教辅同步阶段质量检测圆与方程

阶段质量检测（四）圆与方程(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为()A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)解析：选A纵、竖坐标相同．故点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为(－3,4,5)．2．已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是()A．在圆内 B．在圆上C．在圆外 D．无法判断解析：选B点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝eq\r(5－22＋－7＋32)＝5，故点M在圆O上．3．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于()\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4解析：选B由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝eq\r(3)，弦心距d＝eq\f(|－1＋0－1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，所以所求的弦长为2eq\r(r2－d2)＝2，选B.4．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0解析：选D由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝eq\f(1－0,1－3)＝－eq\f(1,2)，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.5．若直线eq\r(3)x＋y＋2n＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中n∈N*，则n的值为()A．1 B．2C．4 D．1或2解析：选D由题意，得圆心(0,0)到直线eq\r(3)x＋y＋2n＝0的距离为eq\f(2n,\r(\r(3)2＋1))＝2n－1，所以n＝2n－1.由n＝2n－1，结合选项，得n＝1或2.6．圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系是()A．内切 B．外切C．相交 D．外离解析：选A由题意，知圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝36，圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以圆C1的圆心为C1(－1,3)，半径为6，圆C2的圆心为C2(2，－1)，半径为1.又|C1C2|＝eq\r(－1－22＋3＋12)＝5，所以|C1C2|＝6－1，故两圆的位置关系是内切．7．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：选D∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由eq\r(a2＋32)＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.8．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为()\r(2)x＋y－5＝0 \r(2)x＋y＋5＝0C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0解析：选C∵M(2,1)在圆上，∴切线与MO垂直．∵kMO＝eq\f(1,2)，∴切线斜率为－2.又过点M(2,1)，∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.9．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为()A．－3 B．3C．－3或3 D．以上都不对解析：选C圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，半径为eq\r(a2＋7)，由题意得eq\f(|－1×3－4×2－4|,\r(－32＋42))＝eq\r(a2＋7)－1，解得a＝±3.10.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为()A．14米 B．15米\r(51)米 D．2eq\r(51)米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝eq\r(51)，∴水面宽度|A′B′|＝2eq\11．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0解析：选A设点P(3,1)，圆心C(1,0)．已知切点分别为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径．故四边形PACB的外接圆圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，半径长为eq\f(1,2)eq\r(3－12＋1－02)＝eq\f(\r(5),2).故此圆的方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(5,4).①圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.②①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为()A．1 \r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：选A由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.因为直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝eq\f(|0－1－1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).又坐标原点O到弦AB的距离为eq\f(|0＋0－1|,\r(2))＝eq\f(1,\r(2))，所以△OAB的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(1,\r(2))＝1.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝eq\r(2－02＋－3＋22)＝eq\r(5)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝514．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点之间的最短距离是________．解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由x2＋y2－4x＋2y＋3＝0得(x－2)2＋(y＋1)2＝2，两圆圆心距为eq\r(－1－22＋2＋12)＝3eq\r(2)>2eq\r(2).故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是3eq\r(2)－eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)15．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为______________．解析：设B点的坐标为(x，y，z)，则有eq\f(x＋3,2)＝4，eq\f(y＋2,2)＝3，eq\f(z＋1,2)＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，故B点的坐标为(5,4,1)．答案：(5,4,1)16．圆O：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线l：3x＋4y＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线l的距离为eq\f(|3×1＋4×1＋8|,\r(32＋42))＝3>1，∴动点Q到直线l的距离的最大值为3＋1＝4.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|.解：∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,1)．∴G点的坐标为Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1，\f(1,2)))∴|BG|＝eq\r(32＋32＋\f(1,4))＝eq\f(\r(73),2).18．(本小题满分12分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.19．(本小题满分12分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.(1)求以OP为直径的圆的方程；(2)求直线AB的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，半径为eq\f(1,2)|OP|＝eq\f(1,2)eq\r(4－02＋6－02)＝eq\r(13)，∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,x－22＋y－32＝13，))得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.20．(本小题满分12分)已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(10)为半径．则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)法一：直线AB的斜率k＝eq\f(4－－2,－1－1)＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝eq\f(1,3)x，即x－3y＋3＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋3＝0，,2x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))即圆心的坐标是C(3,2)．∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－2－b2＝R2，,－1－a2＋4－b2＝R2，,2a－b－4＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,R2＝20.))∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.21．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示过圆x2＋y2－20＝0和直线－4x＋2y＋20＝0交点的圆系．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－20＝0，－4x＋2y＋20＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，y＝－2.))∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2①当两圆外切时，d＝r1＋r2，即2＋eq\r(5a－22)＝eq\r(5a2)，解得a＝1＋eq\f(\r(5),5)或a＝1－eq\f(\r(5),5)(舍去)；②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，即|eq\r(5a－22)－2|＝eq\r(5a2)，解得a＝1－eq\f(\r(5),5)或a＝1＋eq\f(\r(5),5)(舍去)．综上所述，a＝1±eq\f(\r(5),5).22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－eq\r(3)y－4＝0相切．(1)求圆O的方程．(2)直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O的半径长为r，因为直线x－eq\r(3)y－4＝0与圆O相切，所以r＝eq\f(|0－\r(3)×0－4|,\r(1＋3))＝2，所以圆O的方程