数电一第二章逻辑代数基础

第二章逻辑代数基础Fundamentalsof 本章教学重点逻辑函数及其描述方逻辑函数的公式化简和卡诺图化第二章逻辑代数基础Fundamentalsof 概 逻辑代数中一般用英文字母A，BC…表示逻辑代数中的三种基本运“与(AND)”算(逻辑乘 电

“或(OR)”运(逻辑加ABY

“非(NOT)”算(逻辑非全部条件都具

决定事物结果的

结果便不发生；时，结果才发生，一个满足时，结

RARAYAY0110真值

ABY00001ABY000011101111ABY000010100111

果关系叫逻辑求乘)Logic加Logic非Logic代数Y=A·Y=Y= 实际的逻辑函数比与、或、非三种基本逻辑＝A·0=

A＋0=

F=0’=A·1=AA·A=A·A’=与运（逻辑乘

A＋1=A＋A=AA＋A’’=1或运（逻辑加

1’=A’’=非运（逻辑非下图所示为一保险柜的防 电路保险柜的两层门上各装有一个开关和S2。门关上时，开关合。当任一层门开 亮试说明该电路的工作原理。分析：开关S1和S2任一个打 亮复合逻与非逻辑逻辑表达式为:Y(A·B·与非逻辑真值 与非门的逻辑符AABY001001011011101101111110YY&ACAB或非逻辑逻辑表达式为:Y(AB或非逻辑真值 或非门的逻辑符AABY001000010010100100110110与或非逻辑(AND-逻辑表达式为:YABCD＋EF)′异或逻辑(EXCLUSIVE逻辑表达式为:Y异或逻辑真值

=A′·B＋A·异或门的逻辑符ABYABY000011101110同或逻辑(EXCLUSIVE逻辑表达式为:YA⊙BA·B＋A′·ABY001010100111同或ABY001010100111异或运算与同或运算的关A⊕B= A⊙B=A⊕B⊕C=A⊙B逻辑代数的基本公式和常用公基本公序公序公1′= 0′=10•A=1+A=21•A=0+A=3A•A=A+A=4A•A′=A+A′=5A•B=B•A+B=B+6A•(B•C)=(A•B)•A+(B+C)=(A+B)+7A•(B+C)=A•B+A•A+B•C=(A+B)•(A+8(A•B)′=A′+(A+B)′=A′•9(A′)′=基本公式的正确性可以用列真值表的方法验证例：证明公式A＋B•C= 的正确ABB•A+B•(A+B)•00000000000010010010001111111001111100111111011111111111由此证明A+B•CA+B)(A+C)成立常用公A+A•B=A+A′•BA+A•B+A•B′=A•(A+B AB+A′C+BCAB+AB+A′C+BCD=AB+A•(A•B)′=A A′•(AB)′=例：证AAB左边=A（1+B）=A•1 =A=右边例：证明A+A′•B=A+B(AA′)•(AAB=右

=1•(A+证ABAB′=左边=A•(B+ =A•1=A=右例：证A(AB)左边=A•A+A• =A+A• =A=右例：证明ABA′CBCABA′左边ABA′CBC=A•B+A′•C+B•C=A•B+A′•C+A′•B•C+A•B•=A•B(1+C)+A′•C(1+B=A•B+A′•右证明AA•B)′A左边=A•(A′+ =A•A′+A•A•B′=右例：证明A′A•B)′A左边=A′•(A′+ =A′•A′+A′•A右逻辑代数的基本定代入定利用代入定理，可以由二变量的反演律得到二变量的反演律(AB)′=A若将等式中的变量B都用(B+C)代替，则(A+(B+C))′=A′•(B+(AB+C)′A′B′C′(三变量的反演律由此可推出多变量的反演(A+B+C+…)′=A′•B′•C′…(A•B•C…)′=A′+B′+C′+…反演定反演定 注意：1加括号，保证原来的运算顺2不属于单个变量上的非号不能例 则而根据反

(A+B+C)′=例：Y=ADA′CBC′D例：Y(AB′A′+C′ACBCY′=((A′BACA′+C′)(B′+C′)1.4.3对偶定对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相对偶式Y

例：Y=(AB+CD) 则YD=((A+B)(C+D))Y=A+B 则YD=A例如基本公式（17）A+B 等式两边的对偶式分别为A(B+C)AB+A根据乘法的分配律及对偶定理公式(17)得到证逻辑函数及其表示方逻辑函Logic对于一个逻辑关系，当输入逻辑变量A、B、…取值确定后，输出逻辑变量Y的值也就确定了。函数，表示为Y=F(A，B，C逻辑函数的表示值表、逻辑函数式(AlgebraicFormsofSwitchingMAP)和硬件描述语言。逻辑真值表：将输入变量所有取值组合下对应(TruthTable)输出值找出来，列成表格，即可得逻辑函数式：将输出与输入之间的逻辑关系写成输出与输入之间的与、或、非(LogicDiagram)辑关系用图形符号表示，即可画逻辑函数的逻辑图输入变量所有取值组合下对应的(TimingDiagram)出按时间顺序排列起来，即可画逻辑函数的波形图（时序图）0000000001111011001110101010110110逻辑函数的表示方法之间的互相转换真值表转换成逻辑函数 YABC00000010010001111000101111011110 YABC00000010010001111000101111011110Y为Y=A′BC+AB′C+AB→A′B→A→AB逻辑函数式转换成真ABCY0000000001010101010010ABCY00000000010101010100101110011000000101010111000111110000逻辑函数式转换成逻辑例：已知逻辑函数YA⊕B(AB’CC求其逻辑图转换成逻辑函(AB’(B(AB’(BY=((AB’C)’·(B=AB’C+B波形图与真值表的相例 YABC0000001001010111100010111101111000001111001100110101010100110110逻辑函数的两种标准形

最大项之最小定义：n变量的逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项n个变量均以原变量或反变n个变量可构成2n个最小例如3变量A、B、C8个最小项分别 A′B A′BA A AB AB最小项性质ABCA’B’CA’BC’A’BCAB’C’AB’CABC’0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001A’BC’+最小项的数，与其对应的十进制数，就是该最小项的。记为mi二、逻辑函数最小项之和的形例：写出函数Y=ABC’+BC的最小项表解：Y=ABC’+(A+A’)BC

例解=m9+m7+m3+m15+m14逻辑函数形式的变一个逻辑函数可如：Y= 异或 与或=((’A’B＋A 与非-与非 与或非=((A＋B)’ 或非-或非例：将Y=ABC’+BC化为与或非形解：Y=ABC’+(A+A’)BCYABB＋CA’C=AB＋=AB不同的函数式形式对应不同的逻辑电路逻辑函数的化最简逻辑电路：门数最少；门的输入端最门的级数最少公式化简法Y=A(B’CD)’+AB’CD=A((B’CD)’+B’CD)=A二、吸收法：利用A+AB=A，消去多余

=A+BC+(A+BC)(A’+(B’C’+D))’项法：利用AB+A’C+BC=AB+A’C，Y=AC+AB’+(B+C)’=AC+AB’+B’C’四、消因子法：利用A+A’B=A+B，消去乘积项多余的因

=

= ==AC+(AC)’D= 利用例卡诺图化简一、逻辑函数的卡诺图表示法用卡诺图表示最小地排列起来，所得图形叫做n变量的卡诺图。二变用卡诺图表示逻辑函逻辑函数为最小项之和的形例：四变量逻辑函数Y=∑(0356910121010010110100101给出的是一般逻辑函数表达式1111100011111100011111000解：先展成与或Y=A⊙B+C’给出的是逻辑函数的真值表在对应于变量取值组合的每一个小方块中函数值为1的填1，为0的填0：： YABC0000001101000111100010111101111001100101A01卡A01ABC01010110ABC0101011010二、用卡诺图化简逻辑函并为一项，消去两个变量；…2n个相邻最小项合并

m0+m4+m1

m8+m10= =二、用卡诺图化简逻辑函并为一项，消去两个变量；…2n个相邻最小项合并

+

++m15 =m0+m4+m12+m8+m2++m14 =化简步骤画出函数的卡诺图合并最小项：把可以合并的最小项圈起来CD

画圈注意事项

1 1

圈形为矩圈中方格数为圈应尽量有些方格可以重复使用但必须有新方格出将组成函数的最Y=BC’+A’B’D+具有无关项的逻辑函数化约束项、任意项和无关例：用逻辑变量A、B、C分别表示一台电机正转、反转和停止命令，A=1表示正转B=1表示A、B、C不能取000、011