电动力学第3讲11电荷和电场课件

《电磁场与电磁波》第6讲第二章电磁场的基本规律（3）§2.5电磁感应定律和位移电流§2.6麦克斯韦方程组教师姓名：宗福建单位：山东大学微电子学院2018年3月27日《电磁场与电磁波》第6讲22.1电荷守恒定律2.2真空中静电场的基本规律2.3真空中恒定磁场的基本规律2.4媒质的电磁特性2.5电磁感应定律和位移电流2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边界条件本章讨论内容22.1电荷守恒定律本章讨论内容2本章知识脉络电磁场的源：电荷、电流（2.1）主线：亥姆霍兹定理静态场静电场的散度和旋度静磁场的散度和旋度真空中（2.2）介质中（2.4）真空中（2.3）介质中（2.4）时变场（麦克斯韦方程组）(2.5,2.6)时变场的散度和旋度边界条件(2.7)本章知识脉络电磁场的源：电荷、电流（2.1）主线：亥姆霍兹定34上一讲复习1、磁感应强度的定义，毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，并推导出磁感应强度的散度和旋度公式。2、安培环路定律的数学表达式，并能灵活应用。4上一讲复习1、磁感应强度的定义，毕奥-萨伐尔定律的数学表达45上一讲复习小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为

（积分形式）

（微分形式），

小结：恒定磁场是无源有旋场，磁介质中的基本方程为

（积分形式）

（微分形式）5上一讲复习小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为56静电场的散度和旋度6静电场的散度和旋度67静磁场的散度和旋度7静磁场的散度和旋度78上一讲复习介质方程（媒质的本构关系）真空中8上一讲复习介质方程（媒质的本构关系）89上一讲思考题简答9上一讲思考题简答910上一讲思考题简答10上一讲思考题简答1011上一讲思考题简答11上一讲思考题简答1112上一讲思考题简答12上一讲思考题简答12132.1电荷守恒定律2.2真空中静电场的基本规律2.3真空中恒定磁场的基本规律2.4媒质的电磁特性2.5电磁感应定律和位移电流2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边界条件本讲讨论内容132.1电荷守恒定律本讲讨论内容1314电磁感应定律

1824年，阿拉哥曾做过一个神秘的实验：观察到，一个磁体由于在它附近转动一个铜盘而引起运动。我们知道，铜是非磁性材料，磁铁对它不起作用。14电磁感应定律1824年，阿拉哥曾做过一个神秘的实验：1415电磁感应定律

自从1820年奥斯特发现了电流的磁效应之后，人们跟着研究相反的效应，即磁场能否导致电流？早在1824年Faraday就论证过，既然电流对磁体有作用，那么磁体也应对电流有反作用。15电磁感应定律自从1820年奥斯特发现了电流的磁效应之后1516电磁感应定律

1825年，他将一根导线通以电流，这根导线紧挨着另一根与电流计相连的导线，但是没有得到结果。1828年他又做了一次没有结果的实验。但是，Faraday坚持做实验。16电磁感应定律1825年，他将一根导线通以电流，这根导线1617电磁感应定律

1831年8月，Faraday取了一个软铁环并以线圈A和B缠绕着它。线圈B跟一个电流计相连接。当线圈A和有10个电池的电池组相接时，电流计的指针震荡起来，并且最后又停在原来的位置上。在切断电源时指针又受到扰动。17电磁感应定律1831年8月，Faraday取了一个软铁1718电磁感应定律

第二天，他取了一个铁圆筒，以跟电流计相连接的螺旋线把它绕起来。然后把圆筒放在条形磁铁的两极之间。18电磁感应定律第二天，他取了一个铁圆筒，以跟电流计相连接1819电磁感应定律1831年8月，M.法拉第在软铁环两侧分别绕两个线圈，其一为闭合回路，在导线下端附近平行放置一磁针，另一与电池组相连，接开关，形成有电源的闭合回路。实验发现，合上开关，磁针偏转；切断开关，磁针反向偏转，这表明在无电池组的线圈中出现了感应电流。法拉第立即意识到，这是一种非恒定的暂态效应。19电磁感应定律1831年8月，M.法拉第在软铁环两侧分别绕1920电磁感应定律紧接着他做了几十个实验，把产生感应电流的情形概括为5类：变化的电流，变化的磁场，运动的恒定电流，运动的磁铁，在磁场中运动的导体，并把这些现象正式命名为电磁感应。20电磁感应定律紧接着他做了几十个实验，把产生感应电流的情形2021电磁感应定律进而，法拉第发现，在相同条件下不同金属导体回路中产生的感应电流与导体的导电能力成正比，他由此认识到，感应电流是由与导体性质无关的感应电动势产生的，即使没有回路没有感应电流，感应电动势依然存在。后来，楞次定律给出了感应电流方向。描述电磁感应定量规律的法拉第电磁感应定律。并按产生原因的不同，把感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种，前者起源于洛伦兹力，后者起源于变化磁场产生的有旋电场。21电磁感应定律进而，法拉第发现，在相同条件下不同金属导体回2122电磁感应定律电磁感应定律：闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比。22电磁感应定律电磁感应定律：闭合线圈中的感应电动势与通过该2223电磁感应定律线圈上的电荷是直接受到该处电场作用而运动的，线圈上有感应电流就表明空间中存在着电场。因此，电磁感应现象的实质是变化磁场在其周围空间中激发了电场，这是电场和磁场内部相互作用的一个方面。

23电磁感应定律线圈上的电荷是直接受到该处电场作用而运动的，2324电磁感应定律感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此电磁感应定律可写为

若回路L是空间中的一条固定回路，则上式中对t的全微商可代为偏微商24电磁感应定律感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此2425电磁感应定律化为微分形式后得25电磁感应定律2526电磁感应定律这是磁场对电场作用的基本规律。由可见，感应电场是有旋场。因此在一般情况下，表示静电场无旋性的必须代以更普遍的。

26电磁感应定律这是磁场对电场作用的基本规律。由2627电磁感应定律即：27电磁感应定律即：27相应的微分形式为(1)

回路不变，磁场随时间变化引起回路中磁通变化的几种情况：磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有相应的微分形式为(1)回路不变，磁场随时间变化引起回路中称为动生电动势，这就是发电机工作原理。(2)

导体回路在恒定磁场中运动称为动生电动势，这就是发电机工作原理。(2)导体回路29(3)

回路在时变磁场中运动(3)回路在时变磁场中运动30（1），矩形回路静止；xbaoyx均匀磁场中的矩形环L（3），且矩形回路上的可滑动导体L以匀速运动。例2.5.1长为a、宽为b的矩形环中有均匀磁场

垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。（2），矩形回路的宽边b=常数，但其长边因可滑动导体L以匀速运动而随时间增大；（1）31xbaoyx均匀磁场中的矩形环L

解：(1)均匀磁场

随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故xbaoyx均匀磁场中的矩形环L解：(1)32

(2)均匀磁场

为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产生的，故得或(2)均匀磁场为恒定磁场，而回33

(3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动产生的，故得(3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变34（1）线圈静止时的感应电动势；解:（1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故（2）线圈以角速度ω

绕x轴旋转时的感应电动势。例2.5.2在时变磁场中，放置有一个axb的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量与成α角，如图所示。试求：xyzabB时变磁场中的矩形线圈（1）线圈静止时的感应电动势；解:（1）线圈假定时，则在时刻t时，与y轴的夹角，故方法一：利用式计算（2）线圈绕x轴旋转时，的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。假定时，则在时上式右端第一项与(1)相同，第二项xyzabB时变磁场中的矩形线圈12234方法二：利用式计算。上式右端第一项与(1)相同，第二项xyz38位移电流

先分析非恒定电流分布的特点。

它一般不再是闭合的。例如带有电容器的电路实质上是非闭合的回路。在电容器两板之间是绝缘介质，自由电子不能通过。电荷运动到板上时，由于不能穿过介质，就在板上积聚起来。在交流电路中，电容器交替的充电和放电，但在两板之间的介质内始终没有传导电流通过。所以，电流J在该处实际上是中断的。

38位移电流先分析非恒定电流分布的特点。3839位移电流

39位移电流3940位移电流一般说来，在非恒定情况下，电荷守恒定律有

40位移电流一般说来，在非恒定情况下，电荷守恒定律有4041位移电流现在我们考察电流激发磁场的规律

取两边散度，由于▽

∙（▽×H）≡0，因此上式只有当▽

∙J=0时才可能成立。

41位移电流现在我们考察电流激发磁场的规律4142位移电流但是，在非恒定情形，一般有▽

∙J≠0，因而与电荷守恒定律发生矛盾。电荷守恒定律是精确的普遍规律，上式仅是根据恒定情况下的实验定律导出的特殊规律，在两者发生矛盾的情形下，我们应该修改上式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。

42位移电流但是，在非恒定情形，一般有▽∙J≠0，因4243位移电流推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量JD,它和电流J合起来构成闭合的量。并假设位移电流JD与电流Jf一样产生磁效应43位移电流推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量4344位移电流由电荷守恒定律。电荷密度ρ与电场散度有关系式44位移电流由电荷守恒定律。4445位移电流两式合起来得即得JD的一个可能表示式45位移电流两式合起来得4546位移电流所以：46位移电流所以：46全电流定律：——微分形式——积分形式

全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。全电流定律：——微分形式——积分形式全电流定律2.位移电流密度电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流；在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。2.位移电流密度电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产例2.5.3海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。解：设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为其振幅值为传导电流的振幅值为故例2.5.3海水的电导率为4S/m式中的k为常数。试求：位移电流密度和电场强度。例

2.5.4自由空间的磁场强度为解自由空间的传导电流密度为0，故由式,得式中的k为常数。试求：位移电流密度和电场强度。例2.5.5铜的电导率、相对介电常数。设铜中的传导电流密度为。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。而传导电流密度的振幅值为通常所说的无线电频率是指f=300MHz以下的频率范围，即使扩展到极高频段（f=30GHz～300GHz），从上面的关系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为例2.5.5铜的电导率522.6Maxwell方程组（真空中）522.6Maxwell方程组（真空中）5253Maxwell方程组（真空中）53Maxwell方程组（真空中）5354Maxwell方程组（介质中）54Maxwell方程组（介质中）5455Maxwell方程组（介质中）55Maxwell方程组（介质中）5556Maxwell方程组（真空中）56Maxwell方程组（真空中）5657Maxwell方程组（真空中）57Maxwell方程组（真空中）5758Maxwell方程组这组方程称为麦克斯韦方程组，它反映一般情况下电荷电流激发电磁场以及电磁场内部运动的规律。在ρ和J为零的区域，电场和磁场通过本身的互相激发而运动传播。电磁场的相互激发是它存在和运动的主要因素，而电荷和电流则以一定形式作用于电磁场。58Maxwell方程组这组方程称为麦克斯韦方程组，它反映一5859Maxwell方程组麦克斯韦方程组最重要的特点是它揭示了电磁场的内部作用和运动。不仅电荷和电流可以激发电磁场，而且变化的电场和磁场也可以互相激发。因此，只要某处发生电磁扰动，由于电磁场互相激发，它就在空间中运动传播，形成电磁波。麦克斯韦首先从这方程组在理论上预言了电磁波的存在，并指出光波就是一种电磁波。以后的赫兹(Hertz)实验和近代无线电的广泛实践完全证实了麦克斯韦方程组的正确性。59Maxwell方程组麦克斯韦方程组最重要的特点是它揭示了5960Maxwell方程组麦氏方程组不仅揭示了电磁场的运动规律，更揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在，这样就加深了我们对电磁场物质性的认识。以后我们还将讨论电磁场的物质性质，逐步丰富对电磁场物质性质的认识。

60Maxwell方程组麦氏方程组不仅揭示了电磁场的运动规律60时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发。时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体——电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激在无源空间中，两个旋度方程分别为

可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的漩涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。在无源空间中，两个旋度方程分别为可以看麦克斯韦方程组时变场静态场缓变场迅变场电磁场(EM)准静电场(EQS)准静磁场(MQS)静磁场(MS)小结：麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象静电场(ES)恒定电场(SS)麦克斯韦方程组时变场静态场缓变场迅变场电磁场准静电场准静磁场解：(1)导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为d的两平行板之间的电场为E=u/d

，则例

2.6.1

正弦交流电压源连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。(1)证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r处的磁场强度。CPricu平行板电容器与交流电压源相接解：(1)导线中的传导电流为忽略边缘64与闭合线铰链的只有导线中的传导电流，故得

(2)以r为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故式中的S0为极板的面积，而为平行板电容器的电容。则极板间的位移电流为与闭合线铰链的只有导线中的传导电流例

2.6.2在无源的电介质中，若已知电场强度矢量，式中的E0为振幅、ω为角频率、k为相位常数。试确定k与ω

之间所满足的关系，并求出与相应的其它场矢量。解：是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定k与ω

之间所满足的关系，以及与相应的其它场矢量。对时间

t积分，得例2.6.2在无源由以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的H和D代入式由以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的H和

2.7电磁场的边界条件

什么是电磁场的边界条件?为什么要研究边界条件?媒质1媒质2如何讨论边界条件?实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。物理：由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。麦克斯韦方程组的微分形式在分界面两侧失去意义，必须采用边界条件。数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其解是不确定的，边界条件起定解的作用。麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。

且听下回分说！2.7电磁场的边界条件什么是电磁场的边界条件作业教材第86-87页2.24，2.26，2.29补充题3、直接给出真空中及介质中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。

补充题4、设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写Maxwell方程组，以包括磁荷密度ρm和磁流密度Jm的贡献。（设）69作业教材第86-87页69谢谢！谢谢！《电磁场与电磁波》第6讲第二章电磁场的基本规律（3）§2.5电磁感应定律和位移电流§2.6麦克斯韦方程组教师姓名：宗福建单位：山东大学微电子学院2018年3月27日《电磁场与电磁波》第6讲722.1电荷守恒定律2.2真空中静电场的基本规律2.3真空中恒定磁场的基本规律2.4媒质的电磁特性2.5电磁感应定律和位移电流2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边界条件本章讨论内容22.1电荷守恒定律本章讨论内容72本章知识脉络电磁场的源：电荷、电流（2.1）主线：亥姆霍兹定理静态场静电场的散度和旋度静磁场的散度和旋度真空中（2.2）介质中（2.4）真空中（2.3）介质中（2.4）时变场（麦克斯韦方程组）(2.5,2.6)时变场的散度和旋度边界条件(2.7)本章知识脉络电磁场的源：电荷、电流（2.1）主线：亥姆霍兹定7374上一讲复习1、磁感应强度的定义，毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，并推导出磁感应强度的散度和旋度公式。2、安培环路定律的数学表达式，并能灵活应用。4上一讲复习1、磁感应强度的定义，毕奥-萨伐尔定律的数学表达7475上一讲复习小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为

（积分形式）

（微分形式），

小结：恒定磁场是无源有旋场，磁介质中的基本方程为

（积分形式）

（微分形式）5上一讲复习小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为7576静电场的散度和旋度6静电场的散度和旋度7677静磁场的散度和旋度7静磁场的散度和旋度7778上一讲复习介质方程（媒质的本构关系）真空中8上一讲复习介质方程（媒质的本构关系）7879上一讲思考题简答9上一讲思考题简答7980上一讲思考题简答10上一讲思考题简答8081上一讲思考题简答11上一讲思考题简答8182上一讲思考题简答12上一讲思考题简答82832.1电荷守恒定律2.2真空中静电场的基本规律2.3真空中恒定磁场的基本规律2.4媒质的电磁特性2.5电磁感应定律和位移电流2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边界条件本讲讨论内容132.1电荷守恒定律本讲讨论内容8384电磁感应定律

1824年，阿拉哥曾做过一个神秘的实验：观察到，一个磁体由于在它附近转动一个铜盘而引起运动。我们知道，铜是非磁性材料，磁铁对它不起作用。14电磁感应定律1824年，阿拉哥曾做过一个神秘的实验：8485电磁感应定律

自从1820年奥斯特发现了电流的磁效应之后，人们跟着研究相反的效应，即磁场能否导致电流？早在1824年Faraday就论证过，既然电流对磁体有作用，那么磁体也应对电流有反作用。15电磁感应定律自从1820年奥斯特发现了电流的磁效应之后8586电磁感应定律

1825年，他将一根导线通以电流，这根导线紧挨着另一根与电流计相连的导线，但是没有得到结果。1828年他又做了一次没有结果的实验。但是，Faraday坚持做实验。16电磁感应定律1825年，他将一根导线通以电流，这根导线8687电磁感应定律

1831年8月，Faraday取了一个软铁环并以线圈A和B缠绕着它。线圈B跟一个电流计相连接。当线圈A和有10个电池的电池组相接时，电流计的指针震荡起来，并且最后又停在原来的位置上。在切断电源时指针又受到扰动。17电磁感应定律1831年8月，Faraday取了一个软铁8788电磁感应定律

第二天，他取了一个铁圆筒，以跟电流计相连接的螺旋线把它绕起来。然后把圆筒放在条形磁铁的两极之间。18电磁感应定律第二天，他取了一个铁圆筒，以跟电流计相连接8889电磁感应定律1831年8月，M.法拉第在软铁环两侧分别绕两个线圈，其一为闭合回路，在导线下端附近平行放置一磁针，另一与电池组相连，接开关，形成有电源的闭合回路。实验发现，合上开关，磁针偏转；切断开关，磁针反向偏转，这表明在无电池组的线圈中出现了感应电流。法拉第立即意识到，这是一种非恒定的暂态效应。19电磁感应定律1831年8月，M.法拉第在软铁环两侧分别绕8990电磁感应定律紧接着他做了几十个实验，把产生感应电流的情形概括为5类：变化的电流，变化的磁场，运动的恒定电流，运动的磁铁，在磁场中运动的导体，并把这些现象正式命名为电磁感应。20电磁感应定律紧接着他做了几十个实验，把产生感应电流的情形9091电磁感应定律进而，法拉第发现，在相同条件下不同金属导体回路中产生的感应电流与导体的导电能力成正比，他由此认识到，感应电流是由与导体性质无关的感应电动势产生的，即使没有回路没有感应电流，感应电动势依然存在。后来，楞次定律给出了感应电流方向。描述电磁感应定量规律的法拉第电磁感应定律。并按产生原因的不同，把感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种，前者起源于洛伦兹力，后者起源于变化磁场产生的有旋电场。21电磁感应定律进而，法拉第发现，在相同条件下不同金属导体回9192电磁感应定律电磁感应定律：闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比。22电磁感应定律电磁感应定律：闭合线圈中的感应电动势与通过该9293电磁感应定律线圈上的电荷是直接受到该处电场作用而运动的，线圈上有感应电流就表明空间中存在着电场。因此，电磁感应现象的实质是变化磁场在其周围空间中激发了电场，这是电场和磁场内部相互作用的一个方面。

23电磁感应定律线圈上的电荷是直接受到该处电场作用而运动的，9394电磁感应定律感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此电磁感应定律可写为

若回路L是空间中的一条固定回路，则上式中对t的全微商可代为偏微商24电磁感应定律感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此9495电磁感应定律化为微分形式后得25电磁感应定律9596电磁感应定律这是磁场对电场作用的基本规律。由可见，感应电场是有旋场。因此在一般情况下，表示静电场无旋性的必须代以更普遍的。

26电磁感应定律这是磁场对电场作用的基本规律。由9697电磁感应定律即：27电磁感应定律即：97相应的微分形式为(1)

回路不变，磁场随时间变化引起回路中磁通变化的几种情况：磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有相应的微分形式为(1)回路不变，磁场随时间变化引起回路中称为动生电动势，这就是发电机工作原理。(2)

导体回路在恒定磁场中运动称为动生电动势，这就是发电机工作原理。(2)导体回路99(3)

回路在时变磁场中运动(3)回路在时变磁场中运动100（1），矩形回路静止；xbaoyx均匀磁场中的矩形环L（3），且矩形回路上的可滑动导体L以匀速运动。例2.5.1长为a、宽为b的矩形环中有均匀磁场

垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。（2），矩形回路的宽边b=常数，但其长边因可滑动导体L以匀速运动而随时间增大；（1）101xbaoyx均匀磁场中的矩形环L

解：(1)均匀磁场

随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故xbaoyx均匀磁场中的矩形环L解：(1)102

(2)均匀磁场

为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产生的，故得或(2)均匀磁场为恒定磁场，而回103

(3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动产生的，故得(3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变104（1）线圈静止时的感应电动势；解:（1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故（2）线圈以角速度ω

绕x轴旋转时的感应电动势。例2.5.2在时变磁场中，放置有一个axb的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量与成α角，如图所示。试求：xyzabB时变磁场中的矩形线圈（1）线圈静止时的感应电动势；解:（1）线圈假定时，则在时刻t时，与y轴的夹角，故方法一：利用式计算（2）线圈绕x轴旋转时，的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。假定时，则在时上式右端第一项与(1)相同，第二项xyzabB时变磁场中的矩形线圈12234方法二：利用式计算。上式右端第一项与(1)相同，第二项xyz108位移电流

先分析非恒定电流分布的特点。

它一般不再是闭合的。例如带有电容器的电路实质上是非闭合的回路。在电容器两板之间是绝缘介质，自由电子不能通过。电荷运动到板上时，由于不能穿过介质，就在板上积聚起来。在交流电路中，电容器交替的充电和放电，但在两板之间的介质内始终没有传导电流通过。所以，电流J在该处实际上是中断的。

38位移电流先分析非恒定电流分布的特点。108109位移电流

39位移电流109110位移电流一般说来，在非恒定情况下，电荷守恒定律有

40位移电流一般说来，在非恒定情况下，电荷守恒定律有110111位移电流现在我们考察电流激发磁场的规律

取两边散度，由于▽

∙（▽×H）≡0，因此上式只有当▽

∙J=0时才可能成立。

41位移电流现在我们考察电流激发磁场的规律111112位移电流但是，在非恒定情形，一般有▽

∙J≠0，因而与电荷守恒定律发生矛盾。电荷守恒定律是精确的普遍规律，上式仅是根据恒定情况下的实验定律导出的特殊规律，在两者发生矛盾的情形下，我们应该修改上式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。

42位移电流但是，在非恒定情形，一般有▽∙J≠0，因112113位移电流推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量JD,它和电流J合起来构成闭合的量。并假设位移电流JD与电流Jf一样产生磁效应43位移电流推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量113114位移电流由电荷守恒定律。电荷密度ρ与电场散度有关系式44位移电流由电荷守恒定律。114115位移电流两式合起来得即得JD的一个可能表示式45位移电流两式合起来得115116位移电流所以：46位移电流所以：116全电流定律：——微分形式——积分形式

全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。全电流定律：——微分形式——积分形式全电流定律2.位移电流密度电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流；在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。2.位移电流密度电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产例2.5.3海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。解：设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为其振幅值为传导电流的振幅值为故例2.5.3海水的电导率为4S/m式中的k为常数。试求：位移电流密度和电场强度。例

2.5.4自由空间的磁场强度为解自由空间的传导电流密度为0，故由式,得式中的k为常数。试求：位移电流密度和电场强度。例2.5.5铜的电导率、相对介电常数。设铜中的传导电流密度为。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。而传导电流密度的振幅值为通常所说的无线电频率是指f=300MHz以下的频率范围，即使扩展到极高频段（f=30GHz～300GHz），从上面的关系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为例2.5.5铜的电导率1222.6Maxwell方程组（真空中）522.6Maxwell方程组（真空中）122123Maxwell方程组（真空中）53Maxwell方程组（真空中）123124Maxwell方程组（介质中）54Maxwell方程组（介质中）124125Maxwell方程组（介质中）55Maxwell方程组（介质中）125126Maxwell方程组（真空中）56Maxwell方程组（真空中）126127Maxwell方程组（真空中）57Maxwell方程组（真空中）127128Maxwell方程组这组方程称为麦克斯韦方程组，它反映一般情况下电荷电流激发电磁场以及电磁场内部运动的规律。在ρ和J为零的区域，电场和磁场通过本身的互相激发而运动传播。电磁场的相互激发是它存在和运动的主要因素，而电荷和电流则以一定形式作用于电磁场。58Maxwell方程组这组方程称为麦克斯韦方程组，它反映一128129Maxwell方程组麦克斯韦方程组最重要的特点是它揭示了电磁场的内部作用和运动。不仅电荷和电流可以激发电磁场，而且变化的电场和磁场也可以互相激发。因此，只要某处发生电磁扰动，由于电磁场互相激发，它就在空间中运动传播，形成电磁波。麦克斯韦首先从这方程组在理论上预言了电磁波的存在，并指出光波就是一种电磁波。以后的赫兹(Hertz)实验和近代无线电的广泛实践完全证实了麦克斯韦方程组的正确性。59Maxwell方程组麦克斯韦方程组最重要的特点是它揭示了129130Maxwell方程组麦氏方程组不仅揭示了电磁场的运动规律，更揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在，这样就加深了我们对电磁场物质性的认识。以后我们还将讨论电磁场的物质性质，逐步丰富对电磁场物质性质的认识。

60Maxwell方程组麦氏方程组不仅揭示了电磁场的运动规律130时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发。时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体——电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激在无源空间中，两个旋度方程分别为