实变函数课件讲义

Lebesgue积分思想简介序言Lebesgue积分思想简介序言微积分基本定理若f(x)在[a,b]上连续，则若F`(x)在[a,b]上连续，则导数（切线斜率）xi-1xi定积分（面积）微积分基本定理若f(x)在[a,b]上连续，则若F`(x)微积分发展的三个阶段创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何）(无穷小)严格化（19世纪）:Cauchy,Riemann,Weierstrass(极限理论(ε-N,ε-δ语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann,Poincare,Cartan（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）微积分发展的三个阶段创立（17世纪）：Newton（力学）L微积分继续发展的三个方向外微分形式(整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深化和拓展（实变函数）微积分继续发展的三个方向外微分形式(整体微分几何)（1）1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；Riemann

积分的局限性：例：Dirichlet函数不Riemann可积。上积分下积分（1）1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出新见解，由此推进了积分理论的发展。（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1）

在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即：不一定成立。（2）积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）1902年Lebesgue在其论文“积分、长度勒贝格思路：

集合

集合“长度”（测度）

定义新的积分（L-积分）

积分与微分关系勒贝格思路：集合定义新的积分（L-积分）

从这个知识脉络图，我们可以看到，在实变函数中，集合的概念被经

从今天开始，我门来学习第一章有常应用，所以，我们要先研究集合。关集合的知识。从这个知识脉络图，我们可以看到，在实变函数中，集

实变函数论产生于19世纪末，20世纪初，主要由法国数学家勒贝格（Lebesgue,1875—1941）创建．它是普通微积分学的继续，其目的是想克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称、更加完美．实变函数论产生于19世纪末，20世纪初，主要1.Riemann积分回顾

(1)Riemann积分的定义积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1xi其中1.Riemann积分回顾

(1)Riemann积分的定义(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xixi-1xi(2)Riemann可积的充要条件f(x)在(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xi(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上(2)Riemann可积的充分条件f(x)在[a,b]上Riemann可积的充分条件是？

注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积xi-1xi(2)Riemann可积的充分条件f(x)在例：Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x)的下方图形可看成由[0,1]中每个有理点长出的单位线段组成。上积分下积分01例：Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x)Riemann积分xi-1xi为使f(x)在[a,b]上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积。Lebesgue提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；(积分与分割、介点集的取法无关)Riemann积分xi-1xi为使f(x)在[a,b]上2.Lebesgue积分思想简介1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1）yiyi-1用mEi表示Ei的“长度”2.Lebesgue积分思想简介1902年Lebesgue在Lebesgue积分思想yiyi-1f(x)在Ei上的振幅不会大于δ其中mEi表示Ei的“长度”，即：Lebesgue积分思想yif(x)在Ei上的振幅不会大于对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会，《高等理科教学》，2000.1）即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类yiyi-101对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：即采取对值域3.Lebesgue积分构思产生的问题(1)集合Ei

的“长度”如何定义（第三章测度论）；(2)怎样的函数可使Ei都有“长度”（第四章可测函数）；(3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章积分论）；第一章集合，第二章点集，第六章微分与不定积分yiyi-13.Lebesgue积分构思产生的问题(1)集合Ei的“4.实变函数论的特点1）高度抽象；a)“似是而非”例1.有许多学生排成一列，且男女生交叉排列，在其中任取一片段，男女生的个数有三种可能：或男女一样多、或男生多一个、或女生多一个。也就是说在任意片段中男女生个数至多相差一个。直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数之间有无理数，任意两个无理数之间有有理数，任取一节线段，有理数、无理数的个数似乎只有三种可能：或有理数无理数一样多、或有理数多一个、或无理数多一个。也就是说人一片段中有理数和无理数的个数至多相差一个。4.实变函数论的特点1）高度抽象；a)“似是而非”例1.有严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数要比无理数少得多。少到什么程度？有理数相对无理数而言是那样的微不足道，由它不多，无它不少。即无理数居然和实数一样多。b)“似非而是”例2.有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说有理数和自然数一样多的话，没人敢承认，而我们可以通过严密的证明该结论是正确的。2）理论性强严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数b)参考文献周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2Halmos，测度论(Measuretheory)Rudin,实分析与复分析(Realandcomplexanalysis).

北京九章图书.tw/互动出版网/教材：实变函数论与泛函分析基础（第三版）,程其襄等编高等教育出版社，2010年6月.参考文献周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6第一章集合第一章集合第一章集合简介§1.集合概念§2.集合的运算§3.对等与基数§4.可数集合§5.不可数集合第一章集合简介§1.集合概念§2.集合的运算§

集合的概念是十九世纪七十年代康托尔（Cantor1845-1918）首先引入的，创立了“集合论”。而后集合的观点与方法迅速渗透到数学的各个分支。

实变函数理论也是在此基础上产生的。

实变函数理论的中心是建立一种新的积分理论，即勒贝格Lebesgue积分。集合的概念是十九世纪七十年代康托尔（Cantor184

数学分析讨论定义在区间上的连续函数。

复变函数

讨论定义在域上的解析函数。实变函数讨论定义在集合上的可测函数。数学分析讨论定义在区间上的连

早在中学里就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补、的运算，因此本章前两节属于复习性质。不过，无限集合的交与并，是以前没有接受过的。它在本课

中常常要遇到。早在中学里就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、§1集合概念一、描述定义：具有某种特定性质的事物（具体或抽象）的全体称为集合。记为A,B,…等等。集合的成员称为它的元素，记为a,b,c…等等。二、表示法：1.列举法：A=｛a，b，c，…｝例1

A=｛4，7，8，3｝.2.描述法：A=｛x|x满足性质p｝§1集合概念一、描述定义：具有某种特定性质的事物（具体或抽例2A=｛x|x为自然数｝=IN；例3

A=｛x|x为0与1之间的实数｝=[0，1];例4

A=｛x|x为平面上的向量｝=IR2;例5

A=｛f|f为[0,1]上的实函数｝

={f:[0，1]→IR};三、简单概念

1.事物x与集合A的关系：x在A中或不在A中，两者居且必居其一。x在A中记为x∈A，x不在A中记为x∈A.2.集合A、B间的关系：A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记为AB例2A=｛x|x为自然数｝=IN；为方便起见，引进不含任何元素的集合，称之为空集，记为.为方便起见，引进不含任何元素的集合，称之关系名称表示方法关系名称表示方法属于子集不属于真子集相等

我们来看集合中的几个常用的关系式：关系名称表示方法关系名称表示方法属于子集不属于真子集相在这几个概念中，我们必须注意：1.表示集合与它元素之间的关系。2.表示集合与集合之间的关系。在这几个概念中，我们必须注意：1.表示集合与它元素

关于“集合”，我们要注意两方面：第一：集合中的元素互异。第二：集合中的元素确定。例如：全体大个子。不构成集合关于“集合”，我们要注意两方面：第一：集合中的元四、包含关系具有如下性质定理1

对任意的集合A、B、C均有注意：通常证明两个集合相等，总是利用（2）。四、包含关系具有如下性质定理1对任意的集合A、B、C均有注例A={x|x是小于等于5的正整数}B={1，2，3，4，5}A=B例A={x|x是小于等于5的正整数}B={1，2，3，例7：例8：例9：例10：例7：例8：例9：例10：康托尔（Cantoy1845-1918）在19世创立了“集合论”，把无限集合也分成大小多少。例如他断言：全体实数比全体有理数“多”。这是数学向无限王国挺进的里程碑，也是实变函数理论的出发点。*康托尔（Cantoy1845-1918）在19世创立了“集历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯的变化资料精品课件欢迎使用历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯的变化资料精品课件欢迎使用实变函数课件讲义实变函数课件讲义实变函数课件讲义[自读教材·填要点]一、铁路，更多的铁路1．地位铁路是

建设的重点，便于国计民生，成为国民经济发展的动脉。2．出现1881年，中国自建的第一条铁路——唐山

至胥各庄铁路建成通车。1888年，宫廷专用铁路落成。交通运输开平[自读教材·填要点]一、铁路，更多的铁路交通运输开平

3．发展(1)原因：①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的

。②修路成为中国人

的强烈愿望。(2)成果：1909年

建成通车；民国以后，各条商路修筑权收归国有。4．制约因素政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入正轨。修筑权救亡图存京张铁路3．发展修筑权救亡图存京张铁路

二、水运与航空1．水运(1)1872年,

正式成立，标志着中国新式航运业的诞生。(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是在列强排挤中艰难求生。2．航空(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始研制

。(2)发展：1918年，北洋政府在交通部下设“

”；此后十年间，航空事业获得较快发展。轮船招商局水上飞机筹办航空事宜处二、水运与航空轮船招商局水上飞机筹办航空事宜处三、从驿传到邮政1．邮政(1)初办邮政：1896年成立“大清邮政局”，此后又设

，邮传正式脱离海关。(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站；1920年，中国首次参加

。邮传部万国邮联大会三、从驿传到邮政邮传部万国邮联大会2．电讯(1)开端：1877年，福建巡抚在

架设第一条电报线，成为中国自办电报的开端。(2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变化。3．交通通讯变化的影响(1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和

，

转变了人们的思想观念。(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便捷。(3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活

。台湾出行方式多姿多彩2．电讯台湾出行方式多姿多彩[合作探究·提认知]

电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家，从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。[合作探究·提认知]

电视剧《闯关东》讲述了济南章丘依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。

提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车，近代的小火轮、火车同时使用)。

原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；政府及各阶层人士的提倡与推动。依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。[串点成面·握全局][串点成面·握全局]实变函数课件讲义

一、近代交通业发展的原因、特点及影响1．原因(1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促进中国社会发展。(2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。(3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供了物质条件。一、近代交通业发展的原因、特点及影响2．特点(1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和航空都获得了一定程度的发展。(2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。(3)地域之间的发展不平衡。3．影响(1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式，一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的联系，丰富了人们的生活。(2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。2．特点1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立之势”。这说明该企业的创办 (

)A．打破了外商对中国航运业的垄断B．阻止了外国对中国的经济侵略C．标志着中国近代化的起步D．使李鸿章转变为民族资本家1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家；洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D三项表述都有错误。答案：A解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家；洋务运动二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影响(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社会生活。二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影响2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写 (

)A．电话B．汽车C．电报 D．火车解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。答案：D2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽实变函数课件讲义[典题例析][例1]

上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 (

)A．江南制造总局的汽车B．洋人发明的火车C．轮船招商局的轮船D．福州船政局的军舰[典题例析][例1]上海世博会曾吸引了大批海内外人[解析]由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。[答案]

C[解析]由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居[题组冲关]1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是(

)A．公路运输 B．铁路运输C．轮船运输 D．航空运输解析：根据所学1872年李鸿章创办轮船招商局，这是洋务运动中由军工企业转向兼办民用企业、由官办转向官督商办的第一个企业。具有打破外轮垄断中国航运业的积极意义，这在一定程度上保护了中国的权利。据此本题选C项。答案：C[题组冲关]1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是2.右图是1909年《民呼日报》上登载的一幅漫画，其要表达的主题是(

)A．帝国主义掠夺中国铁路权益B．西方国家学习中国文化C．西方列强掀起瓜分中国狂潮D．西方八国组成联军侵略中国2.右图是1909年《民呼日报》上登载的解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状，20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时间上不一致。答案：A解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状，20世纪初的实变函数课件讲义[典题例析][例2]

(2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海出口价格同步变动的现象。与这一现象直接相关的近代事业是(

)A．电报业 B．大众报业C．铁路交通业 D．轮船航运业[解析]材料主要反映了信息交流的快捷，故选A。[答案]

A[典题例析][例2](2010·福建高考)上海是近[题组冲关]3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信息，可采用的最快捷的方式是 (

)A．乘坐飞机赴各地了解B．通过无线电报输送讯息C．通过互联网D．乘坐火车赴各地了解解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现，互联网出现在20世纪90年代。答案：B[题组冲关]3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地4．下列不属于通讯工具变迁和电讯事业发展影响的是(

)A．信息传递快捷简便B．改变着人们的思想观念C．阻碍了人们的感情交流D．影响着人们的社会生活解析：新式通讯工具方便快捷，便于人们感情的沟通和交流。答案：C4．下列不属于通讯工具变迁和电讯事业发展影响的是()实变函数课件讲义关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应时代潮流图说历史主旨句归纳(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为

机械动力牵引的新式交通工具，火车、

汽车、电车、轮船、飞机先后出现。(2)通讯工具由传统的邮政通信发展为先进

的电讯工具，有线电报、电话、无线电

报先后发明。(3)近代以来，交通、通讯工具的进步，推

动了经济与社会的发展。关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应图说历关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应时代潮流图说历史主旨句归纳(1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥革命爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中华民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化进程的里程碑。(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第

一次国共

合作正式实现，国民大革命兴起。(3)1926年国民革命军出师北伐，连克武昌、九江，直捣南京、上海，取得巨大成功。关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应时图说关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应时代潮流图说历史主旨句归纳(1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、

民生”三民主义，成为以后辛亥革命的

指导思想。(2)三民主义没有明确提出反帝要求，也没

有提出废除封建土地制度，是一个不彻

底的资产阶级革命纲领。(3)1924年，孙中山将三民主义发展为新三

民主义，明确提出了反帝要求，它成为

第一次国共合作的政治基础和国民大革

命的旗帜。关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应时图说Lebesgue积分思想简介序言Lebesgue积分思想简介序言微积分基本定理若f(x)在[a,b]上连续，则若F`(x)在[a,b]上连续，则导数（切线斜率）xi-1xi定积分（面积）微积分基本定理若f(x)在[a,b]上连续，则若F`(x)微积分发展的三个阶段创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何）(无穷小)严格化（19世纪）:Cauchy,Riemann,Weierstrass(极限理论(ε-N,ε-δ语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann,Poincare,Cartan（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）微积分发展的三个阶段创立（17世纪）：Newton（力学）L微积分继续发展的三个方向外微分形式(整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深化和拓展（实变函数）微积分继续发展的三个方向外微分形式(整体微分几何)（1）1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；Riemann

积分的局限性：例：Dirichlet函数不Riemann可积。上积分下积分（1）1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出新见解，由此推进了积分理论的发展。（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1）

在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即：不一定成立。（2）积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）1902年Lebesgue在其论文“积分、长度勒贝格思路：

集合

集合“长度”（测度）

定义新的积分（L-积分）

积分与微分关系勒贝格思路：集合定义新的积分（L-积分）

从这个知识脉络图，我们可以看到，在实变函数中，集合的概念被经

从今天开始，我门来学习第一章有常应用，所以，我们要先研究集合。关集合的知识。从这个知识脉络图，我们可以看到，在实变函数中，集

实变函数论产生于19世纪末，20世纪初，主要由法国数学家勒贝格（Lebesgue,1875—1941）创建．它是普通微积分学的继续，其目的是想克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称、更加完美．实变函数论产生于19世纪末，20世纪初，主要1.Riemann积分回顾

(1)Riemann积分的定义积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1xi其中1.Riemann积分回顾

(1)Riemann积分的定义(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xixi-1xi(2)Riemann可积的充要条件f(x)在(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xi(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上(2)Riemann可积的充分条件f(x)在[a,b]上Riemann可积的充分条件是？

注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积xi-1xi(2)Riemann可积的充分条件f(x)在例：Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x)的下方图形可看成由[0,1]中每个有理点长出的单位线段组成。上积分下积分01例：Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x)Riemann积分xi-1xi为使f(x)在[a,b]上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积。Lebesgue提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；(积分与分割、介点集的取法无关)Riemann积分xi-1xi为使f(x)在[a,b]上2.Lebesgue积分思想简介1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1）yiyi-1用mEi表示Ei的“长度”2.Lebesgue积分思想简介1902年Lebesgue在Lebesgue积分思想yiyi-1f(x)在Ei上的振幅不会大于δ其中mEi表示Ei的“长度”，即：Lebesgue积分思想yif(x)在Ei上的振幅不会大于对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会，《高等理科教学》，2000.1）即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类yiyi-101对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：即采取对值域3.Lebesgue积分构思产生的问题(1)集合Ei

的“长度”如何定义（第三章测度论）；(2)怎样的函数可使Ei都有“长度”（第四章可测函数）；(3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章积分论）；第一章集合，第二章点集，第六章微分与不定积分yiyi-13.Lebesgue积分构思产生的问题(1)集合Ei的“4.实变函数论的特点1）高度抽象；a)“似是而非”例1.有许多学生排成一列，且男女生交叉排列，在其中任取一片段，男女生的个数有三种可能：或男女一样多、或男生多一个、或女生多一个。也就是说在任意片段中男女生个数至多相差一个。直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数之间有无理数，任意两个无理数之间有有理数，任取一节线段，有理数、无理数的个数似乎只有三种可能：或有理数无理数一样多、或有理数多一个、或无理数多一个。也就是说人一片段中有理数和无理数的个数至多相差一个。4.实变函数论的特点1）高度抽象；a)“似是而非”例1.有严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数要比无理数少得多。少到什么程度？有理数相对无理数而言是那样的微不足道，由它不多，无它不少。即无理数居然和实数一样多。b)“似非而是”例2.有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说有理数和自然数一样多的话，没人敢承认，而我们可以通过严密的证明该结论是正确的。2）理论性强严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数b)参考文献周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2Halmos，测度论(Measuretheory)Rudin,实分析与复分析(Realandcomplexanalysis).

北京九章图书.tw/互动出版网/教材：实变函数论与泛函分析基础（第三版）,程其襄等编高等教育出版社，2010年6月.参考文献周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6第一章集合第一章集合第一章集合简介§1.集合概念§2.集合的运算§3.对等与基数§4.可数集合§5.不可数集合第一章集合简介§1.集合概念§2.集合的运算§

集合的概念是十九世纪七十年代康托尔（Cantor1845-1918）首先引入的，创立了“集合论”。而后集合的观点与方法迅速渗透到数学的各个分支。

实变函数理论也是在此基础上产生的。

实变函数理论的中心是建立一种新的积分理论，即勒贝格Lebesgue积分。集合的概念是十九世纪七十年代康托尔（Cantor184

数学分析讨论定义在区间上的连续函数。

复变函数

讨论定义在域上的解析函数。实变函数讨论定义在集合上的可测函数。数学分析讨论定义在区间上的连

早在中学里就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补、的运算，因此本章前两节属于复习性质。不过，无限集合的交与并，是以前没有接受过的。它在本课

中常常要遇到。早在中学里就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、§1集合概念一、描述定义：具有某种特定性质的事物（具体或抽象）的全体称为集合。记为A,B,…等等。集合的成员称为它的元素，记为a,b,c…等等。二、表示法：1.列举法：A=｛a，b，c，…｝例1

A=｛4，7，8，3｝.2.描述法：A=｛x|x满足性质p｝§1集合概念一、描述定义：具有某种特定性质的事物（具体或抽例2A=｛x|x为自然数｝=IN；例3

A=｛x|x为0与1之间的实数｝=[0，1];例4

A=｛x|x为平面上的向量｝=IR2;例5

A=｛f|f为[0,1]上的实函数｝

={f:[0，1]→IR};三、简单概念

1.事物x与集合A的关系：x在A中或不在A中，两者居且必居其一。x在A中记为x∈A，x不在A中记为x∈A.2.集合A、B间的关系：A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记为AB例2A=｛x|x为自然数｝=IN；为方便起见，引进不含任何元素的集合，称之为空集，记为.为方便起见，引进不含任何元素的集合，称之关系名称表示方法关系名称表示方法属于子集不属于真子集相等

我们来看集合中的几个常用的关系式：关系名称表示方法关系名称表示方法属于子集不属于真子集相在这几个概念中，我们必须注意：1.表示集合与它元素之间的关系。2.表示集合与集合之间的关系。在这几个概念中，我们必须注意：1.表示集合与它元素

关于“集合”，我们要注意两方面：第一：集合中的元素互异。第二：集合中的元素确定。例如：全体大个子。不构成集合关于“集合”，我们要注意两方面：第一：集合中的元四、包含关系具有如下性质定理1

对任意的集合A、B、C均有注意：通常证明两个集合相等，总是利用（2）。四、包含关系具有如下性质定理1对任意的集合A、B、C均有注例A={x|x是小于等于5的正整数}B={1，2，3，4，5}A=B例A={x|x是小于等于5的正整数}B={1，2，3，例7：例8：例9：例10：例7：例8：例9：例10：康托尔（Cantoy1845-1918）在19世创立了“集合论”，把无限集合也分成大小多少。例如他断言：全体实数比全体有理数“多”。这是数学向无限王国挺进的里程碑，也是实变函数理论的出发点。*康托尔（Cantoy1845-1918）在19世创立了“集历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯的变化资料精品课件欢迎使用历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯的变化资料精品课件欢迎使用实变函数课件讲义实变函数课件讲义实变函数课件讲义[自读教材·填要点]一、铁路，更多的铁路1．地位铁路是

建设的重点，便于国计民生，成为国民经济发展的动脉。2．出现1881年，中国自建的第一条铁路——唐山

至胥各庄铁路建成通车。1888年，宫廷专用铁路落成。交通运输开平[自读教材·填要点]一、铁路，更多的铁路交通运输开平

3．发展(1)原因：①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的

。②修路成为中国人

的强烈愿望。(2)成果：1909年

建成通车；民国以后，各条商路修筑权收归国有。4．制约因素政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入正轨。修筑权救亡图存京张铁路3．发展修筑权救亡图存京张铁路

二、水运与航空1．水运(1)1872年,

正式成立，标志着中国新式航运业的诞生。(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是在列强排挤中艰难求生。2．航空(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始研制

。(2)发展：1918年，北洋政府在交通部下设“

”；此后十年间，航空事业获得较快发展。轮船招商局水上飞机筹办航空事宜处二、水运与航空轮船招商局水上飞机筹办航空事宜处三、从驿传到邮政1．邮政(1)初办邮政：1896年成立“大清邮政局”，此后又设

，邮传正式脱离海关。(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站；1920年，中国首次参加

。邮传部万国邮联大会三、从驿传到邮政邮传部万国邮联大会2．电讯(1)开端：1877年，福建巡抚在

架设第一条电报线，成为中国自办电报的开端。(2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变化。3．交通通讯变化的影响(1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和

，

转变了人们的思想观念。(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便捷。(3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活

。台湾出行方式多姿多彩2．电讯台湾出行方式多姿多彩[合作探究·提认知]

电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家，从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。[合作探究·提认知]

电视剧《闯关东》讲述了济南章丘依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。

提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车，近代的小火轮、火车同时使用)。

原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；政府及各阶层人士的提倡与推动。依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。[串点成面·握全局][串点成面·握全局]实变函数课件讲义

一、近代交通业发展的原因、特点及影响1．原因(1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促进中国社会发展。(2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。(3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供了物质条件。一、近代交通业发展的原因、特点及影响2．特点(1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和航空都获得了一定程度的发展。(2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。(3)地域之间的发展不平衡。3．影响(1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式，一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的联系，丰富了人们的生活。(2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。2．特点1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立之势”。这说明该企业的创办 (

)A．打破了外商对中国航运业的垄断B．阻止了外国对中国的经济侵略C．标志着中国近代化的起步D．使李鸿章转变为民族资本家1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家；洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D三项表述都有错误。答案：A解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家；洋务运动二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影响(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社会生活。二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影响2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写 (

)A．电话B．汽车C．电报 D．火车解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。答案：D2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽实变函数课件讲义[典题例析][例1]

上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 (

)A．江南制造总局的汽车B．洋人发明的火车C．轮船招商局的轮船D．福州船政局的军舰[典题例析][例1]上海世博会曾吸引了大批海内外人[解析]由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民到上海”可判断最有可能是