单叶双曲面课件

§6.4.1常见的二次曲面第四节二次曲面§6.4.2坐标轴的变换1§6.4.1常见的二次曲面第四节二次曲面§6.4.2故球面方程为1.球面

空间中与一个定点有等距离的点的集合叫做球面，定点叫做球心，定距离叫做半径.特别,当Q在原点时,球面方程为半径为即由于§6.4.1常见的二次曲面

若球心为

为球面上任意一点2故球面方程为1.球面空间中与一个定点有等距离一般地,三元二次方程

x2y2z22Ax2By2CzD0的图形就是一个球面.配方得当时,表球面.当时,表一点.当时,没有曲面.3一般地,三元二次方程配方得当设空间中有任意一条曲线L,过L上的一点引一条直线b，直线b沿L作平行移动所构成的曲面叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xoy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.z

轴的平面.表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于L

叫做准线,b

叫做母线.2.柱面4设空间中有任意一条曲线L,过L上的一点引一条直线b，xzy0母线F(x,y)=0z

=0准线

(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一点都满足方程；曲面S外的每一点都不满足方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面点N满足方程，故点M满足方程

一般柱面

F(x,y)=05xzy0母线F(x,y)=0z=0准线(不含z)M母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面一般柱面

F(y,z)=06母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F3.

锥面设L

为一条已知平面曲线，B

为L

所在平面外的一个固定点，过点B

引直线b与L

相交，直线b

绕点B

沿L

移动所构成的曲面叫做锥面，点b称作顶点，动直线叫做锥面的母线，L叫做准线.右图为顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.73.锥面设L 为一条已知平面曲线，B为L所在平例如:4.

旋转曲面

以一已知平面曲线l

绕平面上一定直线旋转所成的曲面叫做旋转曲面，定直线叫做旋转曲面的轴，曲线l的每一位置叫做这张旋转曲面的一条母线.8例如:4.旋转曲面以一已知平面曲线l绕建立yoz面上曲线C

绕z

轴旋转所成曲面的方程:给定yoz

面上曲线C:曲线CCy

zo绕z轴9建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:给定y曲线CxCy

zo绕z轴.10曲线CxCyzo绕z轴.10曲线C旋转一周得旋转曲面

SCSMNzPy

zo绕z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z).xS11曲线C旋转一周得旋转曲面SCSMNzPyzo绕z轴.思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？12思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？12例3.

试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:

在yoz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方13例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥例4.

求坐标面xoz

上的双曲线分别绕

x轴和z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x

轴旋转绕z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为14例4.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo5.

椭球面15截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆16(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆16与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)17与的交线为椭圆：(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样的截6.单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:186.单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x轴；虚轴平虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:19虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴7.双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面图形207.双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面8.

椭圆抛物面21xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法（马鞍面）9.双曲抛物面

22用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy§6.4.1常见的二次曲面第四节二次曲面§6.4.2坐标轴的变换23§6.4.1常见的二次曲面第四节二次曲面§6.4.2故球面方程为1.球面

空间中与一个定点有等距离的点的集合叫做球面，定点叫做球心，定距离叫做半径.特别,当Q在原点时,球面方程为半径为即由于§6.4.1常见的二次曲面

若球心为

为球面上任意一点24故球面方程为1.球面空间中与一个定点有等距离一般地,三元二次方程

x2y2z22Ax2By2CzD0的图形就是一个球面.配方得当时,表球面.当时,表一点.当时,没有曲面.25一般地,三元二次方程配方得当设空间中有任意一条曲线L,过L上的一点引一条直线b，直线b沿L作平行移动所构成的曲面叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xoy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.z

轴的平面.表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于L

叫做准线,b

叫做母线.2.柱面26设空间中有任意一条曲线L,过L上的一点引一条直线b，xzy0母线F(x,y)=0z

=0准线

(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一点都满足方程；曲面S外的每一点都不满足方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面点N满足方程，故点M满足方程

一般柱面

F(x,y)=027xzy0母线F(x,y)=0z=0准线(不含z)M母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面一般柱面

F(y,z)=028母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F3.

锥面设L

为一条已知平面曲线，B

为L

所在平面外的一个固定点，过点B

引直线b与L

相交，直线b

绕点B

沿L

移动所构成的曲面叫做锥面，点b称作顶点，动直线叫做锥面的母线，L叫做准线.右图为顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.293.锥面设L 为一条已知平面曲线，B为L所在平例如:4.

旋转曲面

以一已知平面曲线l

绕平面上一定直线旋转所成的曲面叫做旋转曲面，定直线叫做旋转曲面的轴，曲线l的每一位置叫做这张旋转曲面的一条母线.30例如:4.旋转曲面以一已知平面曲线l绕建立yoz面上曲线C

绕z

轴旋转所成曲面的方程:给定yoz

面上曲线C:曲线CCy

zo绕z轴31建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:给定y曲线CxCy

zo绕z轴.32曲线CxCyzo绕z轴.10曲线C旋转一周得旋转曲面

SCSMNzPy

zo绕z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z).xS33曲线C旋转一周得旋转曲面SCSMNzPyzo绕z轴.思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？34思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？12例3.

试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:

在yoz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方35例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥例4.

求坐标面xoz

上的双曲线分别绕

x轴和z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x

轴旋转绕z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为36例4.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo5.

椭球面37截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆38(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆16与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)39与的交线为椭圆：(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样的截6.单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:406.单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x轴；虚轴平虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:41虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z