随机数和随机变数生成课件

随机数和随机变数生成随机数和随机变数生成随机数和随机变数生成对于随机性活动进展研究所利用的数学工具是概率论及数理统计对于实际系统中随机活动进展研究时，往往由于众多的随机因素使得数学描述和分析变得十分困难，这时我们往往求助于计算机仿真。仿真为这类复杂的随机系统的研究提供了一个方便有效的手段。随机数和随机变数生成随机数和随机变数生成随机数和随机变数生成1对于随机性活动进展研究所利用的数学工具是概率论及数理统计对于实际系统中随机活动进展研究时，往往由于众多的随机因素使得数学描述和分析变得十分困难，这时我们往往求助于计算机仿真。仿真为这类复杂的随机系统的研究提供了一个方便有效的手段。对于随机性活动进展研究所利用的数学工具是概率论及数理统计2随机变量：对于随机活动的不同结果我们可以用不同的数值与其对应。这样，就可以用一个变量来描述随机活动，变量按一定的概率取某个值对应于随机活动按一定的概率取某个结果。离散型随机变量：假设随机变量只取有限个数值或可列无穷多个数值，那么称此类随机变量为离散型随机变量。连续型随机变量：假设随机变量可以取值于某个区间中的任一数，我们称为连续型随机变量。随机变量：对于随机活动的不同结果我们可以用不同的数值与其对应3离散型随机变量

数学定义

数学定义：如果一个随机变量x的一切可能取值为x1，x2，…，xn，…，并且X取值xn的概率为Pn，那么X为一个离散型随机变量，{p1，p2，...，pn，...}称为X的概率函数。其中Pn必须满足以下两个条件：〔1〕〔2〕离散型随机变量数学定义数学定义：如果一个随机变量4离散型随机变量概率分布函数离散型随机变量X的累积分布函数定义，当X小于或等于某个给定值x的概率函数，记为P(X≤x)=F(x)。设随机变量X可能取值x1，x2，…，xn，…，那么X的累积分布函数为其中为X取值的概率。由定义可见 当x<y时，F(x)≤F(y)，即F(x)是个单调增加的函数。离散型随机变量概率分布函数离散型随机变量X的累积分布5连续型随机变量定义定义：假设存在非负函数f(x)，使得随机变量X取值于任一区间(a，b)的概率为P(a<x≤b)=，那么称X为连续型随机变量，f(x)称为X的密度函数。对于密度函数f(x)有连续型随机变量定义定义：假设存在非负函数f(x)6连续型随机变量概率密度函数连续型随机变量的累积分布函数定义为随机变量小于或等于x的概率。它用F(x)表示，即由累积分布函数定义可知，当时，。累积分布函数是单调递增函数。连续型随机变量概率密度函数连续型随机变量的累积分布函7概率密度函数

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累积分布函数随机变量X落入区间(a，b)内的概率是。图中给出了一个连续随机变量的密度函数曲线和累积分布函数曲线。密度函数f(x)的值不能为负，要注意的是f(x)的值可以大于1，但是在任意区间(a，b)上由f(x)曲线围出的面积(图中阴影局部)必然<1。从图中也可以看到累积分布函数F(x)的值随x值的增加而增加，而且它最终趋向极限值1。概率密度函数

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累积分布函数随机变量X落入区间(a，b)内8随机变量的数字特征

定义：随机变量的数字特征是与它的分布有关的某些数值，例如平均值、最大可能值等，它们反映了随机变量某些方面的特征。分类：根据随机变量的种类：分别介绍离散型随机变量的数字特征、连续型随机变量的数字特征随机变量的数字特征定义：随机变量的数字特征是与它的分布有关9离散型随机变量的数字特征平均值：设X为离散随机变量，其概率函数由下表给出：其中记，称为X的平均值。数学方差Xx0x1x2……xn…P{X=Xi}P0P1P2……Pn…数学方差反映了各个随机变量的采样值偏离平均值的平均程度变化系数：标准差与平均值的比值，反映了随机数偏离平均值的变化程度。变化系数=离散型随机变量的数字特征平均值：设X为离散随机变量，其概率函10连续型随机变量的数字特征平均值：设X为随机变量，其概率密度函数为f(x)，那么该随机变量的平均值m为：平均值又称为数学期望。数学方差变化系数：标准差与平均值的比值，反映了随机数偏离平均值的变化程度。变化系数=数学方差反映了各个随机变量的采样值偏离平均值的平均程度连续型随机变量的数字特征平均值：设X为随机变量，其概率密度函11随机变量的其它数字特征模值定义为随机变量的概率密度函数在某处取峰值时的x值。当有多个峰值时，取最大峰值作为模值。中间值：如果有一点Xm，随机变量有一半值将落在这一点以下，那么由此点所定义的值Xm称为中间值b中间值可以从累积分布函数曲线上求得，因为它是处的那个点。

在x=1处时f(x)均到达峰值，那么x=1就是随机变量的模值。中间值：Xm=1.6783469随机变量的其它数字特征模值定义为随机变量的概率密度函数在某处12数理统计中的根本运算规那么，X一随机变量，那么E(αX)=αE(X)X，Y为两个相互独立的随机变量，那么E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X一随机变量，那么D(αX)=α2D(X)，X一随机变量，那么D(X+α)=D(X)X，Y为两个相互独立的随机变量，那么D(X+Y)=D(X)+D(Y)数理统计中的根本运算规那么，X一13随机数和随机变数随机变数〔RandomVariates〕离散随机系统仿真模型中有许多随机因素，在模型运行过程中，需要系统不断地从各种概率分布生成一些随机的数值〔通过调用分布函数生成〕，如一个个顾客到达时间间隔〔可能服从指数分布〕，一个个机器效劳时间〔可能服从爱朗分布〕，这些从某种分布生成的随机数值称为随机变数。随机数〔Randomnumbers〕从[0,1]区间上的均匀分布生成的随机变数为随机数。随机数和随机变数的关系在仿真软件中，各种不同分布的随机变数都是由随机数经过某种变换得到的，因此，要得到随机变数，首先需要生成[0,1]区间上的均匀分布的随机数。随机数和随机变数随机变数〔RandomVariates〕14随机数和随机变数如何生成真正均匀分布的、独立的随机数成为仿真软件的一个重要根底。伪随机数仿真软件生成的随机数序列实际上是利用数学公式递推计算得出的，因此，这些随机数实际上是事先就可以确定的，因而并非是真正随机的，故又称为伪随机数。但是这些伪随机数能够通过均匀性和独立性的统计检验，因而可以用于仿真研究。随机数和随机变数如何生成真正均匀分布的、独立的随机数成为仿真15随机数和随机变数生成课件16随机数随机数17(0，1)均匀分布随机数的定义(0，1)均匀分布随机变量x的概率密度函数为累积分布函数(0，1)均匀分布随机数的定义(0，1)均匀分布随机变量x的18(0，1)均匀分布随机数的说明随机变量x落入区间(X1，X2)中的概率等于图中阴影区的面积，其值为(X2-X1)，正比于区间(X1，X2)的大小。需要说明的是在计算机上表示连续变量只能是近似的，因为计算机中的数字只能是有限的位数。如果变量变化的最小步长可以到达计算机表示的最小值，并且在实际需要的精度之内变量可以到达任意值，就可以把这个变量看成是连续的。(0，1)均匀分布随机数的说明随机变量x落入19(0，1)均匀分布随机数的产生方法物理过程：常用的物理装置有放射粒子计数器、电子管随机数产生器。利用电子噪声或放射源去鼓励一个周期为0~9的计数器，对计数器定时选行采样就可以得到所需的随机数的一位数。屡次重复此过程或者利用几个计数器同时运行，就可以得到任意位数的随机数。随机数表：利用物理过程可以得到大量随机数，并将这些数制成表。在使用随机数时就可以依一定的顺序从表中取出随机数。为了适应实际需要的位数，对取出的随机数可以进展截断或拼接处理。随机数产生程序：按照一定的算法计算出具有类似于均匀分布随机变量的独立取样值性质的数。因为这些数是按照定性的算法计算出来的，会有一定的周期性，因而被称为伪随机数。由于我们的目的是利用随机数来对随机活动的统计分析，只要伪随机数的数理统计性质能够满足实际需要就可以了。这些数理统计性质包括均匀性、独立性等。一般计算机上，产生随机数的函数为〔0，1〕均匀分布的随机数。(0，1)均匀分布随机数的产生方法物理过程：常用的物理装置有20计算机产生随机数的算法

用计算机程序通过计算产生的随机数都是伪随机数，它具有一定的周期性。计算机产生随机数的特点：实用性强、简单易操作、产生速度快、计算机存储空间的要求低。计算机上用数字方法产生的随机数的一般要求有：

1.

产生的数值序列要具有分布的均匀性、抽样的随机性、试验的独立性以及前后的一致性。

2.

产生的随机数要有足够长的周期，以满足你真的实际需要。

3.产生随机数的速度要快，占用的内存空间要小。计算机产生随机数的算法用计算机程序通过计算产生的随机数都是21随机数和随机变数生成课件22随机数生成器随机数生成器(Randomnumbergenerator)在仿真软件中，采用某种方法来生成[0,1]区间上的均匀分布的随机数的程序称为随机数生成器。不同仿真软件的随机数生成器采用的随机数生成方法可能不同，由于随机数的质量直接关系到仿真结果是否可信，因此，建模人员需要了解仿真软件的随机数生成器是否是高质量的生成器。随机数生成器种类繁多，以下介绍几个仿真软件中比较常见的随机数生成器。随机数生成器随机数生成器(Randomnumbergen23计算机产生随机数的算法计算机产生随机数的通常方法是利用一个递推公式：给定了k个初始值，就可以利用这个递推公式推算出第k+1个数Xk+1：递推公式有多种形式，其中最常见的有两种：

-平方取中法

-同余法

计算机产生随机数的算法计算机产生随机数的通常方法是24平方取中法这是最早产生随机数的一种方法，一个二进制n位数X，自乘后一般得到一个2n位数X2。设平方后得到：取X0中间的n位数(设n为偶数)作出如下的二进制n位数：重复上述过程，可得二进制n为数序列，，…。令，那么，，…就是所需要的(0，1)均匀分布随机数序列。平方取中法这是最早产生随机数的一种方法，一个25平方取中法

——步骤任取一十进制正整数确定一偶数位数n将所选十进制数化为n位的二进制数平方运算得到2n位的二进制数取2n位二进制数的中间n位作为生成的随机数生成的随机数=上一随机数否是随机数进入循环平方取中法

——步骤任取一十进制正整数确定一偶数位数n将所选26平方取中法——例题任取一正整数：45表示为偶数位的二进制数：101101，共6位该数的平方为：，共6×2=12位取中间的六位，得：111101，该数的十进制表达式为61……最终可以产生的随机数：

45，61，17，36，34，16，32，0，……问题：应用平方取中法时，可能遇到“退化〞的危险，即出现中间所取得值都为0，或形成重复循环序列的现象。——平方取中法的限制平方取中法——例题任取一正整数：45问题：27同余法同余法是将一组数据通过一系列特定的数字运算，最后利用一个数字的整除求余，所得的数值就是一个伪随机数。因为这个计算过程，那么称该求随机数的方法为同余法。同余法的有三种：加同余法、乘同余法和混合同余法。其中以混合同余法产生的随机数统计性质较好，因而获得了最为广泛的应用。同余法具有计算简便的优点。产生随机数的递推公式是：其中a称为乘法因子，c称为加法因子，M为模数〔为随机数的周期〕。当a=1时，加同余法；当c=0时，乘同余法；当a≠1、c≠0时，混合同余法。同余法同余法是将一组数据通过一系列特28(0，1)均匀分布随机数的产生当给定了一个初始值X0之后，就可以利用上式计算出序列X1，X2，…，Xn，…，再取于是y1，y2，…，yn就是所需要的(0，1)均匀分布得随机序列。(0，1)均匀分布随机数的产生当给定了一个初始值X0之后，就29同余法产生〔0，1〕均匀分布的随机数

例题设a=5，c=3，M=8，取X0=1，那么循环叠代式：

利用上述叠代式，可以计算得到：X1=0，X2=3，X3=2，X4=5，X5=4，X6=7，X7=6，X8=1，X9=0，…y1=0.000，y2=0.375，y3=0.250，y4=0.625，y5=0.500，y6=0.875，y7=0.750，y8=0.125，X9=0.000，…我们可以看到此例中，这个随机数序列的周期长度为8，即Xn+8=Xn。很明显：利用同余法产生随机数序列的周期不可能超过所取的模数M值、适当的a、c和X0的值，就可以使随机数序列的周期充分地长、以满足实际的需要。假设利用组合的同余法产生随机数序列，那么可获得大于模数的周期。同余法产生〔0，1〕均匀分布的随机数

例题设a=5，30同余法产生〔0，1〕均匀分布的随机数

产生的根本条件c和M互质，即没有大于1的公因子。M的每个质数因子也是a-1的因子。假设4是M的因子，那么4也是a-1的因子。上述根本条件满足后，混合同余法所产生的随机数序列的周期到达最大值M。同余法产生〔0，1〕均匀分布的随机数

产生的根本条件上述根本31随机数生成器的周期当递推计算得到某个值和以前得到的某个值相等时，那么从该处开场生成的数据序列将和前一个相等值处的序列完全一样〔从而随机数序列Ui也会重复〕，且这个序列会不断重复。这个被重复的序列长度称为一个循环，其长度称为随机数生成器的周期。全周期生成器很明显，线性同余生成器的周期小或等于m，如果周期长度就是m，那么该生成器称为全周期生成器。通过仔细选择参数以获得满足统计要求的尽可能长的全周期生成器是生成器设计的主要目标。在4.1式中，假设c>0,那么又称为混合线性同余生成器，假设c=0，那么称为乘同余生成器。目前使用的大多数线性同余生成器都是乘同余生成器。随机数生成器的周期32乘同余生成器的根本公式素数取模乘同余生成器〔primemodulusmultiplicativeLCG:PMMLCG〕,其算法思路如下:取m是小于2b的最大素数，而a的选择要满足特定的要求这样的乘同余生成器就称为素数取模乘同余生成器。它的循环周期为m–1，且每个循环中1,2,…,m-1这些整数严格地只出现一次。Law〔2021〕建议在PMMLGC中，取m=231-1,取a=630,360,016，这样，周期长度约为21亿。在Flexsim中，默认的随机数生成器也是这个PMMLGC。乘同余生成器的根本公式33随机数流〔stream〕仿真软件中一般会将整个随机数序列分成假设干段，例如100,000个数一段，每段称为一个随机数流〔stream〕，每个流会指定一个编号，如0号流、1号流等等。每个流中的数都是根据公式递推得到〔要变换到[0，1]区间〕每个流的递推公式初始值，即种子〔每个流实际上由该流的种子唯一确定〕，都是事先设定好的〔有时也允许用户自己指定〕。当模型需要随机数时，通常要指定流号，以告知系统从哪个流递推计算取得下一个随机数。例如在Flexsim中调用指数分布函数的形式为exponential(location,scale,stream)，其中第三个参数就是指定从哪个流求取下一个随机数〔这个随机数还要变换成符合指数分布的形式〕，如果省略流参数，那么默认使用0号随机数流。随机数流〔stream〕34如果仿真模型中全部随机因素都使用一个流，例如0号流，那么随着模型的运行，0号流的随机数有可能会消耗完，这时会侵入下一个流取随机数，以保证随机数不重复。随机数流〔stream〕Flexsim中系统已初始化了100个随机数流〔0-99号〕可供直接使用，假设用户需要更多随机数流，就需要自己初始化更多的流，详细信息请参考Flexsim联机帮助。如果仿真模型中全部随机因素都使用一个流，例如0号流，那么随着35组合多重递推生成器虽然PMMLCG生成器周期长度已经很大了，但是在现代计算环境下仍然显得不够用，因此人们仍然在不断探索周期更长的随机数生成器，其中一个比较著名的生成器是组合多重递推生成器〔CombinedMultipleRecursiveGenerator：CombinedMRG〕这种生成器实际上是以某种方式组合了多个随机数生成器生成最终的随机数，其周期长度高达2191，这样每个流的长度也可以非常大，非常便于使用。在Flexsim5.0及以上的版本中，也提供了这种生成器。组合多重递推生成器虽然PMMLCG生成器周期长度已经很大了，36组合多重递推生成器虽然PMMLCG生成器周期长度已经很大了，但是在现代计算环境下仍然显得不够用，因此人们仍然在不断探索周期更长的随机数生成器，其中一个比较著名的生成器是组合多重递推生成器〔CombinedMultipleRecursiveGenerator：CombinedMRG〕这种生成器实际上是以某种方式组合了多个随机数生成器生成最终的随机数，其周期长度高达2191，这样每个流的长度也可以非常大，非常便于使用。在Flexsim5.0及以上的版本中，也提供了这种生成器。组合多重递推生成器虽然PMMLCG生成器周期长度已经很大了，37随机变数的生成仿真模型运行过程中需要的是一个个来自不同分布的随机变数〔randomvariates〕，当它需要一个来自某分布的随机变数时，系统就会调用随机数生成器从指定流中递推计算取得下一个随机数〔randomnumber〕，然后经过某种变换转换成所需的随机变数供给模型使用。那么，系统是如何将[0，1]区间上均匀分布的随机数转换成不同分布的随机变数的呢，研究人员开发了许多方法来执行这种转换，如逆变换法、卷积法、合成法、取舍法等。由于这些方法都是标准方法，各种仿真软件实施的差异不大，建模人员无需对其做过多了解，感兴趣的读者可以参考〔班克斯等2007〕和〔Law2021〕随机变数的生成仿真模型运行过程中需要的是一个个来自不同分布的38随机数和随机变数生成课件39常见随机变量的分布常见随机变量的分布40随机数和随机变数生成课件41随机数和随机变数生成课件42随机数和随机变数生成课件43正态分布正态分布44补充资料：各种离散分布随机数的产生

在生产系统离散仿真时，我们常常使用离散分布的随机变量来描述实际系统中的某些量。例如在企业原材料管理系统中，在一定时间内，到达仓库的物料数就是一个离散随机变量。该随机变量的到达时间是一个随机数，此随机数满足一定的概率分布。我们可以利用〔0，1〕均匀分布随机数来产生各种离散分布的随机数。离散分布的随机数可以分为：均匀分布的离散随机数、非均匀分布的离散随机数补充资料：各种离散分布随机数的产生在生产系统离散仿真时，我45均匀离散分布的随机数的产生给定N个连续整数x1，x2，…，xN，我们以相等的概率从中选出一个数，这样重复下去，所产生的数列就是一个离散均匀分布的随机数序列。每次取样值，式中yk是

(0，1)均匀分布的随机数，。产生〔0，1〕均匀分布的随机数选定产生均匀分布随机数的范围：x1、xN均匀离散分布的随机数的产生给定N个连续整数x1，x2，…，x46非均匀离散分布的随机数的产生给定N个x1，x2，…，xN，我们以相对应的概率P1，P2，…，PN，满足，从中选出一个数作为输出，这样重复下去，所产生的数列就是一个离散非均匀分布的随机数序列。非均匀离散分布的随机数的产生给定N个x1，x2，…，xN47非均匀离散分布的随机数的产生方法设所求非均匀离散分布随机数的累积概率分布函数为F(x)，其中：F(0)=F0=0，Fk=(k=1，2，…，N〕。设yi是一个(0，1)均匀分布随机数。考察yi，如果，那么把相应的xk选出作为此次取样的输出值。生成n个(0，1)均匀分布的随机数假设随机数yi值∈[Fk-1，Fk〕，取xk数xk服从特定分布非均匀离散分布的随机数的产生方法设所求非均匀离散分布随机48非均匀的连续分布随机数及其产生

对于非均匀的连续分布的随机数，我们同样借助于(0，1)均匀分布随机数进展变换或计算来产生。一般采用的变化方法为 1反函数法(逆变法)2函数变换法3卷积法

非均匀的连续分布随机数及其产生对于非均匀的连续分布49反函数法(逆变法)反函数法也称为概率积分变换法，这种方法所基于的原理是概率积分变换定理，可以简述如下：1给定(0，1)均匀分布随机数yn(n=1，2，...)，如果F-1(yn)是随机变量X的反累积分布函数，那么由公式2xn=F-1(yn)所计算的随机数就是随机变量X的取样值。反函数法(逆变法)反函数法也称为概率积分变换法，这种50反函数法(逆变法)的步骤求出y=F(x)的反函数：

x=F-1(y)。利用(0，1)均匀分布随机数产生程序取得yn。利用x=F-1(y)可得到需要的随机数xn。反函数法(逆变法)的步骤求出y=F(x)的反函数：51指数分布

指数分布的概率密度函数是累积分布函数为生成随机数的逆函数为图中取λ指数分布指数分布的概率密度函数是52随机数的统计检验

用任何一种方法产生的随机数序列在把它用到实际问题中去之前都必须进展一些统计检验，看它是否能够令人满意地作为随机变量的独立取样值(显著性检验)，是否有较好的独立性和均匀性。从理论上说，统计检验并不能得出完全肯定的结论，但是却可以使我们有较大的把握获得具有较好统计性质的随机数序列。随机数的统计检验用任何一种方法产生的随机数序列在把53数字特征检验

数字特征检验是采样平均值、方差与理论平均值、方差差异的显著性检验。在(0，1)区间上均匀分布的随机变量X和X2的平均值及方差分别为数字特征检验数字特征检验是采样平均值、方差与理论平54数字特征检验如果N个随机数x1，x2，…，xN是X的N个独立观测值，令那么它们的平均值和方差为数字特征检验如果N个随机数x1，x2，…，xN是X的N个独立55数字特征检验根据中心极限定理：

渐近地服从正态N(0，1)

当N足够大。故当给定显著性水平后，即可根据正态分布表确定临界值，据此判断与X的平均值E(X)和与的平均值E(X2)之差异是否显著，从而决定能否把x1，x2，…，xN看作是(0，1)均匀分布随机变量X的N个独立取样值。

数字特征检验根据中心极限定理：56分布均匀性检验

分布均匀性检验又称频率检验，是对经历频率和理论频率之间的差异进展检验。把(0，1)区间划分成k等分，以(i=1，2，…，k)表示第i个小区间。如果xs是区间(0，1)上均匀分布的随机变量X的一个取样值，那么xs值落在任一小区间的概率Pi均应等于这些小区间的长度1/k，故xsN个值落在任何一个小区间的平均数。设实际上x1，x2，…，xN中属于第i个小区间的数目为ni，那么统计量渐近地服从自由度为K-1的分布。由的值可以衡量实际频率与理论频率的差异，也就是可以度量实际随机数分布的均匀程度，当两者完全符合时，=0。分布均匀性检验分布均匀性检验又称频率检验，是对经历57问题的值处在多大范围内可以认为的随机数抽样值是符合均匀性要求呢?首先确定一个判定标准α(称为显著度)，并且根据参数γ的值(γ称为自由度，γ=k-1)，从表中查得的值。如果计算所得到的值小于，就认为符合均匀性假设。因为它符合下式如果α=0.05，那么上式表示的概率为0.95，也就是说，对给定显著度α而言，可以认为这一随机数样本是均匀的。通常可取α=0.05~0.1。问题的值处在多大范围内可以认为的随机数抽样值是58独立性检验一个随机数序列可以是均匀分布，但却不一定是独立的，也就是说有可能是互相关联的。两个随机变量得相关系数反映了它们之间的线性相关程度。如果它们相互独立，那么它们的相关系数应为0〔反之不一定〕。所以其值大小可以衡量相关程度。这里对独立性检验主要是对随机数序列中相隔一定间隔的数之间的相关系数进展检验。独立性检验一个随机数序列可以是均匀分布，但却不一定是59独立性检验

设给定N个随机数x1，x2，…，xN，我们计算前后距离为K的样本相关系数rK：

，

k=1，2，…

式中为随机数的方差，

为随机数的平均值，。

独立性检验设给定N个随机数x1，x2，…，xN，我们60独立性检验如果各xi相互独立，那么相关系数rK应为0。在原假设rK=0之下，当N充分大(例如N-K>50)时，统计量

渐近地服从正态分布N(0，1)。同时选定α=0.05，那么根据概率统计理论，当|U|>196时(称为差异显著)，拒绝假设rK=0；反之，那么承受。独立性检验如果各xi相互独立，那么相关系数rK应为0。在61人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。〞通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。人有了知识，就会具备各种分析能力，62随机数和随机变数生成随机数和随机变数生成随机数和随机变数生成对于随机性活动进展研究所利用的数学工具是概率论及数理统计对于实际系统中随机活动进展研究时，往往由于众多的随机因素使得数学描述和分析变得十分困难，这时我们往往求助于计算机仿真。仿真为这类复杂的随机系统的研究提供了一个方便有效的手段。随机数和随机变数生成随机数和随机变数生成随机数和随机变数生成63对于随机性活动进展研究所利用的数学工具是概率论及数理统计对于实际系统中随机活动进展研究时，往往由于众多的随机因素使得数学描述和分析变得十分困难，这时我们往往求助于计算机仿真。仿真为这类复杂的随机系统的研究提供了一个方便有效的手段。对于随机性活动进展研究所利用的数学工具是概率论及数理统计64随机变量：对于随机活动的不同结果我们可以用不同的数值与其对应。这样，就可以用一个变量来描述随机活动，变量按一定的概率取某个值对应于随机活动按一定的概率取某个结果。离散型随机变量：假设随机变量只取有限个数值或可列无穷多个数值，那么称此类随机变量为离散型随机变量。连续型随机变量：假设随机变量可以取值于某个区间中的任一数，我们称为连续型随机变量。随机变量：对于随机活动的不同结果我们可以用不同的数值与其对应65离散型随机变量

数学定义

数学定义：如果一个随机变量x的一切可能取值为x1，x2，…，xn，…，并且X取值xn的概率为Pn，那么X为一个离散型随机变量，{p1，p2，...，pn，...}称为X的概率函数。其中Pn必须满足以下两个条件：〔1〕〔2〕离散型随机变量数学定义数学定义：如果一个随机变量66离散型随机变量概率分布函数离散型随机变量X的累积分布函数定义，当X小于或等于某个给定值x的概率函数，记为P(X≤x)=F(x)。设随机变量X可能取值x1，x2，…，xn，…，那么X的累积分布函数为其中为X取值的概率。由定义可见 当x<y时，F(x)≤F(y)，即F(x)是个单调增加的函数。离散型随机变量概率分布函数离散型随机变量X的累积分布67连续型随机变量定义定义：假设存在非负函数f(x)，使得随机变量X取值于任一区间(a，b)的概率为P(a<x≤b)=，那么称X为连续型随机变量，f(x)称为X的密度函数。对于密度函数f(x)有连续型随机变量定义定义：假设存在非负函数f(x)68连续型随机变量概率密度函数连续型随机变量的累积分布函数定义为随机变量小于或等于x的概率。它用F(x)表示，即由累积分布函数定义可知，当时，。累积分布函数是单调递增函数。连续型随机变量概率密度函数连续型随机变量的累积分布函69概率密度函数

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累积分布函数随机变量X落入区间(a，b)内的概率是。图中给出了一个连续随机变量的密度函数曲线和累积分布函数曲线。密度函数f(x)的值不能为负，要注意的是f(x)的值可以大于1，但是在任意区间(a，b)上由f(x)曲线围出的面积(图中阴影局部)必然<1。从图中也可以看到累积分布函数F(x)的值随x值的增加而增加，而且它最终趋向极限值1。概率密度函数

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累积分布函数随机变量X落入区间(a，b)内70随机变量的数字特征

定义：随机变量的数字特征是与它的分布有关的某些数值，例如平均值、最大可能值等，它们反映了随机变量某些方面的特征。分类：根据随机变量的种类：分别介绍离散型随机变量的数字特征、连续型随机变量的数字特征随机变量的数字特征定义：随机变量的数字特征是与它的分布有关71离散型随机变量的数字特征平均值：设X为离散随机变量，其概率函数由下表给出：其中记，称为X的平均值。数学方差Xx0x1x2……xn…P{X=Xi}P0P1P2……Pn…数学方差反映了各个随机变量的采样值偏离平均值的平均程度变化系数：标准差与平均值的比值，反映了随机数偏离平均值的变化程度。变化系数=离散型随机变量的数字特征平均值：设X为离散随机变量，其概率函72连续型随机变量的数字特征平均值：设X为随机变量，其概率密度函数为f(x)，那么该随机变量的平均值m为：平均值又称为数学期望。数学方差变化系数：标准差与平均值的比值，反映了随机数偏离平均值的变化程度。变化系数=数学方差反映了各个随机变量的采样值偏离平均值的平均程度连续型随机变量的数字特征平均值：设X为随机变量，其概率密度函73随机变量的其它数字特征模值定义为随机变量的概率密度函数在某处取峰值时的x值。当有多个峰值时，取最大峰值作为模值。中间值：如果有一点Xm，随机变量有一半值将落在这一点以下，那么由此点所定义的值Xm称为中间值b中间值可以从累积分布函数曲线上求得，因为它是处的那个点。

在x=1处时f(x)均到达峰值，那么x=1就是随机变量的模值。中间值：Xm=1.6783469随机变量的其它数字特征模值定义为随机变量的概率密度函数在某处74数理统计中的根本运算规那么，X一随机变量，那么E(αX)=αE(X)X，Y为两个相互独立的随机变量，那么E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X一随机变量，那么D(αX)=α2D(X)，X一随机变量，那么D(X+α)=D(X)X，Y为两个相互独立的随机变量，那么D(X+Y)=D(X)+D(Y)数理统计中的根本运算规那么，X一75随机数和随机变数随机变数〔RandomVariates〕离散随机系统仿真模型中有许多随机因素，在模型运行过程中，需要系统不断地从各种概率分布生成一些随机的数值〔通过调用分布函数生成〕，如一个个顾客到达时间间隔〔可能服从指数分布〕，一个个机器效劳时间〔可能服从爱朗分布〕，这些从某种分布生成的随机数值称为随机变数。随机数〔Randomnumbers〕从[0,1]区间上的均匀分布生成的随机变数为随机数。随机数和随机变数的关系在仿真软件中，各种不同分布的随机变数都是由随机数经过某种变换得到的，因此，要得到随机变数，首先需要生成[0,1]区间上的均匀分布的随机数。随机数和随机变数随机变数〔RandomVariates〕76随机数和随机变数如何生成真正均匀分布的、独立的随机数成为仿真软件的一个重要根底。伪随机数仿真软件生成的随机数序列实际上是利用数学公式递推计算得出的，因此，这些随机数实际上是事先就可以确定的，因而并非是真正随机的，故又称为伪随机数。但是这些伪随机数能够通过均匀性和独立性的统计检验，因而可以用于仿真研究。随机数和随机变数如何生成真正均匀分布的、独立的随机数成为仿真77随机数和随机变数生成课件78随机数随机数79(0，1)均匀分布随机数的定义(0，1)均匀分布随机变量x的概率密度函数为累积分布函数(0，1)均匀分布随机数的定义(0，1)均匀分布随机变量x的80(0，1)均匀分布随机数的说明随机变量x落入区间(X1，X2)中的概率等于图中阴影区的面积，其值为(X2-X1)，正比于区间(X1，X2)的大小。需要说明的是在计算机上表示连续变量只能是近似的，因为计算机中的数字只能是有限的位数。如果变量变化的最小步长可以到达计算机表示的最小值，并且在实际需要的精度之内变量可以到达任意值，就可以把这个变量看成是连续的。(0，1)均匀分布随机数的说明随机变量x落入81(0，1)均匀分布随机数的产生方法物理过程：常用的物理装置有放射粒子计数器、电子管随机数产生器。利用电子噪声或放射源去鼓励一个周期为0~9的计数器，对计数器定时选行采样就可以得到所需的随机数的一位数。屡次重复此过程或者利用几个计数器同时运行，就可以得到任意位数的随机数。随机数表：利用物理过程可以得到大量随机数，并将这些数制成表。在使用随机数时就可以依一定的顺序从表中取出随机数。为了适应实际需要的位数，对取出的随机数可以进展截断或拼接处理。随机数产生程序：按照一定的算法计算出具有类似于均匀分布随机变量的独立取样值性质的数。因为这些数是按照定性的算法计算出来的，会有一定的周期性，因而被称为伪随机数。由于我们的目的是利用随机数来对随机活动的统计分析，只要伪随机数的数理统计性质能够满足实际需要就可以了。这些数理统计性质包括均匀性、独立性等。一般计算机上，产生随机数的函数为〔0，1〕均匀分布的随机数。(0，1)均匀分布随机数的产生方法物理过程：常用的物理装置有82计算机产生随机数的算法

用计算机程序通过计算产生的随机数都是伪随机数，它具有一定的周期性。计算机产生随机数的特点：实用性强、简单易操作、产生速度快、计算机存储空间的要求低。计算机上用数字方法产生的随机数的一般要求有：

1.

产生的数值序列要具有分布的均匀性、抽样的随机性、试验的独立性以及前后的一致性。

2.

产生的随机数要有足够长的周期，以满足你真的实际需要。

3.产生随机数的速度要快，占用的内存空间要小。计算机产生随机数的算法用计算机程序通过计算产生的随机数都是83随机数和随机变数生成课件84随机数生成器随机数生成器(Randomnumbergenerator)在仿真软件中，采用某种方法来生成[0,1]区间上的均匀分布的随机数的程序称为随机数生成器。不同仿真软件的随机数生成器采用的随机数生成方法可能不同，由于随机数的质量直接关系到仿真结果是否可信，因此，建模人员需要了解仿真软件的随机数生成器是否是高质量的生成器。随机数生成器种类繁多，以下介绍几个仿真软件中比较常见的随机数生成器。随机数生成器随机数生成器(Randomnumbergen85计算机产生随机数的算法计算机产生随机数的通常方法是利用一个递推公式：给定了k个初始值，就可以利用这个递推公式推算出第k+1个数Xk+1：递推公式有多种形式，其中最常见的有两种：

-平方取中法

-同余法

计算机产生随机数的算法计算机产生随机数的通常方法是86平方取中法这是最早产生随机数的一种方法，一个二进制n位数X，自乘后一般得到一个2n位数X2。设平方后得到：取X0中间的n位数(设n为偶数)作出如下的二进制n位数：重复上述过程，可得二进制n为数序列，，…。令，那么，，…就是所需要的(0，1)均匀分布随机数序列。平方取中法这是最早产生随机数的一种方法，一个87平方取中法

——步骤任取一十进制正整数确定一偶数位数n将所选十进制数化为n位的二进制数平方运算得到2n位的二进制数取2n位二进制数的中间n位作为生成的随机数生成的随机数=上一随机数否是随机数进入循环平方取中法

——步骤任取一十进制正整数确定一偶数位数n将所选88平方取中法——例题任取一正整数：45表示为偶数位的二进制数：101101，共6位该数的平方为：，共6×2=12位取中间的六位，得：111101，该数的十进制表达式为61……最终可以产生的随机数：

45，61，17，36，34，16，32，0，……问题：应用平方取中法时，可能遇到“退化〞的危险，即出现中间所取得值都为0，或形成重复循环序列的现象。——平方取中法的限制平方取中法——例题任取一正整数：45问题：89同余法同余法是将一组数据通过一系列特定的数字运算，最后利用一个数字的整除求余，所得的数值就是一个伪随机数。因为这个计算过程，那么称该求随机数的方法为同余法。同余法的有三种：加同余法、乘同余法和混合同余法。其中以混合同余法产生的随机数统计性质较好，因而获得了最为广泛的应用。同余法具有计算简便的优点。产生随机数的递推公式是：其中a称为乘法因子，c称为加法因子，M为模数〔为随机数的周期〕。当a=1时，加同余法；当c=0时，乘同余法；当a≠1、c≠0时，混合同余法。同余法同余法是将一组数据通过一系列特90(0，1)均匀分布随机数的产生当给定了一个初始值X0之后，就可以利用上式计算出序列X1，X2，…，Xn，…，再取于是y1，y2，…，yn就是所需要的(0，1)均匀分布得随机序列。(0，1)均匀分布随机数的产生当给定了一个初始值X0之后，就91同余法产生〔0，1〕均匀分布的随机数

例题设a=5，c=3，M=8，取X0=1，那么循环叠代式：

利用上述叠代式，可以计算得到：X1=0，X2=3，X3=2，X4=5，X5=4，X6=7，X7=6，X8=1，X9=0，…y1=0.000，y2=0.375，y3=0.250，y4=0.625，y5=0.500，y6=0.875，y7=0.750，y8=0.125，X9=0.000，…我们可以看到此例中，这个随机数序列的周期长度为8，即Xn+8=Xn。很明显：利用同余法产生随机数序列的周期不可能超过所取的模数M值、适当的a、c和X0的值，就可以使随机数序列的周期充分地长、以满足实际的需要。假设利用组合的同余法产生随机数序列，那么可获得大于模数的周期。同余法产生〔0，1〕均匀分布的随机数

例题设a=5，92同余法产生〔0，1〕均匀分布的随机数

产生的根本条件c和M互质，即没有大于1的公因子。M的每个质数因子也是a-1的因子。假设4是M的因子，那么4也是a-1的因子。上述根本条件满足后，混合同余法所产生的随机数序列的周期到达最大值M。同余法产生〔0，1〕均匀分布的随机数

产生的根本条件上述根本93随机数生成器的周期当递推计算得到某个值和以前得到的某个值相等时，那么从该处开场生成的数据序列将和前一个相等值处的序列完全一样〔从而随机数序列Ui也会重复〕，且这个序列会不断重复。这个被重复的序列长度称为一个循环，其长度称为随机数生成器的周期。全周期生成器很明显，线性同余生成器的周期小或等于m，如果周期长度就是m，那么该生成器称为全周期生成器。通过仔细选择参数以获得满足统计要求的尽可能长的全周期生成器是生成器设计的主要目标。在4.1式中，假设c>0,那么又称为混合线性同余生成器，假设c=0，那么称为乘同余生成器。目前使用的大多数线性同余生成器都是乘同余生成器。随机数生成器的周期94乘同余生成器的根本公式素数取模乘同余生成器〔primemodulusmultiplicativeLCG:PMMLCG〕,其算法思路如下:取m是小于2b的最大素数，而a的选择要满足特定的要求这样的乘同余生成器就称为素数取模乘同余生成器。它的循环周期为m–1，且每个循环中1,2,…,m-1这些整数严格地只出现一次。Law〔2021〕建议在PMMLGC中，取m=231-1,取a=630,360,016，这样，周期长度约为21亿。在Flexsim中，默认的随机数生成器也是这个PMMLGC。乘同余生成器的根本公式95随机数流〔stream〕仿真软件中一般会将整个随机数序列分成假设干段，例如100,000个数一段，每段称为一个随机数流〔stream〕，每个流会指定一个编号，如0号流、1号流等等。每个流中的数都是根据公式递推得到〔要变换到[0，1]区间〕每个流的递推公式初始值，即种子〔每个流实际上由该流的种子唯一确定〕，都是事先设定好的〔有时也允许用户自己指定〕。当模型需要随机数时，通常要指定流号，以告知系统从哪个流递推计算取得下一个随机数。例如在Flexsim中调用指数分布函数的形式为exponential(location,scale,stream)，其中第三个参数就是指定从哪个流求取下一个随机数〔这个随机数还要变换成符合指数分布的形式〕，如果省略流参数，那么默认使用0号随机数流。随机数流〔stream〕96如果仿真模型中全部随机因素都使用一个流，例如0号流，那么随着模型的运行，0号流的随机数有可能会消耗完，这时会侵入下一个流取随机数，以保证随机数不重复。随机数流〔stream〕Flexsim中系统已初始化了100个随机数流〔0-99号〕可供直接使用，假设用户需要更多随机数流，就需要自己初始化更多的流，详细信息请参考Flexsim联机帮助。如果仿真模型中全部随机因素都使用一个流，例如0号流，那么随着97组合多重递推生成器虽然PMMLCG生成器周期长度已经很大了，但是在现代计算环境下仍然显得不够用，因此人们仍然在不断探索周期更长的随机数生成器，其中一个比较著名的生成器是组合多重递推生成器〔CombinedMultipleRecursiveGenerator：CombinedMRG〕这种生成器实际上是以某种方式组合了多个随机数生成器生成最终的随机数，其周期长度高达2191，这样每个流的长度也可以非常大，非常便于使用。在Flexsim5.0及以上的版本中，也提供了这种生成器。组合多重递推生成器虽然PMMLCG生成器周期长度已经很大了，98组合多重递推生成器虽然PMMLCG生成器周期长度已经很大了，但是在现代计算环境下仍然显得不够用，因此人们仍然在不断探索周期更长的随机数生成器，其中一个比较著名的生成器是组合多重递推生成器〔CombinedMultipleRecursiveGenerator：CombinedMRG〕这种生成器实际上是以某种方式组合了多个随机数生成器生成最终的随机数，其周期长度高达2191，这样每个流的长度也可以非常大，非常便于使用。在Flexsim5.0及以上的版本中，也提供了这种生成器。组合多重递推生成器虽然PMMLCG生成器周期长度已经很大了，99随机变数的生成仿真模型运行过程中需要的是一个个来自不同分布的随机变数〔randomvariates〕，当它需要一个来自某分布的随机变数时，系统就会调用随机数生成器从指定流中递推计算取得下一个随机数〔randomnumber〕，然后经过某种变换转换成所需的随机变数供给模型使用。那么，系统是如何将[0，1]区间上均匀分布的随机数转换成不同分布的随机变数的呢，研究人员开发了许多方法来执行这种转换，如逆变换法、卷积法、合成法、取舍法等。由于这些方法都是标准方法，各种仿真软件实施的差异不大，建模人员无需对其做过多了解，感兴趣的读者可以参考〔班克斯等2007〕和〔Law2021〕随机变数的生成仿真模型运行过程中需要的是一个个来自不同分布的100随机数和随机变数生成课件101常见随机变量的分布常见随机变量的分布102随机数和随机变数生成课件103随机数和随机变数生成课件104随机数和随机变数生成课件105正态分布正态分布106补充资料：各种离散分布随机数的产生

在生产系统离散仿真时，我们常常使用离散分布的随机变量来描述实际系统中的某些量。例如在企业原材料管理系统中，在一定时间内，到达仓库的物料数就是一个离散随机变量。该随机变量的到达时间是一个随机数，此随机数满足一定的概率分布。我们可以利用〔0，1〕均匀分布随机数来产生各种离散分布的随机数。离散分布的随机数可以分为：均匀分布的离散随机数、非均匀分布的离散随机数补充资料：各种离散分布随机数的产生在生产系统离散仿真时，我107均匀离散分布的随机数的产生给定N个连续整数x1，x2，…，xN，我们以相等的概率从中选出一个数，这样重复下去，所产生的数列就是一个离散均匀分布的随机数序列。每次取样值，式中yk是

(0，1)均匀分布的随机数，。产生〔0，1〕均匀分布的随机数选定产生均匀分布随机数的范围：x1、xN均匀离散分布的随机数的产生给定N个连续整数x1，x2，…，x108非均匀离散分布的随机数的产生给定N个x1，x2，…，xN，我们以相对应的概率P1，P2，…，PN，满足，从中选出一个数作为输出，这样重复下去，所产生的数列就是一个离散非均匀分布的随机数序列。非均匀离散分布的随机数的产生给定N个x1，x2，…，xN109非均匀离散分布的随机数的产生方法设所求非均匀离散分布随机数的累积概率分布函数为F(x)，其中：F(0)=F0=0，Fk=(k=1，2，…，N〕。设yi是一个(0，1)均匀分布随机数。考察yi，如果，那么把相应的xk选出作为此次取样的输出值。生成n个(0，1)均匀分布的随机数假设随机数yi值∈[Fk-1，Fk〕，取xk数xk服从特定分布非均匀离散分布的随机数的产生方法设所求非均匀离散分布随机110非均匀的连续分布随机数及其产生

对于非均匀的连续分布的随机数，我们同样借助于(0，1)均匀分布随机数进展变换或计算来产生。一般采用的变化方法为 1反函数法(逆变法)2函数变换法3卷积法

非均匀的连续分布随机数及其产生对于非均匀的连续分布111反函数法(逆变法)反函数法也称为概率积分变换法，这种方法所基于的原理是概率积分变换定理，可以简述如下：1给定(0，1)均匀分布随机数yn(n=1，2，...)，如果F-1(yn)是随机变量X的反