电磁学若干问题第二讲课件

奥林匹克物理竞赛电磁学若干问题第二讲奥林匹克物理竞赛1电流的若干问题边界的若干问题电路的若干问题电像法的若干问题电流的若干问题2一、电流的若干问题一、电流的若干问题3电流强度:电流密度:n0S0I欧姆定律的两种形式:

电流强度:电流密度:n0S0I欧姆定律的两种形式:4【第1题】磁场会影响电子的运动，从而使存在磁场时的电流与电压关系偏离通常的欧姆定律。设XOY平面内有面密度为n的二维电子气，平面沿X轴正方向存在均匀的电场E=Eex,垂直于平面的Z方向存在均匀磁场，B=Bez,已知平面内电子运动受到的散射阻力与速度v成正比，可以等效地用一时间参量t描述为-mv/t,m为电子质量，试求在稳态时沿x和y方向的电流密度。（w=eB/m)【第1题】磁场会影响电子的运动，从而使存在磁场时的电流与电5【解】列出X和Y方向的电子运动方程：电子处于稳态，ax=0，ay=0,则：【解】列出X和Y方向的电子运动方程：电子处于稳态，ax=06根据电流密度定义，有：可见在Y方向亦产生电流。根据电流密度定义，有：可见在Y方向亦产生电流。7【第2题】某些海洋动物能探测到离它一定距离的其它动物，因为这些动物会产生电流，某些捕食者利用这个特性来猎物。

猎物的发电机制和捕食者的探测器可以用简图表示。猎物体内电流在分别带有正负电位的两球体之间流动，设距离为l,半径为r(<<l)，海水的电阻率为r.设猎物的电阻率与海水一样，因而它们没有边界。

探测器可以类似地简化为捕食者身上的两个球，并与海水接触，和猎物的一对电极相平行，两球距离为ld,每个球半径为rd(<<ld),设电场强度在连接探测器的两球连线上位常数，因此探测器、猎物和海水以及捕食者构成一个闭合回路。【第2题】某些海洋动物能探测到离它一定距离的其它动物，因为这8

V为猎物感应产生，等效于一个电动势，Rm是半径为rd的两球球被周围海水包围产生的电阻。Vd和Rd分别是捕食者体内两球的电势差和电阻。（1）确定探测器中点P的场强Ep，设猎物体内的电流为Is.(2)确定猎物体内两球间的电势差Vs.确定两源球之间的电阻Rs和源产生的功率Ps.(3)确定两探测器之间的电阻Rd.探测器之间的电势差Vd和功率Pd.(4)确定使探测器功率达到最大值的最佳电阻Rd,并确定最大功率。V为猎物感应产生，等效于一个电动势，Rm是半径为rd的9【解】（1）【解】（1）10（2）（2）11电磁学若干问题第二讲课件12（3）（3）13（4）电阻为：（4）电阻为：14电磁学若干问题第二讲课件15二、边界的若干问题二、边界的若干问题161.导体的边界条件导体外靠近其表面的地方的电场与表面垂直，其场强大小为s/e0。1.导体的边界条件导体外靠近其表面的地方的电场与表面垂直，其17静电平衡时，电荷只分布在导体的表面，导体内部体电荷密度处处为零。导体为等势体。导体表面为等势面。静电平衡时，电荷只分布在导体的表面，导体内部体电荷密度处处为182.交界面得自由电荷把高斯定理应用于界面上的圆柱形封闭曲面：d是侧面的电位移矢量的通量。h0,d02.交界面得自由电荷把高斯定理应用于界面上19又所以：或若交界面上无自由电荷，则：又所以：或若交界面上无自由电荷，则：203.交界面电场线的折射定律静电场为保守力场，因此：3.交界面电场线的折射定律静电场为保守力场，因此：21电磁学若干问题第二讲课件22若第二种介质是真空，则P2=0，由介质指向真空，这时若第二种介质是真空，则P2=0，由介质指向真空，这时23电磁学若干问题第二讲课件24极化电荷与自由电荷的关系极化电荷与自由电荷的关系25[第3题]平板电容器内充满2层均匀介质，厚度分别为d1和d2，相对介电常数为e1和e2，电容器所加电压为U，求（1）电容器的电容；（2）介质分界面的极化电荷面密度。[第3题]平板电容器内充满2层均匀介质，厚度分别为d1和d226电容器相当于两个电容串联，则总电容为：其中：代入，有：电容器相当于两个电容串联，则总电容为：其中：代入，有：27极板上所带自由电荷的电量Q0为：又，极板上所带自由电荷的电量Q0为：又，28电容器内电场强度也可以用总电荷来表示：可以解得：两种介质的分界面的极化电荷密度为：电容器内电场强度也可以用总电荷来表示：可以解得：两种介质的分29【第4题】球形电容器充满两种介质，分界面半径为d,求电容以及介质分界面的极化电荷密度。[解]：分界面为等势面，自由电荷q0产生的场强为：【第4题】球形电容器充满两种介质，分界面半径为d,求电容以30在介质中：在介质中：31所以，电容值为：极化强度：所以，电容值为：极化强度：32极化电荷面密度：在两种介质交界面处，极化电荷面密度为：极化电荷面密度：在两种介质交界面处，极化电荷面密度为：33[第5题]内壳层带有+q的电荷,求各区域的电场强度和各界面的电荷.[第5题]内壳层带有+q的电荷,求各区域的电场强度和各界面34当电场平行于介质交界面时，所示，即电场在交界面的法向方向En=0，两种介质的分界面不可能有极化电荷存在.

由于导体表面为等势面,故存在极化电荷时,由自由电荷和极化电荷共同来保证其等势面，即总面电荷为:电场与没有介质存在时的电场具有相同的构形。

当电场平行于介质交界面时，所示，即电场在交界面的法向方向En35电磁学若干问题第二讲课件36电磁学若干问题第二讲课件37电磁学若干问题第二讲课件386.导体界面的电流场分布在导体和绝缘体的交界面附近，由电场强度边界条件，即：

6.导体界面的电流场分布在导体和绝缘体的交界面附近，由电场强39代入欧姆定理,有:两种导体的分界面出现电荷积累,电流密度法线分量不连续.若电流和面积相等,则:代入欧姆定理,有:两种导体的分界面出现电荷积累,电流密40对于稳恒电流，电荷不可能在交界面堆积(单一材料)，否则电流不稳恒，因而电流密度只能沿着交界面亦即在交界面上，电流密度j只有切向分量，没有法向分量。

对于稳恒电流，电荷不可能在交界面堆积(单一材料)，否则电流不41【第6题】1mA的电流流过一根导线，导线的一段是铜，一段是铁，两部分以相同的截面积焊接起来，求在两种材料的分界面上积累多少电荷？【第6题】1mA的电流流过一根导线，导线的一段是铜，一段是铁42【解】对本问题，这个电荷却只占基本电荷的1/30，这个奇怪的现象说明经典电磁学不能很好地描述微观现象，只有用量子力学才能给出合理的解释。【解】对本问题，这个电荷却只占基本电荷的1/30，这个奇怪的43三、电路的若干问题三、电路的若干问题441.基尔霍夫方程基尔霍夫第二方程1.基尔霍夫方程基尔霍夫第二方程45对N个节点，P条支路由第一和第二方程，一共可得到

个方程，由此可解出P条支路上的电流。对N个节点，P条支路由第一和第二方程，一共可得到46[第7题】有缺陷的电阻如图所示，有一个圆柱形的电阻，半径为b，长度为L，电导率为s1，在电阻的中心有一个小的球形缺陷，半径为a，电导率为s2,流入和流出电阻的电流在电阻的两端面上分布均匀。（1）若s1=s2,电阻的阻值是多少？（2）估算由缺陷带来的阻值变化。[第7题】有缺陷的电阻47【解】（1）（2）把缺陷看成是半径为a，长度为a的圆柱体（注意不能使用小球形球心到球面之间的电阻值，因为电流流动是从一面到另一面，不是从中心到外面）。它与实际电阻同轴，其中心位于实际电阻中心。

等效电路为：【解】（1）（2）把缺陷看成是半径为a，长度为a的圆柱体（注48电磁学若干问题第二讲课件49【第8题】如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B、C两点与其右方由1.0Ω的电阻和2.0Ω的电阻构成的无穷组合电路相接．求图中10μF的电容器与E点相接的极板上的电荷量．【第8题】如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B、C两50【解】设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC

：

【解】设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC：51设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3，各电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和Q3，极性如图3所示．由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即A、E两点间的电势差设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3，各电容器极板52代入C1、C2和C3之值后可得即电容器C3与E点相接的极板带负电，电荷量为．代入C1、C2和C3之值后可得即电容器C3与E点相接的极板带53【第10题】两块导体嵌入电导率为s,介电常数为e的无限大介质中,已知两导体之间的电阻为R,求导体间的电容.[解]设导体分别带+Q,-Q,任取一高斯面包围+Q导体,则流出该导体的电流为:2、漏电介质【第10题】两块导体嵌入电导率为s,介电常数为e的无限大介54由欧姆定理:故导体间的电容为:由欧姆定理:故导体间的电容为:55【第11题】一平行板电容器两极板的面积为S，两板间充满两层均匀介质，它们的厚度为d1和d2，相对介电常数为e1和e2，电导率为s1和s2，当两极板间加电势差U时，略去边缘效应，试求（1）两介质中的E;（2）通过电容器中的电流；（3）介质分界面的电荷面密度.[解]（1）两极板间的电阻为：（2）通过电容器的电流为：【第11题】一平行板电容器两极板的面积为S，两板间充满两层均56电场强度为：电流密度为：电场强度为：电流密度为：57交界面的极化电荷面密度为：交界面的总电荷面密度为：交界面的自由电荷面密度为：交界面的极化电荷面密度为：交界面的总电荷面密度为：交界面的自58【第12题】求半径为a,b的同心球形导体之间的电阻,设导体之间充满电导率为s的物质.【第12题】求半径为a,b的同心球形导体之间的电阻,设导59[解]设在内外球之间加一电压(内球电压高),则有电流通过内球流到外球,设内球带电量为Q,由高斯定理:流出的总电流为:[解]设在内外球之间加一电压(内球电压高),则有电流通过内60电磁学若干问题第二讲课件61【第13题】一对半径为a和b（a<b）的同心金属球壳中间填充了介电常数为e、电导率为s的介质，设t=0时内球壳上突然出现了电量q，（1）计算介质中的电流；（2）计算电流产生的焦耳热；（3）计算放电前介质中的静电能。【第13题】一对半径为a和b（a<b）的同心金属球壳中间填充62解：(1)设内球t=0时的电量为q，则：由电荷守恒，有：解：(1)由电荷守恒，有：63(2)介质单位体积中的焦耳热为：(2)介质单位体积中的焦耳热为：64(3)放电前的静电能为：(3)放电前的静电能为：65给定的边界条件为整个边界上的电势值；或所给定的边界条件为整个边界上的电场强度；或所给定的边界条件部分为电势值，部分为电场强度。满足上述边界条件的解是唯一的。意味着我们可以采用多种形式的求解方法，包括某些特殊、简便的方法，甚至是直接观察的方法。只要能找到一个解，那么此解必定是该问题的唯一正确解！无须再做进一步的验证。四、唯一性定理给定的边界条件为整个边界上的电势值；661.电像法电像法是求解静电场的一种特殊方法。它特别适用于一平面（或球面、圆柱面）导体前面存在点电荷或线电荷情况下的静电场计算问题。1.电像法电像法是求解静电场的一种特殊方法。它特别适用于一67一点电荷位于一无限大接地导体的前面，距离为d，则在导体表面将有感应电荷，感应电荷的分布比较复杂，导体外侧的电场由点电荷和感应电荷共同产生，所产生的场在边界上满足U=0。我们可以把感应电荷的贡献用一虚拟（镜像）电荷来替代，问题是要找出该镜像电荷的位置和数值。根据唯一性定理，所得到的解将是唯一正确的解。点电荷对无限大接地导体的镜像一点电荷位于一无限大接地导体的前面，距离为d，则在导体表面将68镜像的电荷：q’=-q，镜像的位置：-d由q和q’组成的系统正好满足边界条件，即

：Pqq’dd’rr’xy镜像的电荷：q’=-q，Pqq’dd’rr’xy69x>0区域的电场强度为：x>0区域的势为：x>0区域的电场强度为：x>0区域的势为：70导体表面的电场强度为：导体表面的感应电荷面密度为：导体表面的总感应电荷为：导体表面的电场强度为：导体表面的感应电荷面密度为：导体表面的71点电荷所受的力需计算q0所在处由感应电荷所产生的电场强度点电荷所受的力需计算q0所在处由感应电荷所产生的电场强度72直角导体平面形成区域中点电荷的镜像直角导体平面形成区域中点电荷的镜像73电磁学若干问题第二讲课件74【第14题】一无限大金属平板上悬挂一弹簧振子,弹性系数为k,其质量为m,带电荷q.起始单簧振子处于平衡状态,若使振子向下偏离一小位置x,求其振动周期.【第14题】一无限大金属平板上悬挂一弹簧振子,弹性系数为k75[解]弹簧平衡时长度为:当弹簧向下拉x时,其力为:[解]弹簧平衡时长度为:当弹簧向下拉x时,其力为:76所以,振动周期为:所以,振动周期为:77使用镜像法电荷做功问题讨论【例】真空中有一点电荷q，它到一接地无限导体平面的距离为a,试求：（1）将该电荷从该处移到无限处所做的功。（2）q与像电荷之间的电势能。（3）当q是一个电子，a=1°A,求所需功的数值。使用镜像法电荷做功问题讨论【例】真空中有一点电荷q，它到一78【解】（1）感应电荷用镜像电荷表示电场力所做的功：【解】（1）感应电荷用镜像电荷表示电场力所做的功：79（2）q在a处，它与像电荷之间的电势能为：q在∞处，它与像电荷之间的电势能为：如果在像电荷处放置一个不动的电荷-q,则，这时静电场做功为：（2）q在a处，它与像电荷之间的电势能为：q在∞80两个点电荷之间的电势能是电场充满整个空间的能量，而本题中导体中的电场为零，实际电场只占据一半空间，因而电势能也只有一半！正确的解法：两个点电荷之间的电势能是电场充满整个空间的能量81电磁学若干问题第二讲课件822.点电荷对导体球面的镜像qq’PARR’rdd’aq2.点电荷对导体球面的镜像qq’PARR’rdd’aq83球面上：Us=0，设置镜像位置d’<a,边界条件要求：上式对任意的q都成立，可改写为：球面上：Us=0，设置镜像位置d’<a,边界条件要求：上式对84比较等式两边相应的系数，有：第（2）组解违背镜像电荷设置原则，应舍去。解该方程组，有：比较等式两边相应的系数，有：第（2）组解违背镜像电荷设置原则85使用电像法注意事项（1）像电荷不能放置再物电荷侧！(2)不能使用像电荷求像侧的电场，电势等！使用电像法注意事项（1）像电荷不能放置再物电荷侧！86r>a区域的电势：r>a区域的电场强度：导体表面的电荷密度r>a区域的电势：r>a区域的电场强度：导体表面的电荷密度87感应电荷总量定于镜像电荷电量。感应电荷总量定于镜像电荷电量。88（1）点电荷所受到导体球的作用力？（2）点电荷放置在球内，问题又如何？（3）导体球不接地，如何处理该问题？其它问题：（1）点电荷所受到导体球的作用力？其它问题：89球既不带电，又不接地，球外有一点电荷q。

像电荷：q’=-(a/d)q，位置为：x=a2/d

球面上另有一均匀分布电荷，q’=(a/d)q.既满足球面总电荷为零，也满足球面是等势面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠加而成。球既不带电，又不接地，像电荷：q’=-(a/d)q90(2)球带电Q，但不接地，球外有一点电荷q。

像电荷：q’=-(a/d)q，位置为：x=a2/d

球面上另有一均匀分布电荷，Q-q’。这样既满足球面总电荷为Q，也满足球面是等势面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠加而成。(2)球带电Q，但不接地，像电荷：q’=-(a/d91

球外点电荷q所受导体球Q的作用力取决于导体球Q在该点的电场强度。于是，总电量为Q的导体球在球外点电荷q处的电场强度为：为使导体球在静电平衡时受到q的作用力吸引，试确定q的取值范围。点电荷q所受作用力为：

球外点电荷q所受导体球Q的作用力取决于导体球Q在该点92把x和q’代入上式，得：

当F＞0时，为斥力；当F＜0时，为吸引力．为使F＜0，要求上式右边方括号中的量为正值，即要求：把x和q’代入上式，得：当F＞0时，为斥力；当F＜93电磁学若干问题第二讲课件94(3)球不带电,但却有一固定的电势U，球外有一点电荷q。

像电荷：q’=-(a/d)q，位置为：x=a2/d

球面上另有一均匀分布的电荷:aq/d.

球心处上另有一像电荷：Q=4pe0RU–aq/d

这样满足球面是等势面，电势为U，又不带电，由唯一性定理知，球外的电势由四个电荷叠加而成。(3)球不带电,但却有一固定的电势U，像电荷：95电磁学若干问题第二讲课件96电磁学若干问题第二讲课件97球面上的感应电荷量：球面上的感应电荷量：98导体平面上的感应电荷量：导体平面上的感应电荷量：99电磁学若干问题第二讲课件1003.线电荷对导体圆柱面的镜像ll’PARR’rdd’aq3.线电荷对导体圆柱面的镜像ll’PARR’rdd’aq101柱外任一点的电势为：导体柱表面的电势为零，即：满足任意q的解为：柱外任一点的电势为：导体柱表面的电势为零，即：满足任意q的解102[拓展题]真空中两条圆柱型无限长平行直导线，半径分别为R1和R2,相距为d(d>R1+R2),求它们单位长度的电容。[拓展题]真空中两条圆柱型无限长平行直导线，半径分别为R1和103电磁学若干问题第二讲课件104【第15题】两个半径同为R的导体球相互接触，形成孤立双导体系统。求此系统的电容值。【第15题】两个半径同为R的导体球相互接触，形成孤立双导体系105[解]孤立导体系统的电容等于系统带电量与其电势的比值。当系统带电量给定后,设法确定其电势,便得到系统的电容。或者,当系统电势给定后,设法确定其带电量,同样可得到系统的电容。此题两个相互接触的导体球,存在相互感应的问题,因此,不管采用何种方法,均需连续使用镜像法,逐次逼近。处理中利用的镜像法,涉及一个半径为R的接地导体球,以及球外离球心距离为d的一个带电量为Q的点电荷系统。在导体球电势为零的条件下,导体球上感应电荷的效果可以等价于球内假想的像电荷的效果,此像电荷带电量和它在系统对称轴线上离球心距离分别为：[解]孤立导体系统的电容等于系统带电量与其电势的比值。当系106电磁学若干问题第二讲课件107电磁学若干问题第二讲课件108

如此不断继续,直至每个导体球内引入n个点电荷(n→∞),以维持电势U0不变。从上面几个像电荷电量表达式,很容易联想到,当n→∞时,qn→0。从而得到在系统电势保持U0

的条件下,系统(两球)的总带电量为:因此得到相互接触孤立等半径导体系统的电容为：

如此不断继续,直至每个导体球内引入n个点电荷109电磁学若干问题第二讲课件110电磁学若干问题第二讲课件111【第16题】半径为R的接地导体球外有一电偶极子p=2ql,设偶极子的轴线通过球心,距离为L.求电偶极子产生的电场.【第16题】半径为R的接地导体球外有一电偶极子p=2ql,112电磁学若干问题第二讲课件113因L>>l:等效于因L>>l:等效于114电磁学若干问题第二讲课件115【第17题】半径为R的导体球[1.接地;2.电势为U]下悬挂一弹簧振子,

弹性系数为k,其质量为m,带电荷q.求振子在平衡点作微小振动的周期.

【第17题】半径为R的导体球[1.接地;2.电势为U]下悬116【第18题】如图所示，两块足够大的接地导体平面A和B平行竖直放置，相距2d，d＝10cm．在两板之间的中央位置，用长l＝1m的绝缘细线悬挂一个质量m=0.1g；电量q=5×10-9C的小摆球，让小摆球稍稍偏离平衡位置后释放，使之小角度摆动。忽略各种电磁阻尼和空气阻尼．试求小球的摆动周期T。

【第18题】如图所示，两块足够大的接地导体平面A和B平行竖直117

[解]

当带电摆球偏离中央位置时，也有相应的左、右无限系列的镜像点电荷。取小球的中央位置为原点，取水平向右为x轴．则当带电摆球在x位置时，各镜像点电荷的位置如图所示。[解]当带电摆球偏离中央位置时，也有相应的左、右无限系列118这些镜像点电荷对带电摆球静电作用力的合力为：因，故：这些镜像点电荷对带电摆球静电作用力的合力为：因，119所以：因为：把有关数据代入，得：当摆球在x位置时，所受摆线张力的水平分量为：所以：因为：把有关数据代入，得：当摆球在x位置时，所受摆线张120故摆球在x位置时，所受沿x方向的合力为：

这是一个线性回复力，摆球在它的作用下围绕中央的平衡位置作简谐振动，其振动周期为：得：故摆球在x位置时，所受沿x方向的合力为：这是一个线性121【第19题】有2个电量相同的点电荷相距为2b,在它们中间放置一个接地的导体球,为抵消两球之间电荷斥力,求导体球最小半径的近似值.

(R=b/8)【第19题】有2个电量相同的点电荷相距为2b,在它们中间放置122[例]均匀外场中放入一半径为a,带电量为Q的导体球,求感应电荷在球外任一点产生的电势。[例]均匀外场中放入一半径为a,带电量为Q的导体球,求感123唯一性定理对“电象”的要求是：“电象在球面上的电势与E0在球面上的电势之和必为常数（因球面为等势面）唯一性定理对“电象”的要求是：124电偶极子的电势为：A、B两点由电偶极子产生的电势差为：外电场在A、B两点产生的电势差为：电偶极子的电势为：A、B两点由电偶极子产生的电势差为：外电场125A、B两点总电势差为：球面为等势面这个条件要求上式必为零，则：故球外任一点的电势为：A、B两点总电势差为：球面为等势面这个条件要求上式必为零，则1264.点电荷对无限大介质平面的镜像qdxye1e2n4.点电荷对无限大介质平面的镜像qdxye1e2n127Pq’qddr’rxye1e1n区域1：镜像电荷q’全空间的介质为e1Pq+q’’dr‘’xye2e2n区域2：镜像电荷q’’全空间的介质为e2Pq’qddr’rxye1e1n区域1：镜像电荷q’Pq+q128区域1：电势和电位移矢量由q和镜像电荷q’贡献：区域2：电势和电位移矢量由q和镜像电荷q’’贡献：在边界面上有：区域1：电势和电位移矢量由q和镜像电荷q’贡献：区域2：电129代入边界条件有：解出两个镜像电荷值为：代入边界条件有：解出两个镜像电荷值为：130结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。WhenYouDoYourBest,FailureIsGreat,SoDon'TGiveUp,StickToTheEnd结束语131感谢你的到来与聆听学习并没有结束，希望继续努力Thanksforlistening,thiscourseisexpectedtobringyouvalueandhelp感谢你的到来与聆听132奥林匹克物理竞赛电磁学若干问题第二讲奥林匹克物理竞赛133电流的若干问题边界的若干问题电路的若干问题电像法的若干问题电流的若干问题134一、电流的若干问题一、电流的若干问题135电流强度:电流密度:n0S0I欧姆定律的两种形式:

电流强度:电流密度:n0S0I欧姆定律的两种形式:136【第1题】磁场会影响电子的运动，从而使存在磁场时的电流与电压关系偏离通常的欧姆定律。设XOY平面内有面密度为n的二维电子气，平面沿X轴正方向存在均匀的电场E=Eex,垂直于平面的Z方向存在均匀磁场，B=Bez,已知平面内电子运动受到的散射阻力与速度v成正比，可以等效地用一时间参量t描述为-mv/t,m为电子质量，试求在稳态时沿x和y方向的电流密度。（w=eB/m)【第1题】磁场会影响电子的运动，从而使存在磁场时的电流与电137【解】列出X和Y方向的电子运动方程：电子处于稳态，ax=0，ay=0,则：【解】列出X和Y方向的电子运动方程：电子处于稳态，ax=0138根据电流密度定义，有：可见在Y方向亦产生电流。根据电流密度定义，有：可见在Y方向亦产生电流。139【第2题】某些海洋动物能探测到离它一定距离的其它动物，因为这些动物会产生电流，某些捕食者利用这个特性来猎物。

猎物的发电机制和捕食者的探测器可以用简图表示。猎物体内电流在分别带有正负电位的两球体之间流动，设距离为l,半径为r(<<l)，海水的电阻率为r.设猎物的电阻率与海水一样，因而它们没有边界。

探测器可以类似地简化为捕食者身上的两个球，并与海水接触，和猎物的一对电极相平行，两球距离为ld,每个球半径为rd(<<ld),设电场强度在连接探测器的两球连线上位常数，因此探测器、猎物和海水以及捕食者构成一个闭合回路。【第2题】某些海洋动物能探测到离它一定距离的其它动物，因为这140

V为猎物感应产生，等效于一个电动势，Rm是半径为rd的两球球被周围海水包围产生的电阻。Vd和Rd分别是捕食者体内两球的电势差和电阻。（1）确定探测器中点P的场强Ep，设猎物体内的电流为Is.(2)确定猎物体内两球间的电势差Vs.确定两源球之间的电阻Rs和源产生的功率Ps.(3)确定两探测器之间的电阻Rd.探测器之间的电势差Vd和功率Pd.(4)确定使探测器功率达到最大值的最佳电阻Rd,并确定最大功率。V为猎物感应产生，等效于一个电动势，Rm是半径为rd的141【解】（1）【解】（1）142（2）（2）143电磁学若干问题第二讲课件144（3）（3）145（4）电阻为：（4）电阻为：146电磁学若干问题第二讲课件147二、边界的若干问题二、边界的若干问题1481.导体的边界条件导体外靠近其表面的地方的电场与表面垂直，其场强大小为s/e0。1.导体的边界条件导体外靠近其表面的地方的电场与表面垂直，其149静电平衡时，电荷只分布在导体的表面，导体内部体电荷密度处处为零。导体为等势体。导体表面为等势面。静电平衡时，电荷只分布在导体的表面，导体内部体电荷密度处处为1502.交界面得自由电荷把高斯定理应用于界面上的圆柱形封闭曲面：d是侧面的电位移矢量的通量。h0,d02.交界面得自由电荷把高斯定理应用于界面上151又所以：或若交界面上无自由电荷，则：又所以：或若交界面上无自由电荷，则：1523.交界面电场线的折射定律静电场为保守力场，因此：3.交界面电场线的折射定律静电场为保守力场，因此：153电磁学若干问题第二讲课件154若第二种介质是真空，则P2=0，由介质指向真空，这时若第二种介质是真空，则P2=0，由介质指向真空，这时155电磁学若干问题第二讲课件156极化电荷与自由电荷的关系极化电荷与自由电荷的关系157[第3题]平板电容器内充满2层均匀介质，厚度分别为d1和d2，相对介电常数为e1和e2，电容器所加电压为U，求（1）电容器的电容；（2）介质分界面的极化电荷面密度。[第3题]平板电容器内充满2层均匀介质，厚度分别为d1和d2158电容器相当于两个电容串联，则总电容为：其中：代入，有：电容器相当于两个电容串联，则总电容为：其中：代入，有：159极板上所带自由电荷的电量Q0为：又，极板上所带自由电荷的电量Q0为：又，160电容器内电场强度也可以用总电荷来表示：可以解得：两种介质的分界面的极化电荷密度为：电容器内电场强度也可以用总电荷来表示：可以解得：两种介质的分161【第4题】球形电容器充满两种介质，分界面半径为d,求电容以及介质分界面的极化电荷密度。[解]：分界面为等势面，自由电荷q0产生的场强为：【第4题】球形电容器充满两种介质，分界面半径为d,求电容以162在介质中：在介质中：163所以，电容值为：极化强度：所以，电容值为：极化强度：164极化电荷面密度：在两种介质交界面处，极化电荷面密度为：极化电荷面密度：在两种介质交界面处，极化电荷面密度为：165[第5题]内壳层带有+q的电荷,求各区域的电场强度和各界面的电荷.[第5题]内壳层带有+q的电荷,求各区域的电场强度和各界面166当电场平行于介质交界面时，所示，即电场在交界面的法向方向En=0，两种介质的分界面不可能有极化电荷存在.

由于导体表面为等势面,故存在极化电荷时,由自由电荷和极化电荷共同来保证其等势面，即总面电荷为:电场与没有介质存在时的电场具有相同的构形。

当电场平行于介质交界面时，所示，即电场在交界面的法向方向En167电磁学若干问题第二讲课件168电磁学若干问题第二讲课件169电磁学若干问题第二讲课件1706.导体界面的电流场分布在导体和绝缘体的交界面附近，由电场强度边界条件，即：

6.导体界面的电流场分布在导体和绝缘体的交界面附近，由电场强171代入欧姆定理,有:两种导体的分界面出现电荷积累,电流密度法线分量不连续.若电流和面积相等,则:代入欧姆定理,有:两种导体的分界面出现电荷积累,电流密172对于稳恒电流，电荷不可能在交界面堆积(单一材料)，否则电流不稳恒，因而电流密度只能沿着交界面亦即在交界面上，电流密度j只有切向分量，没有法向分量。

对于稳恒电流，电荷不可能在交界面堆积(单一材料)，否则电流不173【第6题】1mA的电流流过一根导线，导线的一段是铜，一段是铁，两部分以相同的截面积焊接起来，求在两种材料的分界面上积累多少电荷？【第6题】1mA的电流流过一根导线，导线的一段是铜，一段是铁174【解】对本问题，这个电荷却只占基本电荷的1/30，这个奇怪的现象说明经典电磁学不能很好地描述微观现象，只有用量子力学才能给出合理的解释。【解】对本问题，这个电荷却只占基本电荷的1/30，这个奇怪的175三、电路的若干问题三、电路的若干问题1761.基尔霍夫方程基尔霍夫第二方程1.基尔霍夫方程基尔霍夫第二方程177对N个节点，P条支路由第一和第二方程，一共可得到

个方程，由此可解出P条支路上的电流。对N个节点，P条支路由第一和第二方程，一共可得到178[第7题】有缺陷的电阻如图所示，有一个圆柱形的电阻，半径为b，长度为L，电导率为s1，在电阻的中心有一个小的球形缺陷，半径为a，电导率为s2,流入和流出电阻的电流在电阻的两端面上分布均匀。（1）若s1=s2,电阻的阻值是多少？（2）估算由缺陷带来的阻值变化。[第7题】有缺陷的电阻179【解】（1）（2）把缺陷看成是半径为a，长度为a的圆柱体（注意不能使用小球形球心到球面之间的电阻值，因为电流流动是从一面到另一面，不是从中心到外面）。它与实际电阻同轴，其中心位于实际电阻中心。

等效电路为：【解】（1）（2）把缺陷看成是半径为a，长度为a的圆柱体（注180电磁学若干问题第二讲课件181【第8题】如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B、C两点与其右方由1.0Ω的电阻和2.0Ω的电阻构成的无穷组合电路相接．求图中10μF的电容器与E点相接的极板上的电荷量．【第8题】如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B、C两182【解】设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC

：

【解】设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC：183设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3，各电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和Q3，极性如图3所示．由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即A、E两点间的电势差设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3，各电容器极板184代入C1、C2和C3之值后可得即电容器C3与E点相接的极板带负电，电荷量为．代入C1、C2和C3之值后可得即电容器C3与E点相接的极板带185【第10题】两块导体嵌入电导率为s,介电常数为e的无限大介质中,已知两导体之间的电阻为R,求导体间的电容.[解]设导体分别带+Q,-Q,任取一高斯面包围+Q导体,则流出该导体的电流为:2、漏电介质【第10题】两块导体嵌入电导率为s,介电常数为e的无限大介186由欧姆定理:故导体间的电容为:由欧姆定理:故导体间的电容为:187【第11题】一平行板电容器两极板的面积为S，两板间充满两层均匀介质，它们的厚度为d1和d2，相对介电常数为e1和e2，电导率为s1和s2，当两极板间加电势差U时，略去边缘效应，试求（1）两介质中的E;（2）通过电容器中的电流；（3）介质分界面的电荷面密度.[解]（1）两极板间的电阻为：（2）通过电容器的电流为：【第11题】一平行板电容器两极板的面积为S，两板间充满两层均188电场强度为：电流密度为：电场强度为：电流密度为：189交界面的极化电荷面密度为：交界面的总电荷面密度为：交界面的自由电荷面密度为：交界面的极化电荷面密度为：交界面的总电荷面密度为：交界面的自190【第12题】求半径为a,b的同心球形导体之间的电阻,设导体之间充满电导率为s的物质.【第12题】求半径为a,b的同心球形导体之间的电阻,设导191[解]设在内外球之间加一电压(内球电压高),则有电流通过内球流到外球,设内球带电量为Q,由高斯定理:流出的总电流为:[解]设在内外球之间加一电压(内球电压高),则有电流通过内192电磁学若干问题第二讲课件193【第13题】一对半径为a和b（a<b）的同心金属球壳中间填充了介电常数为e、电导率为s的介质，设t=0时内球壳上突然出现了电量q，（1）计算介质中的电流；（2）计算电流产生的焦耳热；（3）计算放电前介质中的静电能。【第13题】一对半径为a和b（a<b）的同心金属球壳中间填充194解：(1)设内球t=0时的电量为q，则：由电荷守恒，有：解：(1)由电荷守恒，有：195(2)介质单位体积中的焦耳热为：(2)介质单位体积中的焦耳热为：196(3)放电前的静电能为：(3)放电前的静电能为：197给定的边界条件为整个边界上的电势值；或所给定的边界条件为整个边界上的电场强度；或所给定的边界条件部分为电势值，部分为电场强度。满足上述边界条件的解是唯一的。意味着我们可以采用多种形式的求解方法，包括某些特殊、简便的方法，甚至是直接观察的方法。只要能找到一个解，那么此解必定是该问题的唯一正确解！无须再做进一步的验证。四、唯一性定理给定的边界条件为整个边界上的电势值；1981.电像法电像法是求解静电场的一种特殊方法。它特别适用于一平面（或球面、圆柱面）导体前面存在点电荷或线电荷情况下的静电场计算问题。1.电像法电像法是求解静电场的一种特殊方法。它特别适用于一199一点电荷位于一无限大接地导体的前面，距离为d，则在导体表面将有感应电荷，感应电荷的分布比较复杂，导体外侧的电场由点电荷和感应电荷共同产生，所产生的场在边界上满足U=0。我们可以把感应电荷的贡献用一虚拟（镜像）电荷来替代，问题是要找出该镜像电荷的位置和数值。根据唯一性定理，所得到的解将是唯一正确的解。点电荷对无限大接地导体的镜像一点电荷位于一无限大接地导体的前面，距离为d，则在导体表面将200镜像的电荷：q’=-q，镜像的位置：-d由q和q’组成的系统正好满足边界条件，即

：Pqq’dd’rr’xy镜像的电荷：q’=-q，Pqq’dd’rr’xy201x>0区域的电场强度为：x>0区域的势为：x>0区域的电场强度为：x>0区域的势为：202导体表面的电场强度为：导体表面的感应电荷面密度为：导体表面的总感应电荷为：导体表面的电场强度为：导体表面的感应电荷面密度为：导体表面的203点电荷所受的力需计算q0所在处由感应电荷所产生的电场强度点电荷所受的力需计算q0所在处由感应电荷所产生的电场强度204直角导体平面形成区域中点电荷的镜像直角导体平面形成区域中点电荷的镜像205电磁学若干问题第二讲课件206【第14题】一无限大金属平板上悬挂一弹簧振子,弹性系数为k,其质量为m,带电荷q.起始单簧振子处于平衡状态,若使振子向下偏离一小位置x,求其振动周期.【第14题】一无限大金属平板上悬挂一弹簧振子,弹性系数为k207[解]弹簧平衡时长度为:当弹簧向下拉x时,其力为:[解]弹簧平衡时长度为:当弹簧向下拉x时,其力为:208所以,振动周期为:所以,振动周期为:209使用镜像法电荷做功问题讨论【例】真空中有一点电荷q，它到一接地无限导体平面的距离为a,试求：（1）将该电荷从该处移到无限处所做的功。（2）q与像电荷之间的电势能。（3）当q是一个电子，a=1°A,求所需功的数值。使用镜像法电荷做功问题讨论【例】真空中有一点电荷q，它到一210【解】（1）感应电荷用镜像电荷表示电场力所做的功：【解】（1）感应电荷用镜像电荷表示电场力所做的功：211（2）q在a处，它与像电荷之间的电势能为：q在∞处，它与像电荷之间的电势能为：如果在像电荷处放置一个不动的电荷-q,则，这时静电场做功为：（2）q在a处，它与像电荷之间的电势能为：q在∞212两个点电荷之间的电势能是电场充满整个空间的能量，而本题中导体中的电场为零，实际电场只占据一半空间，因而电势能也只有一半！正确的解法：两个点电荷之间的电势能是电场充满整个空间的能量213电磁学若干问题第二讲课件2142.点电荷对导体球面的镜像qq’PARR’rdd’aq2.点电荷对导体球面的镜像qq’PARR’rdd’aq215球面上：Us=0，设置镜像位置d’<a,边界条件要求：上式对任意的q都成立，可改写为：球面上：Us=0，设置镜像位置d’<a,边界条件要求：上式对216比较等式两边相应的系数，有：第（2）组解违背镜像电荷设置原则，应舍去。解该方程组，有：比较等式两边相应的系数，有：第（2）组解违背镜像电荷设置原则217使用电像法注意事项（1）像电荷不能放置再物电荷侧！(2)不能使用像电荷求像侧的电场，电势等！使用电像法注意事项（1）像电荷不能放置再物电荷侧！218r>a区域的电势：r>a区域的电场强度：导体表面的电荷密度r>a区域的电势：r>a区域的电场强度：导体表面的电荷密度219感应电荷总量定于镜像电荷电量。感应电荷总量定于镜像电荷电量。220（1）点电荷所受到导体球的作用力？（2）点电荷放置在球内，问题又如何？（3）导体球不接地，如何处理该问题？其它问题：（1）点电荷所受到导体球的作用力？其它问题：221球既不带电，又不接地，球外有一点电荷q。

像电荷：q’=-(a/d)q，位置为：x=a2/d

球面上另有一均匀分布电荷，q’=(a/d)q.既满足球面总电荷为零，也满足球面是等势面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠加而成。球既不带电，又不接地，像电荷：q’=-(a/d)q222(2)球带电Q，但不接地，球外有一点电荷q。

像电荷：q’=-(a/d)q，位置为：x=a2/d

球面上另有一均匀分布电荷，Q-q’。这样既满足球面总电荷为Q，也满足球面是等势面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠加而成。(2)球带电Q，但不接地，像电荷：q’=-(a/d223

球外点电荷q所受导体球Q的作用力取决于导体球Q在该点的电场强度。于是，总电量为Q的导体球在球外点电荷q处的电场强度为：为使导体球在静电平衡时受到q的作用力吸引，试确定q的取值范围。点电荷q所受作用力为：

球外点电荷q所受导体球Q的作用力取决于导体球Q在该点224把x和q’代入上式，得：

当F＞0时，为斥力；当F＜0时，为吸引力．为使F＜0，要求上式右边方括号中的量为正值，即要求：把x和q’代入上式，得：当F＞0时，为斥力；当F＜225电磁学若干问题第二讲课件226(3)球不带电,但却有一固定的电势U，球外有一点电荷q。

像电荷：q’=-(a/d)q，位置为：x=a2/d

球面上另有一均匀分布的电荷:aq/d.

球心处上另有一像电荷：Q=4pe0RU–aq/d

这样满足球面是等势面，电势为U，又不带电，由唯一性定理知，球外的电势由四个电荷叠加而成。(3)球不带电,但却有一固定的电势U，像电荷：227电磁学若干问题第二讲课件228电磁学若干问题第二讲课件229球面上的感应电荷量：球面上的感应电荷量：230导体平面上的感应电荷量：导体平面上的感应电荷量：231电磁学若干问题第二讲课件2323.线电荷对导体圆柱面的镜像ll’PARR’rdd’aq3.线电荷对导体圆柱面的镜像ll’PARR’rdd’aq233柱外任一点的电势为：导体柱表面的电势为零，即：满足任意q的解为：柱外任一点的电势为：导体柱表面的电势为零，即：满足任意q的解234[拓展题]真空中两条圆柱型无限长平行直导线，半径分别为R1和R2,相距为d(d>R1+R2),求它们单位长度的电容。[拓展题]真空中两条圆柱型无限长平行直导线，半径分别为R1和235电磁学若干问题第二讲课件236【第15题】两个半径同为R的导体球相互接触，形成孤立双导体系统。求此系统的电容值。【第15题】两个半径同为R的导体球相互接触，形成孤立双导体系237[解]孤立导体系统的电容等于系统带电量与其电势的比值。当系统带电量给定后,设法确定其电势,便得到系统的电容。或者,当系统电势给定后,设法确定其带电量,同样可得到系统的电容。此题两个相互接触的导体球,存在相互感应的问题,因此,不管采用何种方法,均需连续使用镜像法,逐次逼近。处理中利用的镜像法,涉及一个半径为R的接地导体球,以及球外离球心距离为d的一个带电量为Q的点电荷系统。在导体球电势为零的条件下,导体球上感应电荷的效果可以等价于球内假想的像电荷的效果,此像电荷带电量和它在系统对称轴线上离球心距离分别为：[解]孤立导体系统的电容等于系统带电量与其电势的比值。