积分总复习13半期考课件

第一换元法第二换元法分部积分法几种特殊类型函数的积分一、不定积分主要内容基本积分公式12/13/20221福州大学数学与计算机学院第一换元法分部几种特殊类型一、不定积分主要内容基本积分公式2、不定积分1、原函数12/13/20222福州大学数学与计算机学院2、不定积分1、原函数12/12/20222福州大学数学与计微分运算与求不定积分的运算是互逆的.不定积分的线性性质12/13/20223福州大学数学与计算机学院微分运算与求不定积分的运算是互逆的.不定积分的线性性质12/3、基本积分表是常数)12/13/20224福州大学数学与计算机学院3、基本积分表是常数)12/12/20224福州大学数学与计12/13/20225福州大学数学与计算机学院12/12/20225福州大学数学与计算机学院5、第一类换元法4、直接积分法第一类换元公式（凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.12/13/20226福州大学数学与计算机学院5、第一类换元法4、直接积分法第一类换元公式（凑微分法）由定常见类型:12/13/20227福州大学数学与计算机学院常见类型:12/12/20227福州大学数学与计算机学院6、第二类换元法第二类换元公式12/13/20228福州大学数学与计算机学院6、第二类换元法第二类换元公式12/12/20228福州大学常用代换:12/13/20229福州大学数学与计算机学院常用代换:12/12/20229福州大学数学与计算机学院12/13/2022福州大学数学与计算机学院10三、分部积分法公式形如：取u=Pn(x),其余部分当作dv=vdx形如:取dv

=Pn(x)dx,其余部分当作

u12/13/202210福州大学数学与计算机学院12/12/2022福州大学数学与计算机学院10三、分部积分12/13/2022福州大学数学与计算机学院11形如:可把任一项取为u

，其余部分当作

dv一般要连续分部两次再把所求的不定积分用解方程方法求得。12/13/202211福州大学数学与计算机学院12/12/2022福州大学数学与计算机学院11形如:可把任9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的待定系数法12/13/202212福州大学数学与计算机学院9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式四种类型分式的不定积分12/13/202213福州大学数学与计算机学院四种类型分式的不定积分12/12/202213福州大学数学与此两积分都可积,后者有递推公式12/13/202214福州大学数学与计算机学院此两积分都可积,后者有递推公式12/12/202214福州大（2）简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号．12/13/202215福州大学数学与计算机学院（2）简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号令（3）三角函数有理式的积分定义由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为12/13/202216福州大学数学与计算机学院令（3）三角函数有理式的积分定义由三角函数2.定积分的几何意义二、定积分1.定义3.定积分存在的充分必要条件12/13/202217福州大学数学与计算机学院2.定积分的几何意义二、定积分1.定义3.定积分存在的充分必12/13/202218福州大学数学与计算机学院12/12/202218福州大学数学与计算机学院12/13/202219福州大学数学与计算机学院12/12/202219福州大学数学与计算机学院四、可积函数类

注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。

12/13/202220福州大学数学与计算机学院四、可积函数类注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍则对任意给定的1、线性性质五、定积分的性质12/13/202221福州大学数学与计算机学院则对任意给定的1、线性性质五、定积分的性质12/12/202性质2（乘积可积性）补充：不论的相对位置如何,上式总成立.性质3(积分区间可加性)设f(x)在[a,b]可积，a<c<b,则f(x)在[a,c]及[c,b]可积，反之亦然。且有下式成立12/13/202222福州大学数学与计算机学院性质2（乘积可积性）补充：不论的相对位性质4(保号性)如果在区间上，则有性质5(保序性)性质6(积分估计)

：12/13/202223福州大学数学与计算机学院性质4(保号性)如果在区间上，则有性质5注意：反之不成立。例如性质7(绝对可积性)12/13/202224福州大学数学与计算机学院注意：反之不成立。例如性质7(绝对可积性)12/12/202（积分第一中值定理）性质812/13/202225福州大学数学与计算机学院（积分第一中值定理）性质812/12/202225福州大学数性质9′（定积分第一中值定理的推论）积分中值公式另一个特殊情况：

第一积分中值定理的结论就变成了12/13/202226福州大学数学与计算机学院性质9′（定积分第一中值定理的推论）积分中值公式另一个特殊情1、积分上限函数性质六、微积分基本公式定理112/13/202227福州大学数学与计算机学院1、积分上限函数性质六、微积分基本公式定理112/12/202、牛顿—莱布尼茨公式12/13/202228福州大学数学与计算机学院2、牛顿—莱布尼茨公式12/12/202228福州大学数学与定理七、定积分换元积分法则有12/13/202229福州大学数学与计算机学院定理七、定积分换元积分法则有12/12/202229福州大学

八、定积分的分部积分法12/13/202230福州大学数学与计算机学院八、定积分的分部积分法12/12/202230福州大学常用性质和公式：12/13/202231福州大学数学与计算机学院常用性质和公式：12/12/202231福州大学数学与计算机为正偶数为大于1的正奇数12/13/202232福州大学数学与计算机学院为正偶数为大于1的正奇数12/12/202232福州大学数学九、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形12/13/202233福州大学数学与计算机学院九、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数12/13/202234福州大学数学与计算机学院如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函极坐标情形12/13/202235福州大学数学与计算机学院极坐标情形12/12/202235福州大学数学与计算机学院(2)体积xyo12/13/202236福州大学数学与计算机学院(2)体积xyo12/12/202236福州大学数学与计平行截面面积为已知的立体的体积12/13/202237福州大学数学与计算机学院平行截面面积为已知的立体的体积12/12/202237福州大(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为12/13/202238福州大学数学与计算机学院(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为12C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo12/13/202239福州大学数学与计算机学院C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo12/12/2质心(重心)

1、平面曲线段的质心(重心)

设有一平面曲线段L，其密度函数为

(x)，设

(x)在L上连续，则由得平面曲线段的重心

为.12/13/202240福州大学数学与计算机学院质心(重心)

1、平面曲线段的质心(重心)设有一平弧长微分弧长2、直角坐标情形12/13/202241福州大学数学与计算机学院弧长微分弧长2、直角坐标情形12/12/202241福州大学

平面曲线段的质心为:12/13/202242福州大学数学与计算机学院平面曲线段的质心为:12/12/202242福州大学数3、参数方程情形12/13/202243福州大学数学与计算机学院3、参数方程情形12/12/202243福州大学数学与计算机12/13/202244福州大学数学与计算机学院12/12/202244福州大学数学与计算机学院第一换元法第二换元法分部积分法几种特殊类型函数的积分一、不定积分主要内容基本积分公式12/13/202245福州大学数学与计算机学院第一换元法分部几种特殊类型一、不定积分主要内容基本积分公式2、不定积分1、原函数12/13/202246福州大学数学与计算机学院2、不定积分1、原函数12/12/20222福州大学数学与计微分运算与求不定积分的运算是互逆的.不定积分的线性性质12/13/202247福州大学数学与计算机学院微分运算与求不定积分的运算是互逆的.不定积分的线性性质12/3、基本积分表是常数)12/13/202248福州大学数学与计算机学院3、基本积分表是常数)12/12/20224福州大学数学与计12/13/202249福州大学数学与计算机学院12/12/20225福州大学数学与计算机学院5、第一类换元法4、直接积分法第一类换元公式（凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.12/13/202250福州大学数学与计算机学院5、第一类换元法4、直接积分法第一类换元公式（凑微分法）由定常见类型:12/13/202251福州大学数学与计算机学院常见类型:12/12/20227福州大学数学与计算机学院6、第二类换元法第二类换元公式12/13/202252福州大学数学与计算机学院6、第二类换元法第二类换元公式12/12/20228福州大学常用代换:12/13/202253福州大学数学与计算机学院常用代换:12/12/20229福州大学数学与计算机学院12/13/2022福州大学数学与计算机学院54三、分部积分法公式形如：取u=Pn(x),其余部分当作dv=vdx形如:取dv

=Pn(x)dx,其余部分当作

u12/13/202254福州大学数学与计算机学院12/12/2022福州大学数学与计算机学院10三、分部积分12/13/2022福州大学数学与计算机学院55形如:可把任一项取为u

，其余部分当作

dv一般要连续分部两次再把所求的不定积分用解方程方法求得。12/13/202255福州大学数学与计算机学院12/12/2022福州大学数学与计算机学院11形如:可把任9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的待定系数法12/13/202256福州大学数学与计算机学院9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式四种类型分式的不定积分12/13/202257福州大学数学与计算机学院四种类型分式的不定积分12/12/202213福州大学数学与此两积分都可积,后者有递推公式12/13/202258福州大学数学与计算机学院此两积分都可积,后者有递推公式12/12/202214福州大（2）简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号．12/13/202259福州大学数学与计算机学院（2）简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号令（3）三角函数有理式的积分定义由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为12/13/202260福州大学数学与计算机学院令（3）三角函数有理式的积分定义由三角函数2.定积分的几何意义二、定积分1.定义3.定积分存在的充分必要条件12/13/202261福州大学数学与计算机学院2.定积分的几何意义二、定积分1.定义3.定积分存在的充分必12/13/202262福州大学数学与计算机学院12/12/202218福州大学数学与计算机学院12/13/202263福州大学数学与计算机学院12/12/202219福州大学数学与计算机学院四、可积函数类

注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。

12/13/202264福州大学数学与计算机学院四、可积函数类注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍则对任意给定的1、线性性质五、定积分的性质12/13/202265福州大学数学与计算机学院则对任意给定的1、线性性质五、定积分的性质12/12/202性质2（乘积可积性）补充：不论的相对位置如何,上式总成立.性质3(积分区间可加性)设f(x)在[a,b]可积，a<c<b,则f(x)在[a,c]及[c,b]可积，反之亦然。且有下式成立12/13/202266福州大学数学与计算机学院性质2（乘积可积性）补充：不论的相对位性质4(保号性)如果在区间上，则有性质5(保序性)性质6(积分估计)

：12/13/202267福州大学数学与计算机学院性质4(保号性)如果在区间上，则有性质5注意：反之不成立。例如性质7(绝对可积性)12/13/202268福州大学数学与计算机学院注意：反之不成立。例如性质7(绝对可积性)12/12/202（积分第一中值定理）性质812/13/202269福州大学数学与计算机学院（积分第一中值定理）性质812/12/202225福州大学数性质9′（定积分第一中值定理的推论）积分中值公式另一个特殊情况：

第一积分中值定理的结论就变成了12/13/202270福州大学数学与计算机学院性质9′（定积分第一中值定理的推论）积分中值公式另一个特殊情1、积分上限函数性质六、微积分基本公式定理112/13/202271福州大学数学与计算机学院1、积分上限函数性质六、微积分基本公式定理112/12/202、牛顿—莱布尼茨公式12/13/202272福州大学数学与计算机学院2、牛顿—莱布尼茨公式12/12/202228福州大学数学与定理七、定积分换元积分法则有12/13/202273福州大学数学与计算机学院定理七、定积分换元积分法则有12/12/202229福州大学

八、定积分的分部积分法12/13/202274福州大学数学与计算机学院八、定积分的分部积分法12/12/202230福州大学常用性质和公式：12/13/202275福州大学数学与计算机学院常用性质和公式：12/12/202231福州大学数学与计算机为正偶数为大于1的正奇数12/13/202276福州大学数学与计算机学院为正偶数为大于1的正奇数12/12/202232福州大学数学九、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形12/13/202277福州大学数学与计算机学院九、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数12/13/202278福州大学数学与计算机学院如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函极坐标情形12/13/202279福州大学数学与计算机学院极坐标情形12/12/