2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析

2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析xxx公司2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析卷I（选择题）一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分，）

1.已知集合A={x|-1<x<1}，B={x|x2-2x≤0}，则A.[0,1) B.[-1,2] C.[-2,1) D.(-1,0]

2.复数z满足(1+i)z=2i，则复数z在复平面内对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.在矩形ABCD中，|AB→|=4，|AD→|=2A.12 B.6 C.45 D.

4.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20∼30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．

如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；

②从2010年至2020年为“老龄型”人口；

③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．

其中正确的是（）

A.②③ B.①③ C.② D.①②

5.已知定义域为I的偶函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，且∃x0∈I，A.f(x)＝x2+|x| B.f(x)＝2x-2-x

6.平面α，β和直线m，给出条件：①m⊂α；②m⊥α；③m // α；④α // β；⑤α⊥β．为使m // β，应选择下面四个选项中的条件（）A.①⑤ B.①④ C.②⑤ D.③⑤

7.函数f(x)=sin2x+A.π4 B.π2 C.π

8.已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e|PFA.22 B.12 C.

9.曲线f(x)=ex+x在A.(1+e)x-y=0 B.ex-y+1=0

C.(1+e)x+y-2(1+e)=0 D.x-(1+e)y=0

10.设△ABC的内角A，B，C，满足2sin2Asin2B+A.-32 B.-12 C.

11.在平面直角坐标xOy中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上，且圆M与直线x+y-1=0相切于点P(2，-1).(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l

12.已知函数f(x)=a-x,x<-1(1-2a)x+3a,x≥-1 ，对任意的x1，xA.(0,14] B.(0,12) C.卷II（非选择题）二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，）

13.已知实数x，y满足约束条件y-x≤0,x+y-1≤0,y+1≥0, 则

14.如果两组数a1，a2，…an和b1，b2，…bn的平均数分别是a和b，那么一组数a

15.在△ABC中，若b=23，B=30∘，则

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，他的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.

三、解答题（本题共计7小题，共计80分，）

17.(12分)已知公比大于1的等比数列an的前n项和为Sn，a1(1)求an(2)设bn=2n+1an，求数列b

18.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PA=AB=1，PA⊥平面ABCD，E为棱PB上一点，PD // 平面ACE，过E作PC的垂线，垂足为F．

(I)求证：PC⊥平面AEF；

(II)求三棱锥P-AEF的体积．

19.(12分)新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心，某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此次战“疫”进行了持续、深入的宣传，帮助全体市民深入了解新冠病毒．增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新冠病毒及防控知识的了解程度．该市推出了相关知识问卷，随机抽取了年龄在15∼75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21.其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2:1.

(1)求图中a,b的值；(2)现采用分层抽样在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少？

(3)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加全面了解防控的相关知识？

了解全面了解不够全面合计青少年人中老年人合计附：参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率等于12，该椭圆的一个长轴端点恰好是抛物线y2＝16x（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线x＝2与椭圆C的两个交点记为P、Q，其中点P在第一象限，点A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21.(12分)设定义在R上的函数f(x)＝a0x4+a1x3+a2x2+a3（1）求y＝f(x)的表达式；（2）试在函数y＝f(x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在[-2（3）设xn=2n-1

22.(10分)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，C的直角坐标分别为2,23，2,0，若直线l经过点O，A，圆C以点C为圆心且经过极点O．(1)求直线l和圆C的极坐标方程；(2)若点B为圆C上的一动点，求△AOB面积的最大值．

23.(10分)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|．（1）当a=0时，解不等式f(x)≤3；（2）若关于x的不等式f(x)≥|x-3|在R上恒成立，求实数a的取值范围．

文科数学（一）参考答案与试题解析一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1.【解答】解：∵A={x|-1<x<1},

B={x|x2-2x≤0}

={x|0≤x≤2},

∴2.【解答】解：由题意得z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i，3.【解答】解：由已知矩形ABCD中，|AB→|=4，|AD→|=24.【解答】：①建国以来直至2000年为“成年型”人口，错误；

②从2010年至2020年为“老龄型”人口，正确，

③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口，正确，5.【解答】根据题意，依次分析选项：

对于A，f(x)＝x2+|x|，有f(-x)＝(-x)2+|-x|＝x2+|x|＝f(x)，函数为偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2+x，此时f(x)≥0恒成立，不符合题意；

对于B，f(x)＝2x-2-x，f(-x)＝2-x-2x＝-(2x-2-x)＝-f(x)，函数为奇函数，不符合题意；

对于C，f(x)＝log2|x|，有f(-x)＝6.【解答】解：∵m⊂α，α // β，∴m // β．

故①④⇒m // β．

故选B．7.【解答】解：∵f(x)=sin2x+3cos2x=2sin(2x+8.【解答】作PT垂直椭圆准线l于T，则由椭圆第二定义：|PF1|:|PT|＝e

又PF1→PF2→=e，

故|PT|＝|PF2|，

由抛物线定义知l为抛物线准线

故F1到l9.【解答】解：由题意得y'=ex+1，k=f'(1)=1+e

∵f(1)=1+e

∴所求的切线方程为y-(1+e)=(1+e)(x-1)10.【解答】解：因为cosC=-cos(A+B)所以，2sin2Asin2B+sinAsin所以2sin2(cos所以：cos(A+B)=12故选B.11.【解答】解：(1)过点(2,-1)且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为x-y-3=0，

由y=-2x，x-y-3=0,解得x=1，y=-2.

所以圆心M的坐标为(1，-2)，

所以圆心M的半径为r=(2-1)(2)因为直线l被圆M截得的弦长为6，

所以圆心M到直线l的距离为

d=2-(62)2=22，

若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离

为1，则弦长为2，不符合题意.

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，

由d=∣k+2∣k212.【解答】∵对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，总有f(x1)-f(二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）13.【解答】解：可行域如图所示，

作出直线y=-3x+z，可知z要取最大值，即直线经过点C．

解方程组x+y-1=0,y+1=0, 得C(2, -1)，

所以zmin=3×2+(-1)=5．14.【解答】数据a1，a2，…an和b1，b2，…bn的平均数分别是a和b，

则a1+a2+...+an＝na，

b1+b2+...+bn＝15.【解答】解：由正弦定理得：asinA=bsinB=CsinC=2R16.【解答】解：从图中可得该正多面体有9×2+8=26个面；

由题意可设该正多面体棱长为x，因为其每个顶点都在正方体的表面上，

所以有2x2+x=1，

解得x=2-1；

故答案为：三、解答题（本题共计7小题，共计80分）17.【解答】解：(1)已知

a1=2, 2S4=a(2)bn=2n+12n，两式相减，Tn=3+218.【解答】(1)证明：连结BD，交AC于O，连结OE，

∵底面四边形ABCD是正方形，∴O是BD中点．

∵PD // 平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE=OE，

∴PD // OE，

∴BEBP=BOBD=12，∴E是PB的中点．

∵PA=AB，∴AE⊥PB．

∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，

∴AE⊥BC，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，

∴AE⊥平面PBC，∵PC⊂平面PBC，

∴AE⊥PC，又EF⊥PC，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，AE∩EF=E，

∴PC⊥平面AEF．

(2)∵PA=AB=1，底面ABCD是正方形，

∴PB=2，AC=2，PC=3，

∴PE=22，AE=22．

∵Rt△PEF≅Rt△PCB，∴PE19.【解答】(1)由题意得(b+0.03)×10=解得a=0.0325,(2)由题意得在[25,35)中抽取6人，记为A,B,C,D,E,F，在[45,55)中抽取2人，记为1，2,则从8人中任取2人的全部基本事件(共28种)列举如下:AB,AC,AD,AE,AF,A1,A2BC,BD,BE,BF,B1,B2,CD,CE,CF,C1,C2,DEDF,D1,D2,EF,E1,E2,F1,F2,12记2人中至少有1个是“中老人”的概率是P，则P=13(3)2×2列联表如下：K所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加全面了解防控的相关知识.20.【解答】抛物线焦点为(4, 0)，所以a＝4，e=ca=12，∴c＝2，

又a2＝b2+c2由题意，当∠APQ＝∠BPQ时，知AP与BP斜率存在且斜率之和为0．

设直线PA的斜率为k，则直线BP的斜率为-k，记A(x1, y1)，B(x2, y2)，

直线x＝2与椭圆C的两个交点P(2, 3)、Q(2, -3)，

设PA的方程为y-3＝k(x-2)，联立y-3=k(x-2)x216+y212=1 ，

消y得(3+4k2)21.【解答】∵函数y＝f(x)的图象关于原点对称，∴函数y＝f(x)是奇函数，

即f(-x)＝-f(x)恒成立，∴a0＝a2＝a