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蒙日圆定理(解析几何证法)蒙日圆定理(解析几何证法)蒙日圆定理(解析几何证法)蒙日圆定理(解析几何证法)编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h蒙日圆定理（纯解析几何证法）蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。如图，设椭圆的方程是。两切线PM和PN互相垂直，交于点P。求证：点P在圆上。证明：若两条切线中有一条平行于x轴时，则另一条必定平行于y轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P的坐标只能是： 它必定在圆上。现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下： 联立两切线方程GOTOBUTTONZEqnNum930645REFZEqnNum930645\*Charformat\!(2)和GOTOBUTTONZEqnNum962611REFZEqnNum962611\*Charformat\!(3)可求出交点P的坐标为： 从而P点距离椭圆中心O的距离的平方为： 现将PM的方程代入椭圆方程，消去y，化简整理得： 由于PM是椭圆的切线，故以上关于x的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得： 对于切线PN，代入椭圆方程后，消去y，令判别式等于0，同理可得： 为方便起见，令： 这样GOTOBUTTONZEqnNum676965REFZEqnNum676965\*Charformat\!(7)和GOTOBUTTONZEqnNum280871REFZEqnNum280871\*Charformat\!(8)就分别化为了关于M和N的一元一次方程，不难解出： 将GOTOBUTTONZEqnNum411096REFZEqnNum411096\*Charformat\!(10)和GOTOBUTTONZEqnNum524275REFZEqnNum524275\*Charformat\!(11)代入GOTOBUTTONZEqnNum757290REFZEqnNum757290\*Charformat\!\*

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