四川省自贡市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021-2022学年高一年级上学期期末考试数学试题一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.若，则的值为（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果.【详解】若，则，不符合集合元素的互异性；若，则或（舍），此时，符合题意；综上所述：.故选：A.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意列不等式组求解【详解】由题意得，解得且，故选：D3.角的终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦函数的定义计算．【详解】由题意到原点的距离为，所以．故选：B．4.下列等式中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可.【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，错误；对于B，，错误；对于C，，错误；对于D，，正确.故选：D.5.已知是定义在R上的奇函数，在区间上为增函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由奇函数知，再结合单调性及得，解不等式即可.【详解】由题意知：，又在区间上为增函数，当时，，当时，，由可得，解得.故选：C.6.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依次判断4个选项的单调性及奇偶性即可.【详解】对于A，在区间上单调递增，错误；对于B，，由得，单调递增，错误；对于C，当时，没有意义，错误；对于D，为偶函数，且在时，单调递减，正确.故选：D.7.已知角与角的终边关于直线对称，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先在角终边取一点，利用角与角的终边关于直线对称写出对称点的坐标，即可求得，进而求得.【详解】由知角终边在第一或第二象限，在终边上取一点或，又角与角的终边关于直线对称，故角的终边必过点或，故，则.故选：A.8.今有一组实验数据如下：x23456y1.52.012.985.028.98现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据表格中的数据，作出散点图，结合选项和函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】根据表格中的数据，作出散点图，如图所示，根据散点图可知，随着的增大，的值增大，并且增长速度越来越快，结合选项：函数增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数增长速度越来越快，符合题意；函数，增长速度不变，不符合题意；而函数，当时，可得；当时，可得，此时与真实数据误差较大，所以最接近的一个函数是.故选：B.9.已知函数，将的图象上所有点沿x轴平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，且函数的图象关于y轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将解析式化简后，由三角函数图象变换得到的解析式后求解.【详解】若向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到，由题意得，的最小值为；若向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到，同理得的最小值为，故选：B10.已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（）A.1 B.-1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知确定函数的递推式，利用递推式与奇偶性计算即可．【详解】当时，，则，所以当时，，所以又是偶函数，，所以．故选：A．11.点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O､P两点的距离y与点P所走路程x的函数关系如图所示，那么点P所走的图形是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】认真观察函数的图象，根据其运动特点，采用排除法，即可求解.【详解】观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：①点运动到周长的一半时，最大；②点的运动图象是抛物线，设点为周长的一半，如下图所示：图1中，因为，不符合条件①，因此排除选项A；图4中，由，不符合条件①，并且的距离不是对称变化的，因此排除选项D；另外，在图2中，当点在线段上运动时，此时，其图象是一条线段，不符合条件②，因此排除选项B.故选：C

12.函数对于定义域内任意，下述四个结论中，①②③④其中正确的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】利用指数的运算性质及指数函数的单调性依次判读4个序号即可.【详解】，①正确；，，②错误；，由，且得，故，③正确；由为减函数，可得，④正确.故选：B.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在横线上.）13.___________.【答案】【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得.故答案为：.14.___________.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】根据对数的运算公式，可得.故答案为：.15.已知，，则的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】化简函数，由，得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，因为，可得，当时，即时，函数取得最小值.故答案为：.16.已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数，现有以下几种说法：①；②若今天值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时(注：)．则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)【答案】③【解析】【分析】对于①通过取特殊值即可排除，对于②③直接带入计算即可.【详解】当nA＝1时，PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；B菌的个数为nB＝5×104，∴，∴.又∵，∴故选③．三､解答题（本大题共6个小题，共70分）17.已知全集，集合，.（1）求；（2）若集合，且，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，再按照并集和补集计算即可；（2）先求出，再由求出a取值范围即可.【小问1详解】，，；【小问2详解】，由题得故.18.如图是函数的部分图象.（1）求函数的解析式；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由图象得到，且，得到，结合五点法，列出方程求得，即可得到函数的解析式；（2）由题意，求得，，结合利用两角和的正弦公式，即可求解.【小问1详解】解：由图象可得，函数的最大值为，可得，又由，可得，所以，所以，又由图可知是五点作图法中的第三个点，因为，可得，因为，所以，所以.【小问2详解】解：因为，则，又因为，所以，由，则，有，所以.19.已知，且函数是奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断函数的单调性，并证明.【答案】（1）（2）在上是减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）直接由解出，再把代入检验；（2）直接由定义判断单调性即可.【小问1详解】因为，函数奇函数，所以，解得.此时，，，满足题意.故.【小问2详解】在上是减函数.任取，，则，由∴，故在上是减函数.20.如图，有一块半径为4的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，连接OC两点，OC与OB所形成的夹角为.（1）写出这个梯形周长y和的函数解析式，并写出它的定义域；（2）求周长y的最大值以及此时梯形的面积.【答案】（1），（2）20，【解析】【分析】（1）过点C作，表示出，，即可写出梯形周长y和的函数解析式；（2）令，结合二次函数求出y的最大值，求出此时的，再计算梯形面积即可.【小问1详解】由题意得.半圆形钢板半径为4，则，过点C作.在和中，有，，.在中，因为，为等腰三角形，故，所以，.，.【小问2详解】由.令，则，则.则当时，周长y有最大值，最大值20，此时，.故梯形的高，，.21已知函数.（1）求函数的周期和单调递减区间；（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先根据三角函数的平移变换规则求出的解析式，根据，得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得；【小问1详解】解：∵，即，所以函数的最小正周期，令，解得.故函数的单调递减区间为.【小问2详解】解：由题意可得，∵，∴，∵，所以，则，因此.22.已知函数与.（1）判断的奇偶性；（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）偶函数（2）【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义判断；（2