光电变换的统计特性

关于光电变换的统计特性第一页，共六十三页，2022年，8月28日7.1双随机泊松点过程一般光电子的发射过程遵守所谓双随机泊松点过程。设在不同瞬时t1,t2,…,tN产生光电子的联合概率分布P(t1,t2,…,tN)可表示为(7.1-1)第二页，共六十三页，2022年，8月28日按量子力学的观点，将电子从束缚态激发到非束缚态的过程，就被看作是光电子发射过程。在Δt时间内，从面元Δs上释放电子的个数为ΔPt=λ(t)Δt=αI(r,t)ΔsΔt(7.1-2)λ(t)=αI(r,t)Δs(7.1-3)第三页，共六十三页，2022年，8月28日其中α是探测器的量子效率。λ是发射电子的速率，可理解为单位时间内平均发射光电子的个数，ΔPt可理解为发射电子的概率。对探测器表面积分，就得到探测器发射电子速率为(7.1-4)第四页，共六十三页，2022年，8月28日7.2相干光的光电子统计和泊松变换由于相干光是光强恒定的，无起伏，因此光电子发射过程是泊松过程。则在t0~t0+T间隔内产生n个光电子的概率为(7.2-1)第五页，共六十三页，2022年，8月28日其中W表示在t0~t0+T时间内产生的平均光电子数:(7.2-2)随机变量n的正常矩母函数Qn(s)为(7.2-3)第六页，共六十三页，2022年，8月28日累积量母函数(7.2-4)阶乘矩母函数(7.2-5)第七页，共六十三页，2022年，8月28日正常矩为(7.2-6)于是〈n〉=W〈n2〉=W2+W〈n3〉=W3+3W2+W第八页，共六十三页，2022年，8月28日阶乘矩(7.2-7)累积量(7.2-8)第九页，共六十三页，2022年，8月28日在式(7.2-1)中的W是光强一定时T间隔内产生的平均光电子数。若W是随机的，则光电子计数n的概率分布P(n)也是随机的。需要取平均值给出有实际意义的概率分布:(7.2-9)P(n)与P(W)的这种关系叫泊松变换，记为P(n)=PT［P(W)］(7.2-10)第十页，共六十三页，2022年，8月28日7.3线性极化热光的光电子统计7.3.1T<<τc,A<<Ac的情形τc和Ac分别为热光场的相干时间和相干面积；而T是探测时间(或计数时间);A是探测器面积。A<<Ac可以看作是点探测器。由于取样时间很短，在这段时间内I可被看成常数，于是W=CI(r,t)T(7.3-1)第十一页，共六十三页，2022年，8月28日其中C=αA。这时的W可理解成t～t+T时间内被接收器接收到的平均能量。因为W与光强度成正比，所以W的统计分布与光强度的统计分布有相同的形式，即(7.3-2)对应地有(7.3-3)(7.3-4)(7.3-5)第十二页，共六十三页，2022年，8月28日再利用泊松变换，就得到T<<τc,A<<Ac情况下线性极化热光的光电子统计分布：(7.3-6)利用分步积分或查积分表,可得(7.3-7)第十三页，共六十三页，2022年，8月28日式(7.3-7)称为玻色—爱因斯坦分布，也叫几何分布，其中〈n〉=〈W〉。这种分布有递推关系第十四页，共六十三页，2022年，8月28日式(7.3-7)称为玻色—爱因斯坦分布，也叫几何分布，其中〈n〉=〈W〉。这种分布有递推关系(7.3-8)(7.3-9)(7.3-10)(7.3-11)第十五页，共六十三页，2022年，8月28日7.3.2T>>τc,A<<Ac的情况T>>τc,A<<Ac时仍是点探测器，但取样时间T较长，这时要考虑W的时间积分效应:(7.3-12)第十六页，共六十三页，2022年，8月28日时要根据I(t)的分布求W的分布一般是困难的，这里只给出处理问题的思路和结论。

基本思路：

(1)将光场V(t)在区间［0,T］内用一组完全正交基展开，即所谓Karhunen-Loeve(K-L)展开。(2)把K-L展开模的平方代入式(7.3-12)，并利用正交性可得(7.3-13)(7.3-14)第十七页，共六十三页，2022年，8月28日(3)Wk的正常矩母函数为(7.3-16)第十八页，共六十三页，2022年，8月28日(4)求式(7.3-16)的Laplace逆变换或式(7.3-14)的多重卷积就可求出W的概率分布。第十九页，共六十三页，2022年，8月28日7.4部分极化热光的光电子统计仍然设两个正交的极化分量是统计独立的，所以探测器探测的光强度I是两个独立的分量I1与I2之和，即第二十页，共六十三页，2022年，8月28日相应地，积分强度W为(7.4-1)(7.4-2)(7.4-3)第二十一页，共六十三页，2022年，8月28日对应的光电子计数为n=n1+n2(7.4-4)其中,n1和n2分别对应着两个独立的分量W1和W2的光电子计数，它们也是统计独立的。第二十二页，共六十三页，2022年，8月28日7.4.1T<<τc,点探测器(A<<Ac)与7.3节讨论的情况一样，这时W∝I，W的概率分布与I的概率分布形式相同。利用6.2节中讨论部分极化热光的结果，我们有(7.4-17)第二十三页，共六十三页，2022年，8月28日矩母函数(7.4-18)再利用QcW(s)=lnQW(s)可以得到累积量：(7.4-19)第二十四页，共六十三页，2022年，8月28日方差(7.4-20)第二十五页，共六十三页，2022年，8月28日把矩母函数式(7.4-18)代入式(7.4-16),可求得光电子计数分布：(7.4-21)式(7.4-21)当然也可以利用两个具有平均值第二十六页，共六十三页，2022年，8月28日光电子分布的阶乘矩为(7.4-22)(7.4-23)第二十七页，共六十三页，2022年，8月28日7.4.2T>>τc,点探测器(A<<Ac)在T>>τc,A<<Ac的情况下，W1、W2分别是I1、I2的积分，利用Karhunen-Loeve展开，可将W1、W2都表示为N个独立的随机变量之和，则W1、W2都服从形如(7.4-24)第二十八页，共六十三页，2022年，8月28日的Γ分布。利用泊松变换，可以得到对应的光电子计数n1和n2的分布均为负二项分布:(7.4-25)另外,W的矩母函数为(7.4-26)第二十九页，共六十三页，2022年，8月28日再利用式(7.4-16)可以算出(7.4-27)第三十页，共六十三页，2022年，8月28日相应的阶乘矩为(7.4-28)第三十一页，共六十三页，2022年，8月28日其中利用了Γ(n+1)=n!,Γ(1)=1以及另外,由式(7.3-17)知第三十二页，共六十三页，2022年，8月28日7.5相干光与热光相混合的光电子统计7.5.1极化的相干光和极化的热光相混合的光电子统计极化的相干光和极化的热光相混合的情况下光场的统计特性已在6.3节中讨论过。光强度I的概率分布P(I)是Bessel分布:(7.5-1)第三十三页，共六十三页，2022年，8月28日7.5.2相干光与部分极化热光混合的情形相干光与部分极化热光混合时，积分强度可分为两部分:W=W1+W2(7.5-9)其中，(7.5-10)(7.5-11)第三十四页，共六十三页，2022年，8月28日其中,P是部分极化光的极化度，θ是相干光振动方向与部分极化光的一个独立分量所对应方向的夹角。根据独立随机变量和的统计规律，我们有(7.5-12)(7.5-13)(7.5-14)(7.5-15)(7.5-16)第三十五页，共六十三页，2022年，8月28日7.6调制光束的光电子统计调制光束模型的一个重要应用领域是光通信。为了传递信息，在光通信中必须对光束进行调制。本节我们首先讨论一般的处理方法，然后讨论一些实例。设光束受到一个统计独立的效应的调制，那么光强度是两种效应的乘积，即I(t)=β(t)I0(t)(7.6-1)第三十六页，共六十三页，2022年，8月28日式中I0(t)是原来未被调制的光束的强度，β(t)是调制效应，I0(t)和β(t)是两个统计独立的随机过程。在计数时间间隔［t,t+T］内的积分强度为(7.6-2)W=W1W2(7.6-3)第三十七页，共六十三页，2022年，8月28日(1)对于β(t)的相干时间τcβ>>T:第三十八页，共六十三页，2022年，8月28日(2)对于I0(t)的相干时间τc0>>T:第三十九页，共六十三页，2022年，8月28日(3)对于同时有τc0>>T和τcβ>>T:

W=αI0(t)Tβ(t)=W0W1其中W0=αI0(t)TW1=β(t)第四十页，共六十三页，2022年，8月28日总之，不论上面哪种情形，都能将W写成两个独立的随机变量W1和W0的乘积，接下来的事情就是如何求出W的统计特性与W1、W0的统计特性之间的关系。由定义:(7.6-4)(7.6-5)第四十一页，共六十三页，2022年，8月28日图7.6-1分布函数的积分区间示意图第四十二页，共六十三页，2022年，8月28日例7-1相干光受热光调制(如激光在大气中传输时因随机起伏造成的影响)这时在I=βI0

中,I0是常数，β是热光光强，所以调制光束变为热光束，故其统计特性就是热光的统计特性。光强度为指数分布，对于极化和部分极化的不同情况已作过详细讨论。例7-2热光束受热噪声调制的情况(如星际观察等)。例7-3热光强度被实数高斯噪声调制(通信模型)。第四十三页，共六十三页，2022年，8月28日例7-4用一个确定的与计数不同步的周期信号进行强度调制。这里假定β(t)是一个确定的周期信号,调制周期为Tβ，但取样与该周期信号不同步，这样在计数时会引起额外的随机性。有时在β(t)的峰值取样，有时在谷值取样。假设T<<Tβ，取样时间中心t是［0,Tβ］内均匀分布的随机变量。不难算出β(t)的概率分布(当给定β的函数形式后)。对于如图7.6-2所示的几种波形，已知t～［0,T］均匀分布,则0＜t＜T其它于是三种波形概率的求法如下(只考虑一个周期)。第四十四页，共六十三页，2022年，8月28日图7.6-2几种β的波形

(a)方波；(b)三角形；(c)正弦波第四十五页，共六十三页，2022年，8月28日1.方波方波如图7.6-3所示。图7.6-3方波第四十六页，共六十三页，2022年，8月28日其中,按分布函数的定义F(β)=P{B(t)≤β}第四十七页，共六十三页，2022年，8月28日显然:当β＜β1时，F(β)=0；当β≥β2时，F(β)=1;当β1≤β＜β2时β＜β1

β1≤β＜β2β≥β2

第四十八页，共六十三页，2022年，8月28日2.三角波三角波如图7.6-4所示。图7.6-4三角波第四十九页，共六十三页，2022年，8月28日其中,β2=1+0.5m,β1=1-0.5m。显然,当β＜β1时，F(β)=0;当β＞β2时，F(β)=1；当β1≤β≤β2时第五十页，共六十三页，2022年，8月28日不难算出第五十一页，共六十三页，2022年，8月28日3.正弦波正弦波如图7.6-5所示。图7.6-5正弦波第五十二页，共六十三页，2022年，8月28日其中β2-β1=m。显然,当β＜β1时,F(β)=0；当β＞β2时，F(β)=1；当β1≤β≤β2时第五十三页，共六十三页，2022年，8月28日不难算出第五十四页，共六十三页，2022年，8月28日7.7光电子统计应用举例7.7.1光信号的直接探测在给定的时间间隔内直接记录光电子计数，并用来估计光强度即光信号(注意：记录光电子是随机变化的)。第五十五页，共六十三页，2022年，8月28日基本原理如下：设光信号为I(t)，为了测量I(t)，根据Nyquist定理可选择一系列时间测出I1,I2,I3,…,从而得到I(t)。下面以某个测量为例说明如何测I。为了测出I(t)的变化，每次记录Ii的时间比起I(t)的变化要足够小。不妨设某次测量是在［0,T0］时间内测量的，T0与I(t)变化相比来说很小，故在这段时间内I不变。测量步骤为：第五十六页，共六十三页，2022年，8月28日(1)把［0,T0］等间隔地分为M段，每段间隔T;(2)设每一段时间光电子计数为{n}=n1,n2,…,nM;(3)从n1,n2,…,nM中估计出单位时间内平均光电子数λ；(4)由I=λhΓ/ηA得到光强，其中η是量子效率，A是探测器面积。第五十七页，共六十三页，2022年，8月28日1.样本设X的分布函数为F，若随机变量X1,X2,…,Xn为具有同一分布的相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为从X得到的容量为n的样本(也