《经济应用数学教程-线性代数及其应用》1-4矩阵的初等变换与秩

第四节矩阵的初等变换与秩

行列式通过初等行变换转化为三角形行列式后易于求解.

类似地，通过行列变换，可以把矩阵化为阶梯形矩阵.《经济应用数学教程——线性代数及其应用》一、矩阵的行变换定义1.4.1

下列的三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）交换矩阵的两行；（2）用非零常数乘以矩阵的某一行；（3）矩阵某行的k倍（非零常数）加到另一行的对应元素上去.《经济应用数学教程——线性代数及其应用》与行列式变换类似，引进如下记号来表示矩阵的初等变换《经济应用数学教程——线性代数及其应用》对于矩阵的初等行变换，有如下的定理：定理1.4.1

任意一个矩阵都可以通过有限次的初等行变换化为阶梯形矩阵，可进一步可以化为最简阶梯形矩阵.《经济应用数学教程——线性代数及其应用》二、矩阵的秩二阶子式《经济应用数学教程——线性代数及其应用》.又，的所有二阶子式：《经济应用数学教程——线性代数及其应用》秩的定义《经济应用数学教程——线性代数及其应用》秩的性质：性质1性质2《经济应用数学教程——线性代数及其应用》如果矩阵的行数m和列数n较大时，由矩阵的秩的定义计算它的秩，常常是比较困难的.定理1.4.3

矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩.定理1.4.4

矩阵的秩等于它的阶梯形矩阵的非零行的行数.秩的计算《经济应用数学教程——线性代数及其应用》任何矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形矩阵，于是求一个矩阵的秩，只需首先把此矩阵化为阶梯形矩阵，然后数一下其非零行数即可.《经济应用数学教程——线性代数及其应用》如何把一个矩阵化为阶梯形矩阵？《经济应用数学教程——线性代数及其应用》各行首非零元素不在同一列。主要是各列首非零元素的个数不超过1个。回顾阶梯形矩阵定义中的两个条件：换句话说《经济应用数学教程——线性代数及其应用》（1）找出此矩阵的各行的首非零元；（2）从第一列开始，看第一列有多少个首非零元，

若此列的首非零元不超过一个，那么转入看第二列；若多于一个首非零元，则一般保留最上面的那一个，把该列的其他首非零元利用初等行变换变为零；（3）依此类推，第二列，第三列，…，直到各行的首非零元素都不在同一列为止，即化为阶梯形矩阵.方法步骤《经济应用数学教程——线性代数及其应用》例1

求矩阵的秩.《经济应用数学教程——线性代数及其应用》例2

求矩阵的秩.

《经济应用数学教程——线性代数及其应用》例3

已知矩阵若，求x,y的值《经济应用数学教程——线性代数及其应用》三、用初等行变换解线性方程组n元线性方程组《经济应用数学教程——线性代数及其应用》增广矩阵系数矩阵《经济应用数学教程——线性代数及其应用》例4

解方程组 解：（1）第一个方程加到第二个方程，第一个方程的-2倍加到第三个方程，《经济应用数学教程——线性代数及其应用》（2）第三个方程乘以1/2后与第二个方程交换，《经济应用数学教程——线性代数及其应用》（3）第二个方程的-4倍加到第三个方程，《经济应用数学教程——线性代数及其应用》（4）第三个方程乘以-1/3，《经济应用数学教程——线性代数及其应用》（5）第三个方程乘以-1加到第二个方程，《经济应用数学教程——线性代数及其应用》（6）第三个方程乘以1加到第1个方程，《经济应用数学教程——线性代数及其应用》（7）第三个方程乘以-1加到第1个方程，《经济应用数学教程——线性代数及其应用》用消元法解线性方程组使用方程组的如下三类同解变形：（1）一个方程的k倍加到另一个方程上去；（2）一个方程乘以非零常数k；（3）变换两个方程的位置.《经济应用数学教程——线性代数及其应用》解线性方程组的消元法的三类同解变形与矩阵的三种初等行变换一一对应，（1）一个方程的k倍加到另一个方程上去，对应增广矩阵相应的行的k倍加到另外一行的对应元素上去；（2）一个方程乘以非零常数k，对应其增广矩阵对应的行乘以非零常数k;（3）交换换两个方程的位置，对应交换其增广矩阵的相应两行.《经济应用数学教程——线性代数及其应用》消元法解线性方程组的过程，对应于其增广矩阵相应的初等行变换的过程；方程组的解对应于增广矩阵化为最简阶梯形.《经济应用数学教程——线性代数及其应用》例5

解线性方程组 《经济应用数学教程——线性代数及其应用》例6

解线性方程组《经济应用数学教程——线性代数及其应用》本例增广矩阵化为阶梯形矩阵后，对应的方程组中变量的个数多于方程的个数，这种取成任意常数的变量称为自由未知量，对应的方程组有无穷多解.自由未知量的个数等于变量的个数减去方程的个数.《经济应用数学教程——线性代数及其应用》例7

求解线性方程组《经济应用数学教程——线性代数及其应用》练习1-41、求下列矩阵的秩《经济应用数学教程——线性代数及其应用》2、解下列方程组《经济应用数学教程——线性代数及其应用》3、某车间有工人30人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产零件甲30个、或零件乙25个、或零件丙20个，现用零件甲3个、零件乙5个、丙4个装配成某种装机.如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？《经济应用数学教程——线