微分几何曲面局部理论

微分几何2011.04--06

讲师沈玉萍微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第1页!第二章曲面：局部理论节参数曲面和基本形式第二节Gauss映射和第二基本形式第三节G-C方程和曲面基本定理第四节协变微分，平行移动和测地线微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第2页!第二章曲面：局部理论第二节Gauss映射和第二基本形式定义给定正则参数曲面，单位法向量对应的映射称为曲面的Gauss映射。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第3页!第二章曲面：局部理论思路：曲面在点的形状，可以由曲面上经过点的曲线的曲率来描述。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第4页!第二章曲面：局部理论命题对任意切向量，的方向导数仍然是切向量。由此定义的映射是一个对称的线性映射，即我们称为曲面在点的形状算子，或者Weingarten映射。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第5页!第二章曲面：局部理论利用向量函数的混合偏导来证明当时满足:对于，都可以写成和的线性组合，容易验证对称性成立。■

微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第6页!第二章曲面：局部理论例1是半径为，中心在原点的的球面，则在局部参数表示下Gauss映射为它的形状算子满足所以它在每点切平面上都是的数量线性变换。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第7页!第二章曲面：局部理论在点邻域上的有正则参数表示，有自然的基底，我们定义曲面的第二类基本量微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第8页!第二章曲面：局部理论如果是单位正交标架，则矩阵就是形状算子。但是一般情形下，有矩阵表示作为实对称矩阵，可以对角化，它有两个实特征值，记为和。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第9页!第二章曲面：局部理论定理（Euler公式）令为曲面在点的单位主方向，分别对应主曲率和。假设切向量，其中。则证明：略。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第10页!第二章曲面：局部理论定义如果曲面切向量确定的法截线点处的曲率为零，即我们称为在点的一个渐近方向。如果曲面上的曲线每一点的切方向都是渐近方向，那么这条曲线称为渐近线。如果曲面包含直线，则直线为渐近线。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第11页!第二章曲面：局部理论例2如图所示圆柱螺面是一个直纹面，它所有的

直母线明显都是渐近线。

另外，不太明显的，其上的一族圆柱螺线也都是渐近线。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第12页!第二章曲面：局部理论假设为曲面上一条弧长参数曲线，满足那么由之前的计算得到它给出了曲线的曲率向量在曲面的单位向量上的投影，我们称它为在点处的法曲率，记为。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第13页!第二章曲面：局部理论主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假设，则由Euler公式得法曲率的最大值和最小值出现在互相正交的方向上。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第14页!第二章曲面：局部理论定义曲面在点处的主曲率满足则称为点为曲面的脐点。特别的，称为平点。如果，且不是平点，则称为抛物点；如果，则称为椭圆点；如果，则称为双曲点。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第15页!第二章曲面：局部理论例4伪球面有参数表示其中如图它是由曳物线得到的旋转面。

微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第16页!第二章曲面：局部理论所以曲面的一个主曲率为微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第17页!第二章曲面：局部理论中曲率为零的曲面称为极小曲面，如悬链面。它的两个主曲率为相反数，因此它只有平点或者双曲点，没有椭圆点。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第18页!第二章曲面：局部理论第三节Gauss-Codazzi方程和曲面基本定理给定正则参数曲面，它的局部正则参数表示给出了的一组基底。之前的第二类基本形式基本量恰好是二阶微分向量在单位法向量上的投影。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第19页!第二章曲面：局部理论例1单位球面给定一个参数表示计算它的Christoffel记号。解：首先局部基底是微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第20页!第二章曲面：局部理论容易得到又由推出所以■微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第21页!第二章曲面：局部理论观察得到微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第22页!第二章曲面：局部理论同理微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第23页!第二章曲面：局部理论形状算子在基底下有矩阵表示这里涉及的是向量的一阶微分微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第24页!第二章曲面：局部理论由于，比较线性表示的系数得到微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第25页!第二章曲面：局部理论由上述两组等式(eq-4)和(eq-5)中法向量的系数得到的是曲面的Codazzi方程微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第26页!第二章曲面：局部理论当时，由Gauss方程我们得到（习题）定理(Gauss’sTheoremaEgregium）曲面的Gauss曲率由曲面的基本形式决定，即它在曲面的局部等距对应下保持不变。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第27页!第二章曲面：局部理论Gauss－Codazzi方程被称为曲面论的相容性方程。通过逐次微分或任何别的手段，我们不能在曲面的基本形式和第二基本形式基本量及其导数之间得到更多的关系式。事实上，基本形式和第二基本形式局部上决定了曲面。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第28页!第二章曲面：局部理论存在性：给定区域上函数满足

和Gauss－Codazzi方程，则每一点局部上存在邻域和正则参数曲面满足微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第29页!第二章曲面：局部理论第四节协变微分，平行移动和测地线曲面的内蕴几何概念之一：“平行移动”。如何比较曲面上任意两点的切向量?怎么判断它们是否平行？微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第30页!第二章曲面：局部理论于是我们可以考虑对曲面上的切向量场求关于切向量的方向导数：选取曲面上的一条参数曲线满足则注意:曲面上“居民”只看得到上述向量在曲面切平面的投影！微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第31页!第二章曲面：局部理论例1单位球面上任意一个大圆的切向量场是单位切向量场，恰好是指向球心，所以球面上大圆的切向量场沿着大圆平行。另外常向量场沿着球面的赤道平行。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第32页!第二章曲面：局部理论命题设是曲面上一条参数曲线，且，切向量。则沿着存在唯一的平行向量场使得。证明：不妨设曲线包含在某个参数表示中，有。进一步假设微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第33页!第二章曲面：局部理论是沿着的平行向量场当且仅当是下列方程组的解：由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了，使得，我们就得到唯一的平行向量场满足。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第34页!第二章曲面：局部理论例3单位球面上纬线圆，考虑向量从点出发沿着纬线逆时针的平行移动。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第35页!第二章曲面：局部理论命题假设和是沿的两个平行向量场，则内积为常数。推论平行移动保持向量的长度和夹角。证明：向量场沿平行，则与平行，则同理微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第36页!第二章曲面：局部理论曲面上以弧长为参数的测地线的曲率向量

在曲面的切平面上投影为零，即测地线在每点的主法向量与曲面的法向量平行。

这里曲线的曲率向量在曲面法向量上的投影恰好是曲线的法曲率。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第37页!第二章曲面：局部理论此时，曲率向量可以分解为其中法曲率是曲率的法分量，而是曲率的切分量，称为曲面上曲线的测地曲率（geodesiccurvature)。曲线是曲面测地线当且仅当它的测地曲率为零。例1证明球面上的大圆是测地线。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第38页!第二章曲面：局部理论证明：曲线和曲线的单位切向量为

曲线的切向量夹角满足Darboux标架中微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第39页!第二章曲面：局部理论于是定理成立。特别的，曲线和曲线的测地曲率分别为

因此Liouville公式可以改写成

■微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第40页!第二章曲面：局部理论命题在曲面上给定点和非零切向量存在和唯一的测地线满足由上面命题中的唯一性可推出球面上测地线只能是大圆；平面上的测地线只能是直线。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第41页!第二章曲面：局部理论微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第42页!第二章曲面：局部理论则的弧长满足其中是连接和的测地线弧长。平面上两点之间的连线以直线段最短。（整体）微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第43页!第二章曲面：局部理论曲面的很多几何性质体现在其Gauss映射中，例如平面的切平面不变，Gauss映射为常值函数；圆柱的切平面沿着母线不变，则Gauss映射将圆柱面映射到球面的一个圆周上；圆心在原点的球面，Gauss映射就是位置向量的单位化。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第44页!第二章曲面：局部理论定义在点由单位切方向和单位法向量决定的平面称为曲面在点由此切方向确定的法截面。法截面与曲面的交线称为曲面在点的一条法截线。假设某条法截线由弧长参数表示则它在点的主法向量为，曲率微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第45页!第二章曲面：局部理论证明假设法截线有弧长参数表示考虑到是单位向量，满足所以成立。另外关于向量自然是线性的。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第46页!第二章曲面：局部理论命题如果曲面任意一点的形状算子都是零，则是平面（的一部分）。证明由于那么对于点附近的任意一个正则参数表示有由连通性可以得出是常向量，即曲面是平面。■微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第47页!第二章曲面：局部理论对于一般的曲面，我们不容易直接写出形状算子在切平面的局部标架下的矩阵形式。但是形状算子的关于内积的对称性诱导我们定义曲面的第二基本形式特别的对于微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第48页!第二章曲面：局部理论曲面的第二基本形式局部参数表示下有对称矩阵形式类似基本形式，我们得到曲面的第二基本形式的二次微分形式微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第49页!第二章曲面：局部理论定义曲面在点处的形状算子的特征值称为曲面在此点的主曲率；对应的特征方向称为主方向。如果曲面上的曲线每一点的切方向都是主方向，那么这条曲线称为曲率线。曲面在任意点的两个主方向是正交的，于是我们可以选择了切平面的一个正交基底恰好由主方向向量构成。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第50页!第二章曲面：局部理论注意到球面在任意一点的任意方向的法截线都有相同的（非零）曲率；下图马鞍面的有些法截线恰好是直线。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第51页!第二章曲面：局部理论推论曲面在点处有渐近方向当且仅当

证明首先当且仅当是渐近方向。然后不妨设。如果，那么反过来，由，我们很容易构造渐近方向。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第52页!第二章曲面：局部理论事实上，如右图所示，在点处的沿圆柱螺线单位切向量的法截线在点为拐点。因此，圆柱螺线是圆柱螺面上的渐近线。具体计算为作业。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第53页!第二章曲面：局部理论（Meusnier公式）假设为曲面上在点的单位切向量为的一条曲线，则其中为曲线主法向量和曲面单位法向量的夹角。曲面上曲线在某一点的法曲率只取决于此点的切向量。渐近线的法曲率处处为零。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第54页!第二章曲面：局部理论下面我们介绍曲面理论中极其重要的一些概念。定义曲面在点处的两个主曲率的乘积

称为在点的Gauss曲率；主曲率的平均值称为在点的中曲率（平均曲率）。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第55页!第二章曲面：局部理论例3环面的外侧均为椭圆点，上下圆周为抛物点，内侧均为双曲点。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第56页!第二章曲面：局部理论经线是曲率线，并且在经线确定的平面上，主法向量和曲面的法向量一致。计算经线的曲率以初始曲线为例：微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第57页!第二章曲面：局部理论圆纬线是曲率线，曲率为，但这不是法曲率。由于和的夹角，利用Meusnier公式得到微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第58页!第二章曲面：局部理论中曲率为非零常数的例子：球面，圆柱面等。Gauss曲率为零的例子：平面，圆柱面，圆锥面等。Gauss曲率为非零常数的例子：球面，伪球面等。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第59页!第二章曲面：局部理论现在我们考虑上述二阶微分向量在基底下的线性表示：函数被称为Christoffel记号，满足对称性微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第60页!第二章曲面：局部理论继续求导计算微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第61页!第二章曲面：局部理论对于一般的曲面，我们考虑内积微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第62页!第二章曲面：局部理论写成矩阵形式微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第63页!第二章曲面：局部理论利用(eq-2)验证例1的结果微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第64页!第二章曲面：局部理论这保证我们能继续对等式(eq-1）继续求偏微分微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第65页!第二章曲面：局部理论同理由，比较系数得到微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第66页!第二章曲面：局部理论利用，(eq-3)，(eq-4)和(eq-5)得到的是曲面的Gauss方程微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第67页!第二章曲面：局部理论Gauss曲率的定义利用了曲面在空间的位置，但实际上却并不依赖于位置而只依赖于曲面的度量结构（基本形式）；专门研究曲面上由基本形式决定的几何学称为内蕴几何学，它在高维的推广就是Riemann几何学。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第68页!第二章曲面：局部理论曲面论基本定理唯一性：两个正则参数曲面只相差一个刚体运动，即存在使得

当且仅当它们有相同的基本形式和第二基本形式。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第69页!第二章曲面：局部理论曲面论基本定理的存在性部分要用到到偏微分方程组的解的存在定理，其中Gauss－Codazzi方程保证了对应的偏微分方程组的可积性。曲面论基本定理的唯一性部分和曲线论基本定理类似。要注意的区别是曲面的局部自然标架不是单位正交的。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第70页!第二章曲面：局部理论定义：给定正则参数曲面，向量函数称为上一个（切）向量场，如果它满足（1）（2）对于曲面任意的正则参数表示

函数都是连续可微的。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第71页!第二章曲面：局部理论定义曲面上的可微切向量场关于切向量的协变导数为给定上曲线，如果则称向量场沿参数曲线平行。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第72页!第二章曲面：局部理论例2曲面上参数曲线上对应的切向量场的协变导数恰好可以由Christoffel记号表示。在给定局部参数表示下微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第73页!第二章曲面：局部理论由于，我们计算微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第74页!第二章曲面：局部理论定义设是曲面上一条参数曲线，且起始点为。是沿的平行向量场，则向量称为沿到点的平行移动。之前的命题的存在唯一性结论保证了平行移动定义的合理性。如果曲线是正则的，则平行移动不依赖于的参数表示。微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第75页!第二章曲面：局部理论解：将单位球面Christoffel记号的计算结果带入方程(eq-1)中得到加上初始值条件，解得观察到。平行移动保持切向量的长度不变？微分几何曲面局部理论共84页，您现在浏览的是第76页!第二章曲面：局部理论平面中“直线”在曲面的推广－－“测地线”。曲面上两点之间的最短连线是什么？定义曲