高考数学二轮复习课时规范练-离散型随机变量的均值与方差（word版含答案）

课时规范练64离散型随机变量的均值与方差基础巩固1.某人进行一项实验,若实验成功,则停止实验,若实验失败,再重新进行实验,若实验3次均失败,则放弃实验,若此人每次实验成功的概率为23,则此人实验次数ξ的数学期望是(A.43 B.139 C.53 2.(2021湖北武汉二中期末,5)随机变量X的分布列如表,若E(X)=2,则D(X)=()X124P1abA.65 B.43 C.54 3.已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元,则所需检测费的均值为()A.3200 B.3400 C.3500 D.36004.(2021浙江湖州期末)一个口袋中有7个大小、质地完全相同的球,其中红球3个、黄球2个、绿球2个.现从该口袋中任取3个球,设取出红球的个数为ξ,则E(ξ)=.

5.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=3,D(X)=2,则p=,P(X=1)=.

6.某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.综合提升7.(2021浙江三模)已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X≥1)=23,P(X=3)=16,若X的数学期望E(X)=54,则D(4X-3)=A.19 B.16 C.194 D.8.(2021浙江二模)已知0<k<1,0<x<1,随机变量X的分布列如下X02x41Pk11当E(X)取最大值时,D(X)=()A.1 B.2C.3 D.9-29.一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1,则E(ξ1)=;若第一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为ξ2,则E(ξ2)=.

10.(2021山东济宁一模)垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程.搞好垃圾分类收集处理,可为政府节省开支,为国家节约能源,减少环境污染,是建设资源节约型社会的一个重要内容.为推进垃圾分类收集处理工作,A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育,为了解市民能否正确进行垃圾分类处理,调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到如下列联表(单位:人):能否正确进行垃圾分类能不能总计55岁及以下903012055岁以上503080总计14060200(1)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为A市能否正确进行垃圾分类与年龄有关?(2)将频率视为概率,现从A市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次.记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求随机变量X的分布列和均值E(X).附:K2=n(ad-P(K2≥k0)0.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.02411.(2021山西运城考前适应)某工厂为提高生产效率,需引进一条新的生产线投入生产,现有两条生产线可供选择,生产线①:有A,B两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.01,0.05.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为16万元;若A工序出现故障,则生产成本增加2万元;若B工序出现故障,则生产成本增加3万元;若A,B两道工序都出现故障,则生产成本增加5万元.生产线②:有a,b两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.04,0.02.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为15万元;若a工序出现故障,则生产成本增加8万元;若b工序出现故障,则生产成本增加5万元;若a,b两道工序都出现故障,则生产成本增加13万元.(1)若选择生产线②,求生产成本恰好为20万元的概率;(2)为最大限度节约生产成本,你会给工厂建议选择哪条生产线?请说明理由.12.(2021江苏苏锡常镇四市一模)某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒,需要通过血清检测确定该感染人员,血清检测结果呈阳性的即为感染人员,呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测:方案甲:将这6名疑似病人血清逐个检测,直到能确定感染人员为止.方案乙:将这6名疑似病人随机分成2组,每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测,若结果为阳性,则表示感染人员在该组中,然后再对该组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止;若结果为阴性,则对另一组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止.(1)求这两种方案检测次数相同的概率;(2)如果每次检测的费用相同,请预测哪种方案检测总费用较少?并说明理由.13.(2021山东泰安一模)某市为了了解本市高中生周末运动时间,随机调查了3000名学生,统计了他们的周末运动时间,制成如图所示的频率分布直方图.(1)按照分层抽样,从[40,50)和[80,90]中随机抽取了9名学生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名学生来自[40,50)的人数为X,求X的分布列和数学期望;(2)由频率分布直方图可近似认为:周末运动时间t服从正态分布N(μ,σ2),其中,μ为样本的平均数t,σ近似为样本的标准差s,并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率,现从本市所有高中生中随机抽取12名学生,记周末运动时间在(43.9,87.7]之外的人数为Y,求P(Y=3)(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,结果精确到0.001).参考数据:当Y~N(μ,σ2)时,P(μ-σ<Y≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Y≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<Y≤μ+3σ)≈0.9973,0.81869≈0.1651,0.18143≈0.0060.答案：1.B解析:由题意可得ξ=1,2,3,每次实验成功的概率为23,则失败的概率为1P(ξ=1)=23,P(ξ=2)=13×23=29,则实验次数ξ的分布列如下ξ123P221所以此人实验次数ξ的数学期望是E(ξ)=1×23+2×29+32.D解析:由分布列的性质以及数学期望公式可得E解得a=b=14所以D(X)=12×(1-2)2+14×(2-2)2+14×(4-2)3.C解析:设检测的机器的台数为X,则X的所有可能取值为2,3,4.P(X=2)=A22A52=110,P(X=3)=C21C31A22+A33A53=310,P(X=4)=C214.97解析:依题意,设取出红球的个数为ξ,则ξ=0,1,2,3,而口袋中有红球3个、其他球4个,故P(ξ=0)=C43C73=4P(ξ=2)=C32C41C73=故E(ξ)=0×435+1×1835+25.132562187解析:因为随机变量X~B(n,p),E(X)=3,D所以np=3,np(1-p)=2P(X=1)=C6.解:若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为X1300-150P72∴E(X1)=300×79+(-150)×2若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为X2500-3000P311∴E(X2)=500×35+(-300)×13+0D(X1)=(300-200)2×79+(-150-200)2×29=35000,D(X2)=(500-200)2×35+(-300-200)2×13+(0-200)2×115=140000.∴E(X1)=E(X2),D(X1)<D7.A解析:由题知P(X=0)=13,设P(X=1)=a,则P(X=2)=12因此E(X)=0×13+1×a+2×12-a+3×16=54,解得X0123P1111则D(X)=13因此D(4X-3)=16D(X)=19.故选A.8.A解析:根据随机变量分布列的性质,得k+12+14=1,所以E(X)=0×14+2x×12+(方法1)由不等式a+b22≤a当且仅当x=22时,等号成立,此时随机变量XX0222P111所以D(X)=(2-0)2×(方法2)令x=sinθ,θ∈0,π2,则1-x2=cos所以E(X)=x+1-x2=sinθ+cosθ=2sinθ+π4当且仅当θ=π4,即x=22时,等号成立,此时随机变量XX2028P111故E(X2)=3,所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=3-2=1.故选A.9.6576P(ξ1=0)=C2P(ξ1=1)=C3P(ξ1=2)=C3所以E(ξ1)=1×1225+2ξ2可能的取值为0,1,2,P(ξ2=0)=C2P(ξ2=1)=C3P(ξ2=2)=C3所以E(ξ2)=1×1730+10.解:(1)根据列联表中的数据,K2的观测值k=200×(90×30-50∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关.(2)由题意可得X~B3,14,∴P(X=k)=C3k1P(X=0)=2764,P(X=1)=2764,P(X=2)=964,P(X=可得随机变量X的分布列为X0123P272791均值E(X)=3×11.解:(1)若选择生产线②,生产成本恰好为20万元,即a工序不出现故障b工序出现故障,故生产成本恰好为20万元的概率为(1-0.04)×0.02=0.0192.(2)若选择生产线①,设增加的生产成本为ξ万元,则ξ的可能取值为0,2,3,5.P(ξ=0)=(1-0.01)×(1-0.05)=0.9405,P(ξ=2)=0.01×(1-0.05)=0.0095,P(ξ=3)=(1-0.01)×0.05=0.0495,P(ξ=5)=0.01×0.05=0.0005.所以E(ξ)=0×0.9405+2×0.0095+3×0.0495+5×0.0005=0.17,故选生产线①的生产成本期望值为16+0.17=16.17(万元).若选生产线②,设增加的生产成本为η万元,则η的可能取值为0,8,5,13.P(η=0)=(1-0.04)×(1-0.02)=0.9408,P(η=8)=0.04×(1-0.02)=0.0392,P(η=5)=(1-0.04)×0.02=0.0192,P(η=13)=0.04×0.02=0.0008.所以E(η)=0×0.9408+8×0.0392+5×0.0192+13×0.0008=0.42,故选生产线②的生产成本期望值为15+0.42=15.42(万元).故应选生产线②.12.解:(1)由题意可设甲方案检测的次数是X,则X的可能取值为1,2,3,4,5,记乙方案检测的次数是Y,则Y的可能取值为2,3,方案甲与方案乙相互独立,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=13,P(Y=2)=13,P(Y=3)=1-P(Y=2)用D表示事件“方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数”,则P(D)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=1所以这两种方案检测次数相同的概率为1(2)由(1)可知,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=1所以E(X)=1×16+2×16+3×16+又P(Y=2)=13,P(Y=3)=23,所以E(Y)=2×13故E(Y)<E(X).所以方案乙检测总费用较少.13.解:(1)根据分层抽样,从[40,50)中抽取6人,从[80,90]中抽取3人,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C60C33C93=184,P(X=1)=C61C则X的分布列为X0123P13155E(X)=0×184+1×314+2×1528(2)μ=