数值分析-第五章插值与拟合

第五章插值与拟合本章主要内容：

1、拉格朗日插值方法

2、牛顿插值方法

3、埃尔米特插值方法

4、曲线拟合作用：由物理量离散的分布近似得到其连续的变化规律。

实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题：（1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计算时，计算量会很大；（2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的函数值可能不在该表格中。对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单的函数来近似代替，这就是插值问题。

问题背景5.1插值的基本概念定义：已知定义于区间上的实值函数在个互一、问题的引出异节点处的函数值，这里构造一个函数P(x)，满足（5-1）作为函数y=f(x)的近似，称这样的问题为插值问题。满足关系式（5-1）的P(x)为f(x)的插值函数，f(x)为被插值函数，

[a,b]为插值区间，为插值节点，（5-1）式为插值条件。插值类型代数插值：插值函数P(x)为多项式函数x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)几何意义：有理插值：插值函数P(x)为有理分式函数三角插值：插值函数P(x)为三角函数按照所选取的差值函数的类型，可将插值分为二、插值多项式的存在唯一性设插值多项式为代入插值条件：要证插值多项式存在唯一，只要证上述n+1元线性方程组的解存在唯一。由于系数行列式是范德蒙行列式定理5-1：满足插值条件(5-1)的不超过n次的插值多项式是唯一存在的.因此方程组存在唯一解。从而有下述定理注：由定理知，要得到n次的插值多项式，必须给定关于函数f(x)的n+1

个条件！

定理5.2其中．

的区间[a,b]上若在包含着插值节点与有关的

次可微，则对任意,存在使得

(5-2)称Rn(x)为插值多项式Pn(x)的余项（截断误差）三、插值余项证当x=xi

(i=0,1,…,n)时，Rn(xi)=f(xi)-Pn(xi)=0,而

wn+1(xi)=0,所以（5-2）式成立。则g(t)在[a,b]上n+1次可微。显然，t

=x,x0,x1,…,xn是g(t)的n+2个互异的零点。由罗尔(Rolle)定理可知，在g(t)的每两个零点之间至少存在一个g’(t)的零点，因此g’(t)在(a，b)内至少有n+1个零点。反复对g’(t),

g’’(t),

…,

g(n)(t)用罗尔定理，得到g’’(t)至少有个n零点，g’’’(t)至少有个n-1零点,…,g(n+1)(t)至少有一个零点，即至少存在一点由于因而有一、线性插值(n=1)5.2拉格朗日(Lagrange)插值首先从低次的代数插值谈起————给定两个点(x0,y0)和(x1y1),且x0≠x1,构造一次多项式L1(x)，使其满足条件:

L1(x0)=y0,

L1(x1)=y1.由直线的两点式可知：,解之，得进一步可改写成:其中并称是的插值基函数，他们具有如下性质：注意：只与插值节点有关，而与函数值无关！！二、抛物插值(n=2)构造，使满足：此时有三个插值节点，仿照前一情形，这里称为二次插值基函数，只与有关，且满足：由插值条件可求得类似的，所要寻求的多项式可以写成如下形式由条件可知,

其中A为待定系数。又由，可得从而，同理，是的两个根，从而下面我们以为例来确定出：三、n次拉格朗日插值多项式设x0,x1,…,xn是[a,b]上的n+1个互异点，取与节点有关，而与f无关显然li(x)是一个n次多项式，且有称为n次Lagrange插值基函数．(5-3)拉格朗日多项式令则Ln(x)为次数不超过n次的多项式，且满足插值条件：称由（5-4）确定的Ln(x)为n次拉格朗日插值多项式。(5-4)若记

插值基函数的个数=插值节点的个数；注意：

插值基函数的次数=插值节点的个数-1；

插值基函数决定着插值多项式满足插值条件；

插值基函数与插值节点的次序无关。例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。（2）拉格朗日插值多项式结构对称，形式简单.（3）误差估计式注：（1）若不将多项式次数限制为n

，则插值多项式不唯一。（4）当插值节点增加时，拉氏基函数需要重新计算，

n

较大时，计算量非常大，故常用于理论分析。测试:

给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是l2(x)的图像？

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

ABC，并利用计算出

的近似值

解

首先计算插值基函数：

求

的二次Lagrange插值多项式

例1的如下函数值：

已知函数于是

例2：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange

插值计算sin50并估计误差。sin50=0.7660444…解n=1分别利用x0,x1

以及x1,x2

计算利用这里而外插

/*extrapolation*/

的实际误差0.0101sin50=0.7660444…利用sin50

0.76008,内插

/*interpolation*/

的实际误差0.00596高次插值通常优于低次插值n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…二次插值的实际误差0.00061但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……5.3

牛顿插值拉格朗日插值虽然结构简单，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)

都需重新算过。将Ln(x)改写成的形式，希望每加一个节点，只附加一项上去即可。????一、差商的定义1阶差商2阶差商给定函数f(x)在n+1个互异节点处的函数值，称一般地，可定义

k阶差商：差商的值与插值节点xi

的顺序无关！即f(x)的k-1阶差商的差商称为f(x)的k

阶差商。此外补充定义，为零阶差商。二、差商性质性质1即其中证明：用数学归纳法n=1n=2由数学归纳法知，结论成立。性质3此性质给出了n

阶差商和n

阶导数的关系。性质2差商具有对称性，即的值与节点的顺序无关。由性质1即得。推论设f(x)为n次多项式，则f(x)的n阶差商为常数，而f(x)的n+1阶差商恒为零。设f(x)为n次多项式，则f(x)的一阶差商f[x,

xi]是x的n-1次多项式。推论性质4证设f(x)为n次多项式，则f(x)的k阶差商是n-k次多项式12…………n+1将上述各式逐次由后一式代入上一式可得

Nn(x)Rn(x)3三、牛顿插值多项式由差商的定义设为n+1个互异节点，且求满足插值条件：于是有显然,

Nn(x)为次数不超过n次多项式，且有Nn(x)为f(x)关于节点x,x,…,x的n次插值多项式，称为牛顿插值插值余项

牛顿插值多项式的递推公式增加一个节点，只需在的基础上，增加计算即可。注：由插值多项式的唯一性可知只是算法不同，故其插值余项也相同，即

计算牛顿插值多项式关键是计算差商f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]……f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

xn+1

f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)x0x1x2…xn1xn（建立差商表）解首先利用均差表计算均差由上面的均差表可知，故所求的插值多项式为：例4已知f(0)=2,f(1)=-3,f(2)=-6,f(3)=11,求f(x)的3次插值多项式。例5：已知函数的函数表：

xi12345yi=f(xi)14786写出4次牛顿插值多项式。解：构造差商表例3已知求关于上述节点组的插值多项式解首先利用均差表计算均差由上面的均差表可知，故所求的插值多项式为：

四、等距节点插值公式当节点等距分布时:称为在点处的阶向前差分称为在点处的阶向后差分向前差分向后差分差分性质性质1差分与差商的关系其中证明：用数学归纳法k=1当k=j+1设k=j时结论成立即性质1对任意整数k成立性质2差分与导数的关系其中存在证明：且

等距节点的牛顿插值公式牛顿向前插值公式当插值点位于插值区间左端点附近时令上述公式中用差分代替差商称之为牛顿向前插值公式。插值余项牛顿向后插值公式当插值点位于插值区间右端点附近时

令将节点顺序倒置：上述公式中用差分代替差商称之为牛顿向后插值公式。注：一般当x

靠近x0时用前插公式，靠近xn时用后插公式。插值余项例4：已知函数的函数表：

xi0.40.50.6yi=f(xi)0.389420.479430.56464分别利用牛顿前插和后插公式计算的近似值。精确值0.解：构造差分表牛顿前插公式牛顿后插公式精确值0.5.4

埃尔米特插值

不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即：要求插值函数满足，i=0,1,…,n对于埃尔米特插值问题，主要讨论下面的特殊情形：称上述问题为一般情形的埃尔米特插值问题。问题：已知函数在互异节点处的函数值以及导数值,要构造不超过2n+1次的多项式,满足如下的2n+2个条件一、一般情形的埃尔米特插值多项式的构造思想类似于拉格朗日插值多项式的构造方法，即通过构造一组插值基函数来表示埃尔米特插值多项式。

设满足前述2n+2个条件的插值多项式为其中，满足的计算方法：和均为2n+1次多项式，且有n个二重根和令其中代入条件解之得从而得到插值基函数再求另一组插值基函数,令利用条件:可以确定:

代入得到一般情形的埃尔米特插值多项式其中余项为x0x1x2x3x4xH9(x)

f(x)

一般情形的埃尔米特插值多项式几何意义如n=1时，埃尔米特插值多项式为012

123-101应用埃尔米特插值计算的近似值。例1：已知函数在点数据表：解：二、导数值不完全的Hermite插值

Hermite插值问题中，还有只在部分节点处给定其导数值的情形。例如，已知求三次插值多项式H3(x),使得再如，已知求三次插值多项式H3(x),使得对于上述这类导数值不完全的Hermite插值，其插值多项式的构造可分成两步来进行：1、由给定的函数值构造出相应的插值多项式；2、在所构造出的插值多项式的基础上，加入导数值构造出带导数值的插值多项式。例给定求三次插值多项式H3(x)。解

第1步：由3个函数值f0,

f1,

f2,构造二次插值多项式P2(x).第2步：令其中λ为待定常量.显然有H3(xi)=f(xi),

i=0,1,2.下面利用5