数学思维导图案例

数学思维导图案例数学思维导图案例数学思维导图案例资料仅供参考文件编号：2022年4月数学思维导图案例版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：数学思维导图(2012山东高考·满分12分)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息eq\x(观察条件)→eq\x(△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD)eq\o(→,\s\up14(取BD中点O),\s\do5(连接EO，CO))eq\x(CO⊥BD)eq\o(→,\s\up14(EC∩CO＝C),\s\do5())eq\x(BD⊥平面EOC)2．审结论，明解题方向eq\x(观察所证结论)→eq\x(求证BE＝DE)eq\o(→,\s\up14(需证明△BDE是等腰三角形),\s\do5())eq\x(应证明EO⊥BD)3．建联系，找解题突破口eq\x(CB＝CD)eq\o(→,\s\up7(O为BD中点))eq\x(CO⊥BD)eq\o(→,\s\up7(EC⊥BD))eq\x(BD⊥平面EOC)eq\o(→,\s\up7(OE⊂平面EOC))eq\x(BD⊥OE)eq\o(→,\s\up35(△BDE是),\s\do12(等腰三角形))eq\x(BE＝DE)1．审条件，挖解题信息eq\x(观察条件)→eq\x(△ABD为正三角形∠BCD＝120°，M是AE的中点)eq\o(→,\s\up14(取AB的中点N，),\s\do5(连接DM，DN，MN))eq\x(MN∥BE，DN⊥AB，CB⊥AB)2．审结论，明解题方向 eq\x(观察所证结论)→eq\x(DM∥平面BEC)eq\o(→,\s\up14(需证面面平行),\s\do5(或线线平行))eq\x(平面DMN∥平面BEC或DM平行于平面BEC内的一条线)3．建联系，找解题突破口eq\x(\a\al(结合,条件,与图,形))eq\o(→,\s\up14(法一),\s\do5())eq\x(证明平面DMN∥平面BEC)eq\o(→,\s\up7(由面面平行推证线面平行))eq\x(DM∥平面BEC)eq\o(→,\s\up14(法二),\s\do5())eq\x(在平面BEC内作辅助线EF∥DM)eq\o(→,\s\up14(利用线面平行的判定),\s\do5())eq\x(DM∥平面BEC)[教你准确规范解题](1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.(1分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC.(2分)因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(3分)(2)法一：如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.(4分)又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.(5分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.(6分)又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.(7分)所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.(9分)又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.(10分)又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二：如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.(4分)因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.(5分)因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°.(7分)因此∠AFB＝30°，所以AB＝eq\f(1,2)AF.(9分)又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．(10分)连接DM，由点M是线段AE的中点，得DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，(11分)所以DM∥平面BEC.(12分)函数实际应用题答题模板[典例](2011山东高考·满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为eq\f(80π,3)立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息eq\x(\a\al(观察,条件))→eq\x(\a\al(中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，,球的半径为r，圆柱的母线为l，以及容器的体积))eq\o(→,\s\up14(可根据体积公式),\s\do5(建立关系式))eq\x(\f(4πr3,3)＋πr2l＝\f(80π,3))eq\o(→,\s\up14(利用表面积公式),\s\do5(求球及圆柱的表面积))eq\x(\a\al(S球＝4πr2，,S圆柱＝2πrl))2．审结论，明解题方向eq\x(\a\al(观察所求,结论))→求y关于r的函数表达式，eq\x(\a\al(求y关于r的函数表达式，,并求该函数的定义域))eq\o(→,\s\up14(求总造价y，应求出球形部分),\s\do5(及圆柱形部分各自的造价))eq\x(\a\al(球形部分的造价为4πr2c，,圆柱型部分的造价为2πrl×3))3．建联系，找解题突破口eq\x(\a\al(总造价y＝球形部分的造价＋圆柱型部分的造价，,即y＝4πr2c＋2πrl×3))eq\o(→,\s\up14(应消掉l),\s\do5(只保留r))eq\x(由\f(4πr3,3)＋πr2l＝\f(80π,3)，解得l＝\f(80,3r2)－\f(4r,3))eq\o(→,\s\up14(故可得),\s\do5(建造费用))eq\x(y＝\f(160π,r)－8πr2＋4πcr2)eq\o(→,\s\up14(由l≥2r可求r的范围),\s\do5(即定义域))eq\x(0<r≤2)→eq\x(问题得以解决)1．审条件，挖解题信息eq\x(观察条件)→eq\x(建造费用y＝\f(160π,r)－8πr2＋4πcr2，定义域为(0，2])2．审结论，明解题方向eq\x(观察所求结论)→eq\x(求该容器的建造费用最小时的r)eq\o(→,\s\up14(建造费用最小，即y最小),\s\do5(问题转化为))eq\x(当r为何值时，y取得最小值)3．建联系，找解题突破口eq\x(分析函数特点：含分式函数)eq\o(→,\s\up14(可利用导数),\s\do5(研究函数的最值))eq\x(y′＝－\f(160π,