数字信号处理北京化工大学第5章

数字滤波器的基本结构第五章数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第1页!§5-1数字滤波器结构的表示方法

一.

数字滤波器的概念 滤波器：指将输入信号变换为需要形式（滤波）的装置。数字滤波器：输入输出信号都为数字信号的滤波器。

当滤波器为LSI系统时：

对其进行傅氏变换得:

数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第2页!

为矩形窗πωcω00πωωc0ωπωc例：输入信号经低通滤波器滤波数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第3页!二.数字滤波器的系统函数与差分方程H(z)X(z)Y(z)1.系统函数：变换形式：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第4页!三.滤波器的实现

两种方法：（1）利用通用计算机编程，即软件实现;

（2）数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第5页!

x(n)b0b0x(n)

y(n)例：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第6页!例：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第7页!1例如，下图中的7个节点和节点：1，5；分支节点：2，3，4；源节点：6；阱节点：7235467数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第8页!二、基本结构

1、直接I型

IIR滤波器的系统函数为

相应的差分方程为（N阶）

数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第9页!特点:

个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:

图中包含了输出到输入的反馈。(2)共需（M+N）个存储延时单元。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第10页!对直接I型交换两子系统的先后顺序得到：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第11页!练习题：画出下面系统函数的直接Ⅱ型结构图。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第12页!直接Ⅱ型结构的优点：只需N个延时单元（一般满足），因而比直接Ⅰ型延时单元少，所以它可以节省存储单元（软件实现），或节省寄存器（硬件实现）。直接型的缺点：1）系数、对滤波器的的性能控制作用不明显。这是因为它们与系统函数的零、极点关系不明显。2）极点对系数的变化过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第13页!将共轭因子展开，构成实系数二阶因子，则得分子取正号分母取负号，是为了流图上的系数均为正。

将两个一阶因子也组合成二阶因子，则就可以完全分解成实系数的二阶因子形式数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第14页!整个滤波器则是的级联例：M=N=2A数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第15页!优点：仅影响第k对零点，同样仅影响第k对极点，便于调节滤波器的频率特性。所用的存储器的个数最少。Az-1数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第16页!练习题：画出下面系统函数的级联型结构图。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第17页!4.并联型

将H(z)展成部分分式形式：其中，均为实数，与是一对共轭极点；当M<N时，不包含项；M=N时，该项为G0

。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第18页!

为了结构上的一致性，一般将一阶实极点也组合成实系数二阶多项式，并将共轭极点对也化成实系数二阶多项式，当M＝N时，有式中表示取的整数部分。当N为奇数时，包含一个一阶节，此节点有:数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第19页!特点：（1）不易调整零点：并联型可以用调整的办法来单独调整一对极点的位置，但是不能像级联型那样单独调整零点的位置。（2）没有误差传递：各并联基本节的误差相互没有影响，所以比级联型的误差一般来说要稍小一些。因此在要求准确的传输零点的场合下，宜采用级联结构；而在要求误差较小时，宜采用并联结构。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第20页!转置后的网络：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第21页!练习（不用交）：

P220:1,2,3数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第22页!

设FIR滤波器的单位冲激响应为一个N点序列，对于因果系统，可设其非零范围为则系统函数为可看出，它有（N-1）阶极点在z=0处，有（N-1）个零点位于有限z平面上。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第23页!用转置定理可得另一种形式：h(N-1)h(N-2)h(N-3)h(2)h(1)h(0)数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第24页!特点：

（1）每一节可控制一对零点，因而在需要控制传输零点时，可采用它。（2）所需的系数比卷积型的系数h(n)要多，乘法次数也要多。将每一个二阶因子用横截型结构实现：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第25页!部分：这是一个FIR子系统的，由N节延时单元构成：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第26页!幅度响应为相角为数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第27页!第二部分：它由N个一阶网络并联而成。其中每一个一阶网络令分母为零，即可求得极点为因此，是谐振频率为的谐振器。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第28页!

N个并联谐振器与梳状滤波器级联，并

考虑到系数就得到如下频率抽样结构：

数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第29页!

缺点：（1）运算量大、存储量大。结构中所乘的系数及都是复数，增加了乘法次数和存储量。（2）可能不稳定。所有极点都在单位圆上，由系数决定，这样，当系数量化时，这些极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消。如果极点移到了z平面单位圆外，系统就不稳定了。（零点由确定，不受字长效应影响）数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第30页!

合并简化结构：利用、的共轭对称性，可以将共轭极点的两个谐振器合并为实系数二阶子系统。N为偶数的合并后频率抽样结构如下所示。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第31页!当足够长时，用这种结构计算线性卷积要快的多。这里的DFT和IDFT均可以利用FFT算法。h(n)L点DFTL点DFTX(k)H(k)Y(k)L点IDFT注意：x(n)、h(n)的长度分别为，这里的L应满足数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第32页!线性相位条件：对于单位抽样响应，如果满足偶对称或奇对称则该系统为线性相位系统。注：其对称中心在处。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第33页!在第二个式中，令n=N-1-m，再将m换成n，可得（1）当N为奇数时：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第34页!N为奇数时线性相位FIR滤波器的直接型结构偶对称时取+1

奇对称时取-1，且即连线断开数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第35页!代入线性相位条件可得

由此式可画出下图

N为偶数时线性相位FIR滤波器的直接型结构（偶对称时取+1，奇对称时取-1）数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第36页!2.差分方程：对上式进行z反变换即得。

3.滤波器的功能：

滤波就是对输入序列进行一定的运算操作，从而得到输出序列。实现滤波需要三种运算：加法、单位延迟、乘常数。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第37页!四.数字滤波器结构的表示法1、方框图法

三种基本运算如下图所示：

单位延时:

乘常数:

(n)

z-1

a相加:数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第38页!2、信号流图法单位延时：乘常数：相加：优点：更加简单方便。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第39页!

几个概念：

a）输入节点或源节点：所处的节点。

b）输出节点或阱节点：所处的节点。

c）分支节点：有一个输入，一个或多个输出的节点。将值分配到每一支路。

d）相加器（节点)或和节点：有两个或两个以上输入的节点。

注：支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1；任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。

数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第40页!§5-2无限长单位冲激响（IIR）滤波器的基本结构一、IIR滤波器的特点

1、单位冲激响应h(n)是无限长的。

2、系统函数H(z)在有限z平面（）上有极点存在。

3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第41页!

结构流图：按差分方程可以直接画出。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第42页!2、直接II型（典范型）

h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)章学过：(P25)=含义：两个级联的子系统交换顺序，系统函数不变。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第43页!证明系统函数没有变化：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第44页!数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第45页!3、级联型将系统函数按零、极点进行因式分解：其中一阶因式表示实根，

为实零点，

为实极点；二阶因式表示复共轭根，表示复共轭零点，表示复共轭极点。

M=M1+2M2，N=N1+2N2。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第46页!

表示为若干个的乘积，即使说的运算结构可以用各的级联实现。级联的节数：当M=N时，节数为。如果有奇数个实零点，则有一个等于零；如果有奇数个极点，则有一个等于零。二阶基本节一阶基本节数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第47页!当（M=N=4）时当（M=N=6）时数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第48页!注意：（1）分解方案多。当M=N时，分子、分母中二阶因子配合成基本二阶节方案有！种，而各二阶基本节的排列次序，也可以有！种。不同方案的系数灵敏度不同，因而对于配合与排列次序存在着优化问题。（2）注意各级输出的幅度大小。变量值不能太大或太小：太大会产生溢出，太小则会降低信噪比。所以，级联各节之间，要有电平的放大与缩小。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第49页!数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第50页!

一般IIR滤波器皆满足的条件，上式表示系统是由个一阶系统、个二阶系统以及延时加权单元并联组合而成的。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第51页!例：M=N=3，为奇数，故其结构图如下：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第52页!三、转置定理

如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入和输出交换，则其系统函数不改变。（原网络）例：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第53页!输入在左、输出在右的习惯形式：数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第54页!§

5-3有限长单位冲激响应FIR滤波器的基本结构一、FIR滤波器的特点：1.有限长：h(n)在有限个n值处不为零。极点全在原点：H(z)在处收敛，在处（有限z平面）只有零点，而全部极点都在z＝０处。非递归结构：可以没有输出到输入的反馈，但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第55页!

系统的差分方程为二、基本结构1、横截型（也称为卷积型、直接型）h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第56页!2、级联型

将H(z)分解为实系数二阶因子的乘积形式其中表示取N/2的整数部分。N为偶数时，N-1为奇数，这时因为有奇数个零点，所以中有一个为零。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第57页!3、频率抽样型

在第三章中讨论过用

表示的内插公式为其中的为滤波器频率特性的抽样，对此式的实现称为频率抽样型结构。这种结构由两部分级联组成。（P112式3-90）数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第58页!

分析其特性：

令

则有

即在单位圆上有N个等间隔角度的零点，它的频率响应为数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第59页!其幅度相应：由于具有梳状特性，所以称其为梳状滤波器。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第60页!说明：

一个谐振器的极点正好与梳状滤波器的一个零点相抵消，从而使这个频率（）上的频率响应等于。这样，N个谐振器的N个极点就和梳状滤波器的N个零点相互抵消，从而在N个频率抽样点的频率响应就分别等于N个值。数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第61页!频率抽样结构的优点：

1、特性控制方便。系数就是滤波器在

处的响应，因此控制滤波器的频率响应很方便。

2、通用性强。零、极点数目只取决于单位抽样响应

的点数，因而，只要单位冲激响应点数相同，利

用同一梳状滤波器、同一结构而只有加权系数不

同的谐振器，就能得到各种不同的滤波器。

数字信号处理北京化工大学第5章共69页，您现在浏览的是第62页!

修正的频率抽样型结构：

将所有零、极点都移到单位圆内某一靠近单位圆、半径为r（r小于或近似于1）的圆上。

修正后的系统函数为这样，即使零极点不能抵消，也不会不稳定。数字信号处理北京化工大学第5章共69