加加2%，或或者者为为16%。在这这个个例例子子里里，，第第六六年年的的GDP的预预期期增增长长率率为为2.9%，A的实实际际回回报报率率是是13%。因因此此，，A的回回报报率率的的特特有有部部分分（（由由ei给出出））为为3.2%。给给定定GNP的预预期期增增长长率率为为2.9%，从从A的实实际际回回报报率率13%中减减去去A的期期望望回回报报率率9.8%，就就得得到到A的回回报报率率的的特特有有部部分分3.2%。市场场模模型型THEMARKETMODEL在实实际际应应用用过过程程中中常常用用证证券券市市场场组组合合来来作作为为影影响响证证券券价价格格的的单单因因素素，，此此时时的的单单因因素素模模型型被被称称为为市市场场模模型型。。市市场场模模型型实实际际上上是是单单因因素素模模型型的的一一个个特特例例。。ri=E(ri)+ßßi[rM-E（（rM）]+eirM：市场场组组合合的的实实际际收收益益率率E（（rM）：：市场场组组合合的的期期望望收收益益率率(ri-rf)

= i+ßi(rm-rf)

+eiaRiskPrem（股股票票持持有有期期超超额额收收益益））MarketRiskPremorIndexRiskPremi=thestock’’sexpectedreturnifthemarket’’sexcessreturniszeroßi(rm-rf)=thecomponentofreturnduetomovementsinthemarketindex(rm-rf)=0ei=firmspecificcomponent,notduetomarketmovementsa单一一指指数数模模型型SingleIndexModelLet:Ri=(ri-rf)

Rm=(rm-rf)RiskpremiumformatRi=i+ßi(Rm)

+eiRiskPremiumFormat证券券特特征征线线SecurityCharacteristicLineExcessReturns(i)SCL.................................................ExcessreturnsonmarketindexRi=i+ßßiRm+ei...Ri=αi+ßßiRmJan.Feb...DecMeanStdDev5.41-3.44..2.43-.604.977.24.93..3.901.753.32ExcessMkt.Ret.ExcessGMRet.UsingtheTextExamplefromTable8-5EstimatedcoefficientStderrorofestimateVarianceofresiduals=12.601Stddevofresiduals=3.550R-SQR=0.575ß-2.590(1.547)1.1357(0.309)rGM-rf=+ßß(rm-rf)回归归结结果果RegressionResults市场场风风险险或或系系统统风风险险Marketorsystematicrisk:riskrelatedtothemacroeconomicfactorormarketindex.非系系统统性性风风险险或或公公司司特特有有的的风风险险Unsystematicorfirmspecificrisk:risknotrelatedtothemacrofactorormarketindex.Totalrisk=Systematic+Unsystematic风险险构构成成ComponentsofRisk风险：系系统性和和非系统统性风险险Risk:SystematicandUnsystematic系统性风风险会影影响到大大部分资资产Asystematicriskisanyriskthataffectsalargenumberofassets,eachtoagreaterorlesserdegree.非系统性性风险只只会影响响到单一一资产或或某一小小类的资资产。非非系统性性风险可可以被分分散掉。。Anunsystematicriskisariskthatspecificallyaffectsasingleassetorsmallgroupofassets.Unsystematicriskcanbediversifiedaway.系统性风风险包括括那些一一般经济济状态的的不确定定性，如如GNP、利率、、通货膨膨胀等。。Examplesofsystematicriskincludeuncertaintyaboutgeneraleconomicconditions,suchasGNP,interestrates,orinflation.换句话说说，一个个公司特特定的消消息，如如金矿开开采公司司发现黄黄金，就就是非系系统性风风险。Ontheotherhand,announcementsspecifictoacompany,suchasagoldminingcompanystrikinggold,areexamplesofunsystematicrisk.风险各组组成部分分的衡量量MeasuringComponentsofRiski2=i2m2+2(ei)where;i2=总方差（（totalvariance）i2m2=系统性方方差（systematicvariance）2(ei)=非系统性性方差（（unsystematicvariance）ij=cov(ri,rj)=ijm2随机误差差项eiTHERANDOMERRORTERMSeiTHERANDOMERRORTERMSei显示因素素模型不不能解释释的部分分showsthatthefactormodelcannotexplainperfectly实际收益益和因素素模型预预期的收收益之间间的差异异就是ei（thedifferencebetweenwhattheactualreturnvalueisandwhatthemodelexpectsittobeisattributabletoei）TotalRisk=SystematicRisk+UnsystematicRiskSystematicRisk/TotalRisk=R2ßi2m2/2=R2i2m2/[i2m2+2(ei)]=R2ExaminingPercentageofVariance风险分散散——国际经验验中国股市市的分散散与风险险指数模型型和分散散化IndexModelandDiversification分散化DIVERSIFICATIONUniqueRiskmathematicallycanbeexpressedas分散化DIVERSIFICATION总组合的的风险TOTALPORTFOLIORISKalsohastwoparts:marketanduniqueMarketRisk分散化会会导致市市场风险险的平均均化（diversificationleadstoanaveragingofmarketrisk）UniqueRisk越是分散散化的组组合，其其非系统统性的风风险越小小（asaportfoliobecomesmorediversified,thesmallerwillbeitsuniquerisk）风险降低低和分散散化RiskReductionwithDiversificationNumberofSecuritiesSt.DeviationMarketRiskUniqueRisks2(eP)=s2(e)/nbP2sM2Reducesthenumberofinputsfordiversification.Easierforsecurityanalyststospecialize.单一指数数的优点点AdvantagesoftheSingleIndexModelDeterminingtheinputsneededforlocatingtheefficientset1Markowitz:expectedreturns:Nvariances:Ncovariances:(N2-N)/2Total:(N2+3N)/2Determiningtheinputsneededforlocatingtheefficientset2Indexmodel:Forthemarketindex:expectedreturn1variance1ForeachsecurityverticalinterceptNBetaNVarianceofrandomerrortermNTOTAL3N+2单指数模模型举例例——清华同方方（1）假定有反反映中国国股市整整体情况况的中证证300指数，有有无风险险利率存存在。估估算期为为1年，计算算出每月月同方公公司的平平均收益益水平和和中国股股市月平平均收益益水平（（虚拟数数据），，结果如如下。同方股票票的超额额收益与与市场超超额收益益的关系系有下式式：RTFt=αTF+TFRMt+eTFt将这12组数据带带入上式式进行回回归，得得到结果果如下：：截距为-0.11%，斜率为为0.36，残值的的方差反反映了同同方公司司特有因因素对同同方股票票收益的的影响程程度，表表中的R2表示的是是rI与rM之间的相相关性的的平方，，它是总总方差上上的系统统方差，，它告诉诉我们公公司股价价小量波波动是由由市场波波动造成成的。单指数模模型举例例——美林公司司美林公司司用S&P500指数作为为市场资资产组合合，以最最近60个月的每每月均值值来计算算回归参参数。为为了简便便，用总总收益代代替了模模型中的的超额收收益，要要估计的的模型变变成r=αα+rM+e*只要rf是常数，，回归结结果就是是一样的的。式中中的值和市场场风险2M与公司特特有风险险2(e)，都可以以从证券券特征线线中估计计出来，，美林公公司将其其评估结结果按月月刊登在在它出版版的月刊刊《证券风险险评估》中，人们们通常将将其称为为“手册”。。以下是是手册中中的几行行。多因素模模型MultifactorModels单因素模模型（市市场模型型）假设设市场组组合收益益的变化化包括了了所有的的风险因因素，而而且（不不正确地地）假设设任何一一种股票票对每种种风险的的相对敏敏感度都都一样UsefactorsinadditiontomarketreturnEstimateabetaforeachfactorusingmultipleregressionusemorethanoneexplanatoryvariableinthereturn-generatingprocess系统性风风险和SystematicRiskandBetasForexample,supposewehaveidentifiedthreesystematicrisksonwhichwewanttofocus:Inflation\GDPgrowth\spotinterestrate多因素模模型Rt=t+ßGDPGDPt+ßIFIFt+βINTINTt+etExampleSupposewehavemadethefollowingestimates:βIF=-2.30bGDP=1.50bINT=0.50.Finally,thefirmwasabletoattracta““superstar”CEOandthisunanticipateddevelopmentcontributes1%tothereturn.e=1%Wemustdecidewhatsurprisestookplaceinthesystematicfactors.Ifitwasthecasethattheinflationratewasexpectedtobe3%,butinfactwas8%duringthetimeperiod,thenIF=Surpriseintheinflationrate=actual––expected=8%-3%=5%IfitwasthecasethattherateofGDPgrowthwasexpectedtobe4%,butinfactwas1%,thenFGDP=SurpriseintherateofGDPgrowth=actual––expected=1%-4%=-3%Ifitwasthecasethatspotinterestrate,S,wasexpectedtoincreaseby10%,butinfactremainedstableduringthetimeperiod,thenFS=Surpriseintheinterestrate=actual––expected=0%-10%=-10%Finally,ifitwasthecasethattheexpectedreturnonthestockwas8%,thenMultifactorModelsUsefactorsinadditiontomarketreturnExamplesincludeindustrialproduction,expectedinflationetc.Estimateabetaforeachfactorusingmultipleregression.MULTIPLE-FACTORMODELSMULTIPLE-FACTORMODELSsomeofthesefactorsmayincludeTHEGROWTHRATEOFGDPTHELEVELOFINTERESTRATESTHEYIELDSPREADBETWEENCERTAINVARIABLESTHEINFLATIONRATETHELEVELOFOILPRICES多因素模型的的应用1StudiesbyRollandRossandbyChen行业生产变动动百分比Changeinindustrialproduction预期通胀变动动百分比ChangeinUnanticipatedinflation非预期通胀变变动百分比Changeinexpectedinflation长期公司债券券对长期政府府债券的超额额收益Excessreturnoflong-termcorporatebondsoverlong-termgovernmentbonds长期政府债券券对短期国库库券的超额收收益Excessreturnoflong-termgovernmentbondsoverT-bills多因素模型的的应用2FamaandFrenchReturnsafunctionofsizeandbook-to-marketvalueaswellasmarketreturns资本资产定价价模型与因素素模型的关系系CAPM可视为一个特特