1 问：有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散_第1页
1 问：有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散_第2页
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1问：有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散?答：有界数列不一定是收敛数列，例如，摆动数列（―1严<1是有界的，因对一切n,有八丿一，但它是发散的；而数列3氏十1■■■■■■門十1yr1•甩十1r<2lim=1也是有界的，因对一切n,有甩，但数列是收敛的，有f兇。无界数列一定是发散的，因为如果它是收敛的，根据收敛数列是有界的，得出数列有界的结论。2问什么叫数列的上有界（有上界），下有界（有下界）？它们和数列有界有何关系？［答］如果数列｛心｝满足：对一切的n,有心兰其中M是与n无关的常数，称数列｛耳｝上有界（有上界），并称M是它的一个上界；如果数列｛耳｝满足：对一切的n,有^>m，其中m是与n无关的常数，称数列｛x訂下有界（有下界），并称m是它的一个下界。数列上有界，下有界与数列有界的关系是：数列衣J有界的充分必要条件是数列即上有界又下有界。证明如下：充分性证明，设数列｛心｝上有界且下有界，则存在常数m和M,使对一切的n有取加1二m闵阀阿D，那么陆》Q,且对一切的n,有＜MX,即忆|《皿]所以数列｛©｝有界。必要性证明：设数列｛心｝有界，则对一切的n,存在正常数M],有耳卜蛆或-陆《心1込,取m=-，M二血\，则对一切的n,有xH＜血界口工用＞m同时成立，故数列｛©｝上有界且下有界。3问为什么“单调递增上有界数列一定有极限”，“单调递减下有界数列一定有极限”？答：因为单调递增数列的第一项心就是它的一个下界，因此数列有上界，则该数列有界，因而收敛。当数列｛©｝单调递减，那

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