集合及其相关概念提高

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。集合理论创始人称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识（element（set，确定性A是一个给定的集合，xA的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。互异性一个给定集合中的元素指属于这个集合的互不相同的对象如果aAa属于（belongto）A，记作如果aA的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作非负整数集（或自然数集N；N*N+；Z；Q；R.setset特别地，不含有任何元素的集合称为空集（emptyset，记作与辨析：这里的已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。若表示全体实数，下列AB的部分元素构成的集合，我们说BAB的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集AB的子集（subset。AB(或BBA读作：A包含于（iscontainedin）BB包含（contains）A用文氏图（Venndiagram）表示两个集合间的“包含”BAAB(或B“相等”AB且BAABAB ABB（1）若集合ABxB且xAAB的真子集（propersubset记作 B（或 读作：AB（或B注：对于一个有n个元素的有限集，它的子集、真子集、非空真子集的个数分别2n；2n1；2n（1）A{aaA}（2）,

a 12 x2 2（2）（3）

a 一，不应悖论，如（1）a属于满足“a不是其元素”的集合；互异性指集合 （3） 【答案】a b abc,a,b,cR，则集合M中的所aba ba 【答案】ab都为正、cx2ab都为正、cx4ab都为负、cx2ab都为负、cx0ab异号、cx0ab异号、cx故M 2204集合AB的所有元和为 【答案】AB0【题目】设集合Mxx3m1mZNyy3n2nZ，若xM0y0Nx0y0MNx0y0Nx0y0x0y03m1)(3n29mn6m3n23(3mn2mnx0y0Nx0y0【题目】设集合Aa1,a2,a3,a4，若A中所有三元子集的三个 【答案】A3(a1a2a3a4)135815故a1a2a3a45

（aabb

b≠0， 理数集Q是数域；数2Fa a,bQ也是数域.有下列命2 ②若有理数集QM，则数集M必为数域 1Z2②取Mab32a,bQ,对乘法3

3234M,【题目】集合Ax0x3且xZ的真子集的个数为 【答案】A3个元素，故其子集个数为23个，则真子集个数为2317个 【答案】【解析】211【题目】设集合Aa2a2B2,3，若AB，求a的取值范围【答案】aa2【解析】a2

a【题目】设A1,3,a，B1,a2a1.若B是A的真子集，则a的取值 【答案】2或-【解析】讨论：1）a2a13，解得a2a12）a2a1a，解得a1（舍）a2a1

Axx3,kZBxx6kZ，则（ AAB的真子集BBA的真子集CA【答案】

DABB，当kAAB【题目】设集合M{1,2,3,4,5,6},S1、S2、…、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：任意的

abSabijij{1,2,3,k}都有min{ai

}{aj,bj

bi

bja(min{xyx、y中的较小者k 【答案】biA{2xx2x}x【答案】x≠0【解析】解：2x≠x2得：x≠0A{2a21a2aB{07a2a52a},5AB【答案a【解析】解：1、当a215

a

或a当a2A={2，5，2}（舍去a2A={2，5，6}1 21 22、当a2a5时1 21 21 1

时，B={0，7，0（舍去a

时舍去2121 aAxax22x10xRaRA中至多有一个元素，求【答案】a0aA中只有一个元素，即方程ax22x10只有一个实根（记对二次项系数a的讨论；②A为，即方程ax22x10没有实根。（1）2（2）a00a10a综上所述，符合条件的a的值为a0a【题目】若集合A{1,1}，B{0,2}，则集合{zzxy,xA,yB}中的 【答案】【题目】设集合S{A0,A1,A2,A3}，在S上定义运算为：AiAjAk，其中k为ij被4除的余数，i,j0,1,2,3.满足关系式(xx)A2A0的x,(xS)的个数为 【答案】

xx

A2A2A3A3A2A1A1A22xS1；②若aS，则

1

S若2SS求证：若aS，则11Sa（1）

1121

aS

1

S 1

S即11a（3）

a

11

1a2a1

【题目】Axx14m36nmnZBxx2kkZ，求证AB（1）AB，14m36n2(7m7m18nZ14m36nBAB（2）再证BA2k145k365k,2k

2k

B（1（2）*ABB【题目】设a,bR,集合1,ab,a ，则ba0,a, 【答案】

a

ab

ba

故b1a

ba200（0S的所有元素的和.【答案】Sa,bcd，则(abcd23abcdA，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)card(A)表示有A中元素的个数．命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．( 【答案】的区域，故命题②A.【题目G为非空集合于给定的运算若满足1对任意abGabG（2）存在eGaGaeeaa，则称集合G关于运算为①集合G{非负整数}，运算②集合G{平面向量}，运算③集合G{二次三项式}，运算④集合G{虚数}，运算为复数的乘法．其中集合G关于运算为“融洽集”的是【解析】非空集合G关于运算满足（1）对任意abG，都有abGG非负整数为整数的加法abG，都有abG，且令e0，a00aa，所以①符合要求；G平面向量为平面向量的加法,取e0G二次三项式为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三这样G关于运算为“融洽集【题目】已知集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|0≤x≤1}，BA，则（B．BC．A=D【答案】【题目】已知集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|a≤x≤2a−1}，BA，则a的取值范 【答案】a≤（1）.BBA的子集，此时a>2a1 𝑎≥2𝑎−1≤

，即1≤a≤综上所述，a的取值范围是a≤【题目】已知集合M={x|x=2k1k∈Z}，集合P={x|x=4k1，k∈Z}，则（A.M⊊ B.M⊋C.M 【答案】PM【题目】已知集合M={x|x=2k1k∈Z}，集合P={x|x=4k1，k∈Z}，则（A.M B.P C.M 【答案】kZ时，4k±1P是M另外，若x∈M，则存在n∈Zn是偶数（n=2k)x=4k+1;n是奇数（n=2k-1)x=2(2k-+1=4k-1M是P的子集。P=M【题目】已知∅≠{x|𝑥2−𝑥+𝑎=0}，则实数a的取值范围 【答案】a≤4【解析】{x|𝑥2−𝑥𝑎=0}不是空集，即方程有解，∆=(−1)2−4a≥0a≤4A={—1,1}，集合Bx|𝑥