第351期：三角函数专题-ω的取值范围与最值问题

三角函数专题----ω的取值范围与最值问题微信公众号：渝城高中数学会608396916高中资料分享QQ群：608396916目录题型一：零点问题题型二：单调问题题型三：最值问题题型四：极值问题题型五：对称性题型六：性质的综合问题【考点预测】1.在区间内没有零点同理，在区间内没有零点2.在区间内有个零点同理在区间内有个零点3.在区间内有个零点同理在区间内有个零点4.已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．5.已知单调区间，则.【方法技巧与总结】解决ω的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住ω的大致范围.【典例例题】题型一：零点问题例1．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】因为在上没有零点，所以，解出的范围，再结合题意得出或，代入即可求出答案.【详解】因为函数，在上没有零点，所以，所以，即，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以或，当时，；当时，，又因为，所以的取值范围是：.故选：C.例2．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由的范围，求出的范围，结合正弦函数的性质即可得结果.【详解】根据题意，函数，若，即，必有，令，则，设，则函数和在区间内有4个交点，又由于，必有，即的取值范围是，故选：B.例3．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先化简为，再根据题意得出，求解即可.【详解】解：由，得，即.设，即在有且仅有6个实数根，因为，故只需，解得，故选：D．例4．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】当时，，由已知条件可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.【详解】因为，当时，，因为函数在上有且仅有个零点，则，解得.故选：B.例5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题知在上有且只有5个零点，进而得，再结合正弦函数的图像可知，解不等式即可得答案.【详解】解：因为，令，即，所以，在上有且只有5个零点，因为，所以，所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，则，即，所以实数的范围是.

故选：C例6．（2022·广东·三模）已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（

）A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）【答案】D【解析】【分析】求出的范围，然后由余弦函数性质得不等关系，求得参数范围．【详解】因为，当时，，因为函数在上有且只有3个零点，由余弦函数性质可知，解得.故选：D．例7．（2022·江西赣州·一模（文））已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，给出下列三个结论：①在区间上有且仅有2条对称轴；②在区间上单调递增；③的取值范围是.其中正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】对于③，令，得，可知，求得；对于①，利用的对称轴为可判断；对于②，利用利用的增区间为可判断；【详解】对于③，，，令，得，由函数在区间上有且仅有2个不同的零点，即取得0，，所以，解得，故③正确；对于①，当，，由，知，令，由于值不确定，所以不一定取到，故①错误；对于②，当时，，由，知即，即在区间上单调递增，故②正确；所以正确的个数为2个.故选：C例8．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.【详解】，，其中，解得：，则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①，，令，解得：；或要满足②，，令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，综上：的取值范围是.故选：C【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.例9．（2022·山西·一模（文））已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意，将问题转化成函数在上恰有3个零点，根据正弦函数的性质，即可求出结果.【详解】函数在上恰有3个零点，，则，求得：.故选：D.例10．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（文））已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由方程，解得，得到的可能取值，根据题意得到，即可求解.【详解】由方程，可得，所以，当时，，所以的可能取值为，，，，，，…，因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，解得，即的取值范围是.故选：D.例11．（2022·陕西渭南·一模（理））若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件关系,进行求解即可.【详解】，，即，，即，，，设，则在上有实数根，，在的图像有交点，如图由于由图象可知，，即故答案为：题型二：单调问题例12．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（

）A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]【答案】B【解析】【分析】根据题意可得周期，进而求出，再求出的单调区间，即可求出.【详解】因为相邻两个对称轴之间的距离2π，则，即，则，则，由，得，所以在上是增函数，由得.故选：B.例13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，的零点到轴的最近距离小于，且在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由为的一个零点，结合单调性得出，再由，得出的取值范围.【详解】设的最小正周期为，依题意为的一个零点，且在上单调递增，所以，所以，因为的零点到轴的最近距离小于，所以，化简得，即的取值范围是.故选：D例14．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））函数在上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据函数在上是减函数，由，求解.【详解】解：因为函数在上是减函数，所以，，，解得，所以，解得，又，所以，所以的取值范围是.故选：A例15．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先借助辅助角公式得到，再由正弦函数的单减区间解出的范围即可.【详解】由题意得，函数，令，即.因为函数在区间上单调递减，则且，且，解得，且，又，所以.故选：C.例16．（2022·陕西榆林·三模（理））已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题可得，，进而可得，，即得.【详解】由，得，则，解得．又，∴，故，即．由，得，则，解得，因为，故，即，综上所述，的取值范围为．故选：A.例17．（2022·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数图象变换关系求出的解析式，利用函数的单调性建立不等式进行求解即可．【详解】解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，即，若在上单调递减，则的周期，即，得，由，，得，，即，即的单调递减区间为，，若在上单调递减，则，，即，，当时，，即的取值范围是.故选：D．例18．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】【分析】根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可.【详解】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上单调递增知，，所以，故选：C例19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）设，函数，，若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，从而可求得在上单调递增这个条件的范围，再根据函数与的图象有三个交点，则在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的的范围，取交集即可得出答案，注意说明时，函数与的图象只有一个交点.【详解】当时，，因为在上单调递增，所以，解得，若在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，即方程在上有两个不同的实数根，所以，解得，当时，令，当时，，当时，，，结合图象可得时，函数与的图象只有一个交点，综上所述，当时，函数与的图象有三个交点，满足题意，故选：B.例20．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果.【详解】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，由，，得，，所以的单调递增区间为，，依题意得，，所以，，所以，，由得，由得，所以且，所以或，当时，，又，所以，当时，.综上所述：.故选：C.题型三：最值问题例21．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数在上的值域是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据求出，根据f(x)在上的值域是可知，据此即可求出ω的范围.【详解】，，则，要使f(x)在上的值域是，则.故选：C.例22．（2022·安徽马鞍山·三模（理））函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】运用换元法，结合正弦函数的性质进行求解即可.【详解】令，因为，所以，问题转化为函数在时恰有两个最小值点，所以有，因为，所以，故选：A例23．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由求得的范围，再根据函数的直接结合正弦函数的性质列出不等式，从而可得出答案.【详解】解：当时，，因为函数在区间上的值域为，所以，解得.故选：.例24．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意可确定，结合，从而确定，解得答案.【详解】由的值域为,可得，由可得，所以，解得，所以a的取值范围是，故选:C例25．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.【详解】当时，即时，函数有最小值，令时，有，，，，因为函数在内恰有两个最小值点，，所以有：，故选：B【点睛】关键点睛：根据正弦型函数的最值的性质进行求解是解题的关键.例26．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围.【详解】至少存在两个不相等的实数，使得，当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；当，即时，，，；当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.例27．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校模拟预测（文））已知函数，若函数的图象在区间上的最高点和最低点共有个，下列说法正确的是___________.①在上有且仅有个零点；②在上有且仅有个极大值点；③的取值范围是；④在上为单递增函数.【答案】②③【解析】【分析】利用辅助角公式可化简得到，令，则，利用正弦函数图象可确定的范围，由此确定③正确；结合图象可知①②的正误；根据知④错误.【详解】，当时，，令，则在上的最高点和最低点共有个，由图象可知：需满足：，解得：，③正确；当时，有且仅有个零点，即在上有且仅有个零点，①错误；当时，有且仅有个极大值点，②正确；当时，，则，在上有增有减，④错误.故答案为：②③.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数图象与性质的相关应用，解题关键是能够将看做一个整体，采用换元法研究的图象，通过所需满足的范围确定范围及的性质.例28．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】考察第2、3个正最值点的位置可解.【详解】易知时不满足题意，由Z，得Z，当时，第2个正最值点，解得，第3个正最值点，解得，故；当时，第2个正最值点，解得，第3个正最值点，解得，故.综上，的取值范围是.故答案为：题型四：极值问题例29．（2022·全国·高三专题练习）若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依据函数在上单调，可知，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知，最后计算可知结果.【详解】因为在上单调，所以，则，由此可得.因为当，即时，函数取得极值，欲满足在上存在极值点，因为周期，故在上有且只有一个极值，故第一个极值点，得，又第二个极值点，要使在上单调，必须，得.综上可得，的取值范围是.故选：C【点睛】思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得，即可.例30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（

）A．（0，5] B．（0，5）C．（0，） D．（0，]【答案】A【解析】【分析】利用导数求解，将问题转化为或在区间上恒成立，然后利用正弦函数的图象求解即可.【详解】由已知条件得，∵函数在区间上无极值，∴函数在区间上单调，∴或在区间上恒成立，当时，，∵，∴，在此范围内不成立；当时，，∵，∴，即，解得，则的取值范围是，故选：.例31．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数在区间不存在极值点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】依题意区间夹在相邻的两条对称轴之间，列式即可求解【详解】，函数在区间上不存在极值点，，且对任意的都成立，，且，，且，或．故选：D．例32．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知偶函数（，）在上恰有2个极大值点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，根据偶函数的性质结合的取值范围，求解的值，最后化简得到，再根据函数在上恰有2个极大值，代入，即可求解的取值范围.【详解】解：，因为，则，故，又函数为偶函数，故，解得，故，因为函数在上恰有2个极大值，故当时，，即.故选：D.题型五：对称性例33．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（

）A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）【答案】C【解析】【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有3个整数k符合，解不等式即得解.【详解】解：，令，，则，，函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，，得，则，即，∴.故选：C.例34．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据正弦函数的性质以及题中条件，得到，进而求得结果.【详解】当时，，函数在内有且仅有三条对称轴，则有，解得，故选：B.题型六：性质的综合问题例35．（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则，解得，即．故选：C．（多选题）例36．（2022·广东韶关·二模）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称B．若，且的最小值为，则ω=2C．若在[0，]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]D．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】先化简的解析式；由三角函数的图像变换判断选项A；由，可得是函数的最大、小值点，从而可判断B；由在上单调递增，则，可判断选项C；设，即在仅有3个零点，可判断选项D.【详解】函数选项A：若，，将的图像向左平移个单位长度得函数的图像，所以A正确；选项B：若，则是函数的最大值点或最小值点，若的最小值为，则最小正周期是，所以，B正确；选项C：若在上单调递增，则，所以，C错误；选项D：设，当时，若在仅有3个零点，即在仅有3个零点则，所以，D正确，故选：ABD．（多选题）例37．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，则下列判断中，错误的是（

）A．若，，且，则B．存在，使得的图像右移个单位长度后得到的图像关于轴对称C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为D．若在上单调递增，则的取值范围为【答案】ABC【解析】【分析】首先利用二倍角公式及诱导公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：，周期．对于A：由条件知，周期为，，故A错误；对于B：函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，，故对任意整数，，故B错误；对于C：由，所以，所以，解得，故C不正确；对于D：因为，所以，所以，，故D正确．故选：ABC．例38．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.【详解】如下图，作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，因为，则，，结合有且，解得．故答案为：例39．（2022·湖南永州·三模）已知函数，若在内单调且有一个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由已知，确定范围，再由正弦型三角函数图像的性质得到，进而化简求解.【详解】在内单调且，可得，，解得，又∵，∴，又在上恰有一个零点，所以，∴且，解之得.故答案为：例40．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由在上恰有两个零点，令，，可得，令，，可得f(x)在上单调递增，从而有，联立求解即可得答案.【详解】解：由题意，令，，得x＝，，∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，∴，解得，令，，∴，，令k＝0，f(x)在上单调递增，∴，∴，解得，综上，ω的取值范围是.故答案为：.例41．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，满足函数是奇函数，且当取最小值时，函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】根据三角函数的奇偶性求得，再根据余弦型函数的单调性即可求得参数范围.【详解】因为函数，满足函数是奇函数，且当取最小值时，，．函数在区间和上均单调递增，，求得，则实数的范围为，故答案为：【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据给定条件确定的范围，求解不等式作答.【详解】由得，而当，时，，又，函数在内有且仅有两个零点，于是得，解得，所以的取值范围是.故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】，，应该是本身f(x)减区间的子集.【详解】∵，∴，函数在上单调递减，周期解得，故，的减区间满足：，取，且解之得.故答案为：.故选：C.3．（2021·安徽·铜陵一中高三阶段练习（文））已知函数，若方程在上有且只有五个实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】辅助角公式化简后解方程，由第五个正根小于，第六个正根大于等于可得.【详解】由，得：或，即，或，易知由小到大第5、6个正根分别为，.因为方程在上有且只有五个实数根，所以有且，解得.故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增．其中所有正确结论的序号是（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④【答案】B【解析】【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.【详解】由函数，令，则函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，由，得，则，即，，故③正确；对于①，，，当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期，由，则，，又，所以的最小正周期可能是，故②正确；对于④，，，又，又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③故选：B【点睛】方法点睛：函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，由求对称中心.(4)由求增区间；由求减区间.5．（2021·山东省潍坊第四中学高三开学考试）函数在有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（

）A．在不存在，使得B．函数在仅有1个最大值点C．函数在上单调进增D．实数的取值范围是【答案】D【解析】【分析】可根据题意作出函数的大致图像，可判断B错；根据函数有三个零点，可判断函数一定能取到最大和最小值，由此可判断A的正误；判断D时，可求出y轴右侧的四个零点，根据题意列出相应的不等式组，求得的范围，进而判断出D的正误，由此求出的范围，判断函数的单调性，可知C的正误.【详解】对于A,在上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期，所以在上存在，且，使得，故A错误；由图象可知，函数在可能有两个最大值，故B错误;对于选项D,令，则函数的零点为,所以函数在y轴右侧的四个零点分别是：，函数在有且仅有3个零点，所以，解得，故D正确；由对选项D的分析可知，的最小值为，当时，，但不是的子集，所以函数在上不是单调进增的，故C错，故选：D.6．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知函数，若，，则（

）A．点不可能是的一个对称中心B．在上单调递减C．的最大值为D．的最小值为【答案】D【解析】【分析】根据函数的周期性可得，再根据函数的最值求出，从而得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：，的周期.依题意可得，，则，即，又，所以，所以，所以点是的一个对称中心，A错误；当时，B错误；当时，取最小值，C错误，D正确；故选：D.7．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出，由对称性可得为最小值，即可求出的最小值.【详解】∵，∴．又，∴．当时，函数取到最小值，此时，．解得，．所以当时，.故选：C．8．（2022·陕西西安·二模（理））已知函数，若函数的一个零点为．其图像的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为（

）A．2 B．6 C．10 D．14【答案】B【解析】【分析】根据题意，由表示T，再由是的一个单调区间，确定T的范围，从而得到范围，再逐一验证.【详解】解：由题意得：，所以，，又，所以，因为在上单调，所以，则，所以，即，解得，所以，当时，，因为函数的一个零点为，所以，则，即，因为，则，所以，若，则，因为在上不单调，不符合题意；当时，，因为函数的一个零点为，所以，则，即，因为，无解；当时，，因为函数的一个零点为，所以，则，即，因为，则，所以，若，则，因为在上不单调，不符合题意；当时，，因为函数的一个零点为，所以，则，即，因为，则，所以，若，则，因为在上不单调，不符合题意；当时，，因为函数的一个零点为，所以，则，即，因为，则，所以，若，则，因为在上单调，符合题意；所以的最大值为6，故选：B二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）设函数，且函数在上是单调的，则下列说法正确是（

）A．若是奇函数，则的最大值为3B．若，则的最大值为C．若恒成立，则的最大值为2D．若的图象关于点中心对称，则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】若是奇函数，则，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断A；，可求出，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断B；恒成立，可求出，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断C；的图象关于点中心对称，可求出，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断D.【详解】对于A，若是奇函数，则，当时，．要使函数在上是单调的，则，∴，又，则的最大值为1，故A错误．对于B，∵，∴，或，．∵，∴，此时，当时，．要使函数在上是单调的，则，∴，又，∴，则的最大值为，故B正确．对于C，∵恒成立，∴．∵，∴，此时．∵，∴，要使函数在上是单调的，则，∴．又，∴，则的最大值为2，故C正确．对于D，的图象关于点中心对称，则，，则，．∵，∴，此时．当时，．要使函数在上是单调的，则，∴．又，∴，则的最大值为，故D正确．故选：BCD．10．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）若函数在区间内没有最值，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期可能为B．的取值范围是C．当取最大值时，是函数的一条对称轴D．当取最大值时，是函数的一个对称中心【答案】AC【解析】【分析】根据题意可知的第一个正最值点小于等于，第二个正最值点大于等于，或第一个正最值点大于等于可得的取值范围，然后根据的范围可解.【详解】由，得因为在区间内没有最值所以，所以在区间内最多有一个最值所以，或解得或所以B错误；当时，所以，故A正确；因为，可知是函数的一条对称轴，故C正确；又由，可知D错误.故选：AC11．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知函数，下面结论正确的是（

）A．若，是函数的两个不同的极值点，且的最小值为，则B．存在，使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称C．若在上恰有6个零点，则的取值范围是D．若，则在上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】A选项由即可求出；B选项先平移得到，由即可求解；C选项求出整体的范围，再由6个零点得到不等式求解；D选项求出整体的范围，再由单调递增得到不等式求解.【详解】，对于A，，∴，，错误；对于B，平移后关于原点对称，则，在时，，正确；对于C，，，，正确；对于D，，，，∵，∴，正确.故选：BCD.三、填空题12．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．【答案】17【解析】【分析】利用三角函数的零点以及函数的单调性可知，，再结合函数的周期列式，即可求解.【详解】由，且在上有最大值，没有最小值，可得，所以.由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,故答案为：1713．（2022·江西上饶·二模（理））已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．【答案】4或10##10或4【解析】【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴.当时，，y＝sinx图像如图：要使在区间上有最小值无最大值，则：或，此时ω＝4或10满足条件；区间的长度为：，当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.综上，ω＝4或10.故答案为：4或10.14．（2021·上海松江·一模）已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】化简，由可得，得到即可求解.【详解